典型例题-_静定结构位移计算

第5章 静定结构位移计算

§5 – 1 基本概念

5-1-1 虚拟单位力状态构造方法

●虚拟单位力状态构造方法：

（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；

（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a刚架求C点竖向位移CV和C截面转角

(a)qEICEIll(b)1CC，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位

力状态。

求CV(c)1C5-1-2 位移计算公式

虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：

求C图3-1虚拟单位力状态

FN,M,FQ,FRi

实际荷载作用下，引起的内力：

FNP,MP,FQP

●位移计算一般公式

FNduMdFQdsFRici

●荷载作用产生位移的计算公式

kFQFQPFNFNPMMPdsdsds EAEIGAMMPds EI1、梁或刚架结构 2、桁架结构 FNFNPds EA 2 结构力学典型例题解析

3、混合结构

FNFNPMMPdsds EAEI●支座移动引起位移计算公式

FRici

●温度引起位移计算公式

FNt0dxMth

dx

t0lFNAMth式中：为线膨胀系数,t0形心温度,t温差，h截面高度

AM虚拟状态弯矩图面积

●有弹性支座情况的位移计算公式

MMPFdsFRRPEIk

Ay0FRPFREIk

5-1-3 图乘法

图乘法公式：

yEIA面积C形心MP()Ay0MMPdx EIEI图乘法公式条件：

●等截面直杆且EI=常数 ●求 y0图形必须为一条直线 正负号确定：

oy0图3-2 图乘法示意图

Mx面积A 与y0同侧取“+”号

注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。

为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。

第3章 静定结构位移计算 3

【例题3-1】 计算图示结构B转角和D点竖向位移。 (a)qCEIEIDEI(b)ql28ql2ql2CA2ql3DA1=ql32l ABA3=322ql30.5qlAMP图Bl(c)11【分析】 ●利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变Cy2=1Dy1=1y3=11AB求B转角B1M11形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。 ●构造单位力状态：每求一个位移重新画一个结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）画在结构相应位置处，标单位力值，即得到与所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图c、d所示）。 虚拟单位力状态的内力在实际变形上做虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功，先作虚拟单位力产生的弯矩图（如图c、d所示）。 ●图乘法应用：为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 ●特别注意：计算面积的图形需要找形心位置，Mp图AC杆面积用梯形减对称抛物线面积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的AC杆弯矩为常数，因此本题AC杆不用计算确切形心位置。 ●正负号选择：面积弯矩图与弯矩y在相同一侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为负，就应取负号）。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 (d)lCy2=l2Dy1=0y3=lAlMB求D竖向位移DV例题3—1图 【解】 ●求B截面转角： Ay0MMPBdsEIEI 3AyAyAy13ql112233EIEIEI6EI （顺时针） ●求D点的竖向位移： Ay0MMPDVdsEIEI A1y1A2y2A3y37ql4EIEIEI6EI

4 结构力学典型例题解析

【例题3-2】分别计算图示结构A点、B点的竖向位移。 (a)qAEIlB1(b)2EIC1.5ql2A2=4ql33A1=ql32lAql28BC(c)Aql2MP图BCy1=32lly2=ll5lMy4=4l3(d)1【分析】 ●利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个y3=3A2ly5=2A3=3lBlCy1=2l3与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。 ●构造单位力状态：A点、B点竖向位移所对应的虚拟单位力状态分别如图d、c所示。 ●求B点竖向位移：图b和图c作图乘，M图AB段为常数，MP图AB段求面积A2不必确定形心位置；M图BC段为斜直线，MP图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应的M图弯矩y1。 ●求A点竖向位移：M图BC段为直线，MP图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应M(e)A1.5ql23ql34BA5=ql123ql82ql2A4=2ql3例题3—2图 【解】 ●求B点的竖向位移： BVAy0MMPdsEIEI A1y1A2y23ql42EIEI2EIAy0MMPdsEIEI A1y1A3y3A4y4A5y553ql42EIEIEIEI24EIM图弯矩y1。M图AB段为直线，MP图AB段的面积分成三块面积如图e所示（两个三角形和一个对称抛物线），面积分别为A3、A4、A5，形心对应的M图弯矩y3、y4、y5。 ●注意： ●求A点的竖向位移： DVBC杆段抗弯刚度为2EI，相应分母用2EI。 计算面积的图形，要确定形心位置，对应求弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常数时，求面积图形不必确定形心位置）

第3章 静定结构位移计算 5

【例题3-3】 计算图示结构A的转角位移。各杆EI=常数。 (a)CEIMEEIDEI(b)l FA2=8MlEI0.5ME0.5MAl2B0.5MCA1=MlDl2(c)MFy2=A13MBMP图0.50.50.5C1EDy1=【分析】 ●构造单位力状态：能够在转角上做功的力是力偶，与A截面转角位移对应的单位力状态如图c所示。虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。 23A1BM虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟单位力产生的弯矩图（如图c所示）。 ●荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。 ●图乘法应用：本题两个弯矩图都为直线图形，可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，例题3—3图 【解】 ●求A截面转角： 由于AC杆直接图乘形心不易计算， 本题对AC、DB杆件进行一些特殊处理，方法如下： 将DB杆件弯矩图搬到AC上面（如图虚线部分）变成AF，两个图都是三角形，可以直接图乘，三角形的形心容易确定，这样AC、DB一 次图乘就可以了； CE、ED两个杆件图乘结果相同，只需计算一个即可。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出后标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 ●符号选取：图形在同侧内力虚功为正值，位移与虚拟力方向相同。 Ay0MMPAdsEIEIAy2Ay 1122EIEI2MlMl3Ml(顺时针)3124

6 结构力学典型例题解析

【例题3-4】 计算图示结构I点竖向位移。各杆EI=常数。 (a)CABl (b)GEJl 42FP34FP34FP32FP210FP34FP32FP302FP2FP32FP3DFPlFI2FP0FP3FP3lFPl4FP3FPFP(c)102FNP图【分析】 ●构造单位力状态：重新画一个结构（如图c所1.50.50.5220.5示），将所求位移矢量画在结构相应位置处I点，2201.52200.50.5标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态（如图c所示）。 ●作荷载、单位力轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的轴力图（如图b、c所示）。 ●位移计算公式应用：桁架结构位移计算仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负），对于杆件是等截面同材料，不需要作积分运算，对所有杆件求和即可，要注意使用每个杆件的长度、弹性模量、面积。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●注：桁架内力的计算方法 本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，BJ杆件轴力在B处分解成X、Y方向再对A点取矩可以方便求得；其它杆件轴力利用结点法按照A、C、E、D、F、G、I顺序列投影平衡条件得到。 1.50.510.5FN例题3—4图 【解】 FFFFIVNNPdsNNPlEAEAFl102104P(103(0.5)EA233(1.5)(2)242()22323 (2)(2)22(2)223210.5(1.5)(2)2(0.5)()33Fl(10102214)P3EA14.26FPl()EA ED、GF两个杆件为零杆，可先求得。

第3章 静定结构位移计算 7

【例题3-5】 图示结构B支座发生沉降,计算A的转角位移和C点水平位移。 (a)CE(b)Dl 1CEDAl2BAbaB1l12ll2(c)1【分析】 ●构造单位力状态：每个位移重新画一个结构（如图CEDb、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求A处角位移的单位力状态如图b所示，求C点水平位移的单位力状态如图c所示。 ●静定结构因支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形。虚拟力状态的内力也就不做内力虚功，在此情况下不需要作内力图，虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功；只需要求出对应有支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。 ●计算支座反力：图a体系的几何组成为三刚片类型结构，也称作三铰刚架。计算反力要用双截面法取两次隔离体，本题只需要B支座反力,计算过程为： (1)先取整体ACDB隔离体，对A点列力矩平衡条件，求出B竖向反力； (2)再取一个刚片EDB隔离体，对E点列力矩平衡条件，求出B水平反力。 ●正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●注意：位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公式自带的。本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式左端，移到右端加负号。 AMB10.5例题3—5图 【解】 ●A的转角位移： AFRici ab12l1l 12l(a2b) （位移方向与虚拟单位力相同，顺时针） ●C点水平位移： CHFRici0.5a1b 0.5ab （位移方向与虚拟单位力相反，向左）

8 结构力学典型例题解析

【例题3-6】计算图示结构B转角和A点水平位移（其中弹簧刚度为k）。 (a)CEIEIk(b)BEIl3FPlFPl2A2=2CA1=BFPAFPl22FPAMP图l FRPBFPy323FPl(c)C1y2=31(d)Bly2=2l3C2l3B11FRB1l1ly1=FRB11AAM图例题3—6图 M图【分析】 ●构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图c、d所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求B处角位移的单位力状态如图c所示，求A点水平位移的单位力状态如图d所示。 ●内力虚功：刚架在荷载作用下的位移计算，计算虚内力在实际弯曲变形上所做的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的弯矩图。 ●弹性支座计算：可以将弹性支座的弹簧当作结构的一部分；单位力产生的弹性支座反力FR，在弹簧变形上做内力虚功，其内力虚功等于力FR乘以位移，弹簧位移等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度（【解】 ●求A点的水平位移： MMPFdsFRRPEIkAy0F FRRPEIkA1y1A2y2FRPB5FPl3FRBEIEIk3EIAH（位移方向：向右） ●求B截面的转角位移： BMMPFdsFRRPEIkAy0F FRRPEIkA2y2FRPB5FPl2FRBEIk6EIFRPk）。也可以将弹性支座按支座移动处理。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●注意：弯矩图在图乘时求面积A图与y在同一侧取正号，在不同侧取负号。 弹簧内力虚功符号：两个支座反力FR、FRP方向相同做正功，方向相反做负功。 （位移方向：逆时针）

第3章 静定结构位移计算 9

【例题3-7】计算图示结构B转角和C点水平位移。已知线膨胀系数为α。 (a)-10℃ 20C(b)C1C10CB20C0l21(c)B11Cl1l0l2A2=2Bl AhA1=AM图FN图例题3—7图 AM图FN图l【解】 t0AC1t0BC15C 2(t1t2)5C,【分析】 ●构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求B处转角位移的单位力状态如图b所示，求C点水平位移的单位力状态如图c所示。 ●作内力图： 对刚架由于温度改变引起的位移计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向变形两种因素对位移的影响，也就是要计算虚拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力图（如图c、d所示）；轴力标在杆件一侧。 ●内力虚功正负号选择：弯矩图面积和杆件两侧温度差都取正值，杆件温度升高大的一侧与弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不同侧时取负号。轴力以拉力为正（压力为负），符号不用选择。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●注意：若杆件截面不对称时截面形心不在中间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面是否对称无关。 tACt2t130C,tBC10C ●B截面的转角位移： tBFNt0dxMdxhtlt0FNAMhl l5(1)10h25l5lh （转角位移方向：顺时针） ●C点水平位移： CHFNt0dxMt0lFNAMl51thdx th hl210h25l10l22 （水平位移方向：向右）

10 结构力学典型例题解析

【例题3-8】计算图示结构C点和E点的竖向位移。EI=常数，EA=常数。 (a)FPEFFPl(b)Gl FPEFPFFPlGFPlFP2FPFPBFPlAACDBllE000lF000CA1=FPl2DFPMP图FNP图1(c)G(d)E1F0000GAC12l3Dl3ly13BAC2l3Dl3y13BlM图FN图例题3—8图 M图FN图【解】 ●求C点的竖向位移： 【分析】 ●构造单位力状态：求C点竖向位移的单位力状态如图c所示，求E点竖向位移的单位力状态如图d所示。 ●作内力图： 对组合结构梁式杆件作弯矩图、桁架杆件作轴力图，FG杆件当作梁式杆件处理（如图b、c所示）。 ●位移计算：梁式杆利用图乘法求，正负符号选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力为负）正负符号，代入。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●结构内力计算：本题为组合结构，其几何组成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部分为桁架。内力计算时按照先附属后基本的顺序进行。当附属部分不受外力时，也没有内力。 ●注意：FG杆件有弯矩，按照梁式杆计算。 FFMMPCVdsNNPdsEIEAAy0FNFNPl  EIEAA1y1FPl3EI3EI●求E点的竖向位移： FFMMPEVdsNNPdsEIEAAy0FNFNPl EIEAA1y1FP(1)lFPl3FPlEIEA3EIEA

第3章 静定结构位移计算 11

【例题3-9】计算图示结构D点竖向位移和AE杆件的转角。 (a)E10CFl (b)0E121212F22AC20C22llE12l12lDBAl0C0.50D10.5B0.5(c)12l12l12lFN图F12l12l12l12l【分析】 ●构造单位力状态：重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值。求D点竖向位移对应的虚拟单位力状12lA1lC12l1lDB态如图b所示；桁架只作用结点荷载，不能施加单位集中力偶，用一对力形成单位力偶，即求AE杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图c所示。 ●计算单位力产生的轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由温度改变产生的位移，只存在在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作单位力产生的轴力图（如图b、c所示）。 ●位移计算公式应用：桁架结构位移计算公式仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负），温度以升高为正，温度不改变杆件不用计算，本题只需计算EF、CD两杆件。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 ●注：桁架内力的计算方法 本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，其它杆件轴力利用结点法取结点作隔离体，按照A、C、B、D、F顺序列投影平衡条件求出各个杆件的轴力。 同一个结构的计算方法与几何组成有关，而与其上面的作用力无关，即如图b、c所示两个结构的轴力计算方法相同。 FN图例题3—9图 【解】 t0CD20C,t0EF10C ●D点的竖向位移： DVFNt0dxFNt0l110020)25ll( （竖向位移方向：向上） ●AE杆件的转角位移： AEFNt0dxt0FNl l(111020)2ll 25（转角位移方向：逆时针）

12 结构力学典型例题解析

【例题3-10】图示结构EB杆件制造短了15 mm，支座C下沉， 计算F点竖向位移和AD杆件的转角。 (a)D4 m EFG(c)D1EFG14BA4mB4m1C4m20mmA10mm14C00【分析】 ●构造单位力状态：求F点竖向位移的单位力状态如图b所示；由于制造误差和支座移动使结构产生刚体位移，AD杆件任一点转角相等，因此，求AD杆件转角位移的单位力状态如图c所示。 ●静定结构因制造误差和支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形，虚拟力状态的内力不做内力虚变形功，也就不需要作内力图；有制造误差的杆件将产生内力虚功，需计算相应的虚内力；虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功，需要求出对应有支座移动的约束反力；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。 ●计算支座反力：图a体系为基附型刚架，ADE为附属部分，BFC为基本部分按三刚片组成。要按照先附后基的原则计算。附属部分满足二刚片规则用截面法求，基本部分用双截面法（取两次隔离体）计算。 ●正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功；制造误差以伸长为正，轴力以拉为正。 ●注意：位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公式自带的。有制造误差，内力虚功不为零，内力虚功、外力虚功的符号由力、位移的正负符号决定，相同做正功。 (b)DE0.5FGAB0.5C0.50.5例题3—10图 【解】 ●F点的竖向位移： FVMdxFNdxQdxFRiciFNdxFRiciFNFRici (0.5)(15mm)0.520 mm0.510 mm22.5 mm●AD杆件的转角： ADMdxFNdxQdxFRiciFNdxFRiciFNFRici0.25103/mm(15mm)020 mm010 mm3.7510(弧度)-3

第3章 静定结构位移计算 13

【例题3-11】计算图示结构B点和C点的竖向位移。 (a)A2EIq(b)EI2ql20.5ql2A2=6ql3C3lBlll3l4AA1=C4ql33(c)BMP图2ly12(d)1y2lAy12l1y2l4ACM图B例题3—11图 CM图Bl【解】 ●求B点的竖向位移： BMMMMPPdsdsAC2EIEICMMBMMBMMPPPdsdsdsACC2EI2EI2EIBMM CEIPdsBMMBMMBMMPPPdsdsACC2EI2EIEIAy0A1y1A2y2A2y23ql4dsEI2EI2EIEI2EIC【分析】 ●构造单位力状态：对应每个位移单独画一个结构，画所求位移矢量，标单位力，即得虚拟单位力状态。求B、C点竖向位移的单位力状态分别如图c、d所示。 ●荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。 ●图乘法应用：本题荷载弯矩图为曲线图形，荷载弯矩图必须计算面积和确定形心位置。由于整个杆件的抗弯刚度不同，必须分段计算，分段后AC段形心位置不易确定，要将其分解成3个简单图形。本题利用积分公式与图乘法的关系，保证积分结果不变，对积分公式进行一个简单处理；加、减一个CB段刚度为2EI的积分，其弯矩图与原来CB段的弯矩图相同，这样就可以得到刚度为2EI的AB杆件积分公式，此时AB杆件可以直接利用图乘法计算； 刚度2EI的 CB杆段积分、刚度为EI的CB杆段积分也都可以直接利用图乘法计算。 ●符号选取：荷载弯矩图和形心对应弯矩在同侧时内力虚功为正值，此时图乘结果取正号；在异侧时内力虚功为负值，图乘结果取负号。 ●位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 BV●求C点的竖向位移： MMPdsA2EICMMBMMBMMPPPdsdsdsACC2EI2EI2EI BMMBMMAy0dsPPdsAC2EI2EIEIA1y1A2y217ql42EI2EI48EICVC

l X11 14 结构力学典型例题解析