指数式、对数式的运算

一、基础知识

1.指数与指数运算 (1)根式的性质

nn

①(a)n＝a(a使a有意义)． n

②当n是奇数时，an＝a； 当n是偶数时，

n

a，a≥0，

a＝|a|＝

－a，a<0.

n

(2)分数指数幂的意义

分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a②a

mnn＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ＝a1

mnmn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ars(a>0，r，s∈Q)；

＋

arr－s

②s＝a(a>0，r，s∈Q)； a③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：logaN＝b.

指数、对数之间的关系

(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②loga＝logaM－logaN；

N③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．

二、常用结论

1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝

1

(a，b均大于0且不等于1)； logba

n

(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；

mlogaMlogbM

(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)．

logaNlogbN2．换底公式的推广

logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 a

logaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．

考点一 指数幂的化简与求值

[典例] 化简下列各式：

3012－20.52 (1)2 5＋2·－(0.01)； 415－－32(4a3·(2)a3·b2·b). 2－1÷－3ab6

1211142121211116[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝. 10049431061015

115－5－551－

(2)原式＝－a6b3÷(4a3·b3)2＝－a6b3÷(a3b2)＝－a2·b2＝－·3＝

2444ab

121113135ab－. 4ab2

[解题技法] 指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

[题组训练]

1．若实数a>0，则下列等式成立的是( ) A．(－2)2＝4

－

1－

B．2a3＝3

2a D．(a

144

C．(－2)＝－1

0

1)＝

a

12－－

解析：选D 对于A，(－2)2＝，故A错误；对于B，2a3＝3，故B错误；对于C，

4a(－2)＝1，故C错误；对于D，(a

2．化简4a·b2a

A．－

3b6aC．－

b

解析：选C 原式＝－6a

21330

144

1

)＝，故D正确．

a

2313221÷－a3b3的结果为( ) 3

8a

B．－

b D．－6ab

1233b

6a－

＝－6ab1＝－. b

13－22733．计算：－2＋－8＋(0.002)2＝________.

22233312解析：原式＝－3＋－2＋500

2144

＝－＋＋105＝105.

99答案：105

考点二 对数式的化简与求值

[典例] 计算下列各式：

lg 2＋lg 5－lg 8(1)；(2)log23·log38＋(3)log34.

lg 50－lg 402×55lglg

84

[解] (1)原式＝＝＝1.

505lglg404

log34lg 33lg 2log2(2)原式＝·＋32＝3＋33＝3＋2＝5.

lg 2lg 3

1 [题组训练]

1．(log29)·(log34)＝( ) 1

A．

4C．2

1 B．

2 D．4

lg 9lg 42lg 3·2lg 2

解析：选D 法一：原式＝·＝＝4.

lg 2lg 3lg 2·lg 3log24

法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.

log23

1lg －lg 252．计算：41002＝________. ÷

111××1002＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 解析：原式＝lg425答案：－20

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________. 解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1， ∴1＝log2(9＋a)， ∴9＋a＝2，∴a＝－7. 答案：－7 4．计算：log5[4

1log21021－(33)－7

322323log72]＝________.

解析：原式＝log5[2答案：1

log210－(3)－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.

[课时跟踪检测]

1－

1．设＝log23，则3x－3x的值为( )

x8

A. 35C. 2

3 B. 27 D. 3

113－

解析：选B 由＝log23，得3x＝2，∴3x－3x＝2－＝. x22

2．化简2ab(－6ab)÷－3a6b6的结果为( )

A．－4a C．11a

B．4a D．4ab

2113262312121315解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab

115236＝4ab0＝4a.

45

3．(log29)(log32)＋loga＋loga5a(a>0，且a≠1)的值为( ) 4A．2 C．4

B．3 D．5

54解析：选B 原式＝(2log23)(log32)＋loga4×5a＝2×1＋logaa＝3. 4．设a>0，将a23

a·a2A．a C．a 解析：选C

a23a·a2＝a2a·a

237612表示成分数指数幂的形式，其结果是( )

B．a D．a ＝a2a

533256＝a2

56＝a

2-56＝a.

76a

P

5．如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ(a>0，且a≠1)，那么的值为( )

Q1A. 4C．1

B．4 D．4或1

解析：选B 由2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由对数运算P

性质得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得＝4.

Q

6．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于( ) A．1 1C. 8

1

B．0或

8 D．log23

解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由对数的运算性质得2(2x＋5)＝(2x

＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.

log2x，x>0，1

log3 的值是( ) 7．已知函数f(x)＝－x则f(f(1))＋f23＋1，x≤0，

A．2 C．4

B．3 D．5

1-log311log322log3 ＝f(log21)＋3解析：选D ∵log3 <0，由题意得f(f(1))＋f＋1＝f(0)＋322

＋1＝30＋1＋2＋1＝5.

11

8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )

abA.10 C．20

B．10 D．100

解析：选A 由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， 11

所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.

ab11

因为＋＝2，所以logm10＝2.

ab所以m2＝10，所以m＝10.

9．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________. 11

解析：由4a＝2，得a＝，又因为lg x＝a＝，

22所以x＝10＝10. 答案：10 10．计算：9解析：9

1-log95212＝________.

12-log951-log952＝9×9

13＝3×＝. 55

3答案： 5

a·b

11．化简：

6

23－1

12·a

12·b

13＝________.

a·b5a

解析：原式＝1答案： a

13·b·aa·b

16125612·b

13＝a

111326·b

1152361＝. a

1

12．已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过点P2，2，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.

12解析：令f(x)＝a(a>0,且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且b≠1)，h(x)＝x，则f2＝a＝2，

x

c

1111＝1c＝2，∴a＝4，b＝2，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝g＝log＝－log2＝2，hbb222221131，同理，x2＝，x3＝.∴x1＋x2＋x3＝.

442

3

答案： 2

13．化简下列各式：

710-3720.5＋0.1－2＋23－3π0＋； (1)92748

3(2)

72－32a·a÷

3

a3·a1；

－

－

23

lg 3＋lg 9＋lg27－lg355

(3). lg 81－lg 27

2526431375937解：(1)原式＝9＋2＋27－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

0.14831648

3

(2)原式＝

7232123÷

a

a·a

32·a

123＝

a÷

723a

12＝a÷a

7616＝a＝a.

8643491491lg 3＋lg 3＋lg 3－lg 31＋＋－lg 3

5102510211

(3)法一：原式＝＝＝. 54lg 3－3lg 34－3lg 3lg3×9×27

法二：原式＝81lg27

251325×3

12

＝

lg 311

＝. lg 35

115第九节 指数函数

一、基础知识

1．指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

形如y＝kax，y＝axk(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函

＋

数．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 00时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01 在定义域R上为减函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0指数函数图象的特点

1

－1，，依据这三点的坐标可得到指数函数(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，a的大致图象．

1x

(2)函数y＝ax与y＝a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图

象“上升”；当0考点一 指数函数的图象及应用

[典例] (1)函数f(x)＝21x的大致图象为( )

－

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

1x－

[解析] (1)函数f(x)＝21x＝2×单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求． 2，(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清]

1.[变条件]本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x1|，则f(x)的大致图象为( )

－

解析：选B f(x)＝2|x1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B

－

正确．

2.[变条件]本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________． 解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．

答案：{0}∪[1，＋∞)

3．若函数y＝21x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．

－

1x－1－1x－1的图象如图所示， 解：y＝21x＋m＝＋m，函数y＝22

则要使其图象不经过第一象限， 则m≤－2.

故m的取值范围为(－∞，－2]．

考点二 指数函数的性质及应用

考法(一) 比较指数式的大小

[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b432545432513 B．a[解析] 因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b考法(二) 解简单的指数方程或不等式

[典例] (2019·西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

[解析] ∵f(x)为偶函数，

当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2x－4.

－

43231323232x－4， x≥0，

∴f(x)＝－x

2－4，x＜0，

x－2≥0，x－2＜0，

当f(x－2)＞0时，有x－2或－x＋2 2－4＞0－4＞0，2

解得x＞4或x＜0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． [答案] {x|x>4或x<0} [解题技法]

简单的指数方程或不等式问题的求解策略

(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．

(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

考法(三) 指数型函数性质的综合问题

1ax2－4x＋3[典例] 已知函数f(x)＝. 3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．

1－x2－4x＋3[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝， 3令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，1t

而y＝所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，3在R上单调递减，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝3， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， a>0，

因此必有23a－4

g＝＝－1，aa

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性

形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关： (1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；

(2)若0[题组训练]

1x2＋2x－11．函数y＝的值域是( ) 2A．(－∞，4) C．(0,4]

B．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

1t解析：选C 设t＝x2＋2x－1，则y＝2. 1

因为0<<1，

2

1t

所以y＝2为关于t的减函数． 因为t＝(x＋1)2－2≥－2， 1t1－2所以0故所求函数的值域为(0,4]．

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．aB．a解析：选C 因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2

－a

与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋

10.1

∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝a的大小关系是( )

A．M＝N C．M解析：选D 因为f(x)＝x2

－a

B．M≤N D．M>N

与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调

10.1性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝a<1，所以M >N.

x

4，x≥0，

4．已知实数a≠1，函数f(x)＝a－x若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

2，x<0，

11－

解析：当a<1时，41a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为.

221

答案： 2

[课时跟踪检测]

A级

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )

解析：选A 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2axA．(1,6) C．(0,5)

－1

的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )

B．(1,5) D．(5,0)

解析：选A 由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax

－1

的图象恒过定点P(1,6)．

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b

B．a＞c＞b D．b＞c＞a

解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

14．(2019·南宁调研)函数f(x)＝21－∞， A.21C.2，＋∞

xx2的单调递增区间是( )

1

0， B.21 D.2，1

1t

解析：选D 令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝2是1减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间2，1，故选D.

5.函数f(x)＝ax

－b

的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

B．a>1，b>0 D．0－b

A．a>1，b<0 C．00 解析：选D 由f(x)＝ax

的图象可以观察出函数f(x)＝ax

－b

－b

在定义域上

单调递减，所以0的图象是在y＝ax的图象的基础上向

x

1－2，x≥0，

6．已知函数f(x)＝x则函数f(x)是( )

2－1，x<0，

－

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

解析：选C 易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2x，－f(x)＝2x－1，此时－x<0，则

－

－

f(－x)＝2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－

－

2

－(－x)

＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

13.3

13.9，则a________b．(填“<”或“>”) 7．(2018·深圳摸底)已知a＝，b＝331x13.3>13.9，即a>b. 解析：因为函数y＝为减函数，所以333答案：>

1x1x

8．函数y＝4－2＋1在[－3,2]上的值域是________．

1x1，8. 解析：令t＝，由x∈[－3,2]，得t∈24113

t－2＋t∈，8. 则y＝t2－t＋1＝24413

当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

243

，57. 故所求函数的值域是43

，57 答案：4

9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

a1＋b＝－1，

解析：当a>1时，函数f(x)＝a＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得0

a＋b＝0

－

x

1a＋b＝0，x

无解．当0－

1a＝2，3

所以a＋b＝－.

2

b＝－2，

3

答案：－

2

10．已知函数f(x)＝a|x1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系

＋

是________．

解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.

＋

由于函数f(x)＝a|x1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数

＋

f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．

答案：f(－4)＞f(1)

1ax

11．已知函数f(x)＝2，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a的值；

(2)若g(x)＝4x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

－

1－a解：(1)由已知得2＝2，解得a＝1. 1x(2)由(1)知f(x)＝2，

1x－

又g(x)＝f(x)，则4x－2＝2， 1x1x∴4－2－2＝0，

1x2令＝t，则t>0，t－t－2＝0， 2即(t－2)(t＋1)＝0，

1x

又t>0，故t＝2，即2＝2，解得x＝－1， 故满足条件的x的值为－1. 2|x|－a12．已知函数f(x)＝3. (1)求f(x)的单调区间；

9

(2)若f(x)的最大值是，求a的值．

4

2t

解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝3，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，

2t又y＝3在R上单调递减，

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．

992－2(2)由于f(x)的最大值是，且＝，

443所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2， 从而a＝2.

B级

1

1．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－x，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等

e式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )

4

－∞，－∪(2，＋∞) A.3

B．(2，＋∞)

4

－∞，∪(2，＋∞) C.3

D．(－∞，2)

1

解析：选B 函数f(x)＝ex－x的定义域为R，

e

11－

∵f(－x)＝ex－－x＝x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0

ee等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．

2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值

范围是________．

解析：①当02

－2|(0②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．

20，. 所以实数a的取值范围是32

0， 答案：3

11

3．已知函数f(x)＝ax－1＋2x3(a＞0，且a≠1)．



(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意x，有

11a111

f(－x)＝a－x－1＋2(－x)3＝1－ax＋2(－x)3＝－1－ax－1＋2(－x)3

11

＝ax－1＋2x3＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． (2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0， 11

则ax－1＋2x3＞0， 

ax＋111

即x＋＞0，即x＞0，则ax＞1. a－122a－1又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.

x