指数函数题库及习题

课时提升作业 十六

指数函数的图象及性质

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.下列各函数中,是指数函数的是 ( )

A.y=(-3)x B.y=-3x

C.y=3x-1 D.y=

【解析】选D.由指数函数的定义知选项A中底数-3<0,不符合要求;选项B中系数为-1,不符合要求;选项C中,指数位置为x-1,不符合要求;只有选项D符合要求.

【补偿训练】下列函数中指数函数的个数为 ( )

①y=;②y=;③y=2x+3;

④y=ax(a>0且a≠1,x≥0);⑤y=1x;

⑥y=-1;⑦y=.

A.1 B.2 C.4 D.5

【解析】选A.利用指数函数的定义可判断只有y=是指数函数.

2.(2016·菏泽高一检测)若函数y=ax-(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限,则有 ( )

A.a>1且b<0 B.a>1且b>0

C.00 D.0【解析】选B.由函数的图象在第一、三、四象限可知,此函数应为递增的,故a>1,又过定点(0,-b),此点应在y轴的负半轴上,则-b<0,即b>0.

【补偿训练】指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则 ( )

A.a<0,b<0

B.a<0,b>0

C.01 D.0【解析】选C.指数函数在底数大于1时单调递增,底数大于0小于1时单调递减,因而选C.

3.(2016·大庆高一检测)函数y=2+ax-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点,它的坐标为 ( )

A.(2,2) B.(2,3)

C.(-2,2) D.(3,2)

【解析】选B.令x=2,得y=2+a0=3,所以函数y=2+ax-2的图象恒过定点(2,3).

【补偿训练】已知对不同的a值,函数f(x)=2+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是 ( )

A.(0,3) B.(0,2)

C.(1,3) D.(1,2)

【解析】选C.令x-1=0,得x=1,此时f(x)=2+1=3,所以图象恒过定点(1,3).

4.指数函数y=f(x)的图象过点(1,3),则f(f(1))= ( )

A.3 B. 9 C. 27 D.

【解析】选C.设f(x)=ax(a>0,a≠1),则a1=3,即a=3,所以f(x)=3x.所以f(1)=3,f(f(1))=f(3)=27.

【延伸探究】若本题条件改为“指数函数y=f(x)的图象过点(-1,3)”,则f(f(1))的值又如何求解?

【解析】设f(x)=ax(a>0,a≠1),则a-1=3,所以a=,所以f(x)=f

=

,故f(f(1))=f

=

.

,则f(1)=,则

5.(2016·广州高一检测)下列函数中,值域为(0,+∞)的是 ( )

A. y= B.y=

C.y= D.y=

【解析】选B.易知C值域为[0,+∞),A值域为{y|y>0且y≠1},D值域为[0,1).

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2016·大连高一检测)指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是

________.

【解析】由题意可知,0<2-a<1,即1答案:17.当x>0时,函数y=(a-8)x的值域恒大于1,则实数a的取值范围是________.

【解析】当0函数y=(a-8)x在(0,+∞)上单调递减,

则当x>0时,(a-8)x<(a-8)0=1不符合题意,

当a-8>1即a>9时,

函数y=(a-8)x在(0,+∞)上单调递增,

则当x>0时,(a-8)x>(a-8)0=1符合题意,

所以实数a的取值范围是a>9.

答案:a>9

8.(2016·天津高一检测)函数y=ax在[0,1]上的最大值和最小值的和为3,则a的值等于 .

【解题指南】对a分类讨论,分为a>1和0【解析】当a>1时,ymin=a0=1;ymax=a1=a,由1+a=3,所以a=2.

当0答案:2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.求下列函数的定义域和值域:

(1)y=.

(2)y=5-x-1.

【解析】(1)要使函数y=有意义,只需1-x≥0,即x≤1,

所以函数的定义域为{x|x≤1}.

设y=3u,u=,则u≥0,

由函数y=3u在[0,+∞)上是增函数,得y≥30=1,所以函数的值域为{y|y≥1}.

(2)函数y=5-x-1对任意的x∈R都成立,所以函数的定义域为R.因为5-x>0,所以5-x-1>-1,所以函数的值域为(-1,+∞).

10.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.

(1)求a的值.

(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.

【解析】(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,

所以a2-1=a=.

(2)由(1)得f(x)=(x≥0),函数为减函数,

当x=0时,函数取最大值2,

故f(x)∈(0,2],

所以函数y=f(x)+1=+1(x≥0)∈(1,3],

故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知函数f=2x+a的图象不过第二象限,那么常数a的取值范围是 ( )

A.(-1,+∞) B.(-∞,-1]

C.[-1,+∞) D.(-∞,1)

【解析】选B.函数y=2x图象向下平移1个单位后图象过原点(0,0),不过第二象限.再向下平移,仍然不过第二象限,即把y=2x图象向下至少平移1个单位,所得函数y=2x+a图象就满足条件,由向下平移图象的变换法则,知a≤-1.

2.(2016·福州高一检测)设函数f(x)=( )

若f(x)是奇函数,则g(2)的值是

A.- B.-4 C. D.4

【解析】选A.设x>0,则-x<0,由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-2-x=-,则g(2)=-=-.

.故g(x)=-

【延伸探究】把本题中的条件“若f(x)是奇函数”改为“若f(x)是偶函数”,其他条件不变,试求g(2)的值.

【解析】设x>0,则-x<0,由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=2-x=.

故g(x)=,

则g(2)==.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·山东高考)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________ .

【解析】当a>1时,函数f(x)单调递增,则无解;

当0答案:-

4.已知函数f(x)=abx+c(b>0,b≠1),x∈[0,+∞),若其值域为[-2,3),则该函数的一个解析式可以为f(x)=________.

【解析】因为f(x)=abx+c(b>0,b≠1),x∈[0,+∞),其值域为[-2,3),

所以当x=0时,f(0)=a+c=-2,

当x→+∞时,bx→0,f(x)→c=3,

解得a=-5,c=3,0所以f(x)=-5+3(满足0答案:-5+3(满足0三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·济南高一检测)设f(x)=3x,g(x)=.

(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象.

(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?

【解析】(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:

(2)f(1)=31=3,

g(-1)==3;

f(π)=3π,g(-π)==3π;

f(m)=3m,g(-m)==3m.

从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.

【拓展延伸】指数函数图象的记忆口诀

多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.

撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹.

x=1为判底线,交点纵标看小大.

重视数形结合法,横轴上面图象察.

6.已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1,3)和(0,2).

(1)试确定函数f(x)的解析式.

(2)若关于x的方程|f(x)-2|=m有两个不同解,求实数m的取值范围.

【解题指南】(1)把点的坐标代入函数解析式,列出方程组求出a,b的值即可.

(2)根据题意,方程有两个不同的解,即h(x)=|f(x)-2|与g(x)=m的图象有两个交点,求出m的取值范围即可.

【解析】(1)因为函数f(x)=ax+b的图象过点(1,3)和(0,2),

所以

解得a=2,b=1,

所以f(x)=2x+1.

(2)因为关于x的方程|f(x)-2|=m有两个不同的解,

即|2x-1|=m有两个不同解,

设h(x)=|2x-1|,g(x)=m,

画出图象如图所示,

由图象知,当0所以对应方程有两个不同的解,

所以所求实数m的取值范围是{m|0