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几种特殊的函数
知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果
，那么叫做的次方
根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为
；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相
.
反数可以表示为
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子
2.n次方根的性质：
叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
(1)当为奇数时， (2)
3.分数指数幂的意义：
；当为偶数时，
；
注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
2
(1)
(2)
(3)
知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数函数的定义域为.
2.指数函数函数性质： 函数 指数函数 名称 定义 函数 且叫做指数函数 叫做指数函数，其中是自变量，
图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 图象过定点 ，即当非奇非偶 时，.
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单调性 函数值的 变化情况 在上是增函数 在上是减函数 变化对 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象图象的影限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 响
知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若
，则叫做以为底叫做真数.
的对数，记作
，其中叫做底数，
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：
2.几个重要的对数恒等式
3.常用对数与自然对数 常用对数：
.
，，.
，即；自然对数：，即(其中
4
…).
4.对数的运算性质 如果 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数量，函数的定义域
2.对数函数性质： 函数 对数函数 .
叫做对数函数，其中是自变
，那么
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名称 定义 函数 且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 变化对 在上是增函数 图象过定点 ，即当非奇非偶 在时，. 上是减函数 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限图象的影内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 响
知识点五：反函数 1.反函数的概念
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设函数得式子
的定义域为，值域为，从式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子
中解出，
，
在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子数，函数改写成
2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数定义域. (3)若
在原函数
的图象上，则
与反函数叫做函数.
的反函数，记作
表示是的函
，习惯上
的图象关于直线对称. 的值域、
的定义域、值域分别是其反函数
在反函数
的图象上.
(4)一般地，函数
3.反函数的求法
(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域； (2)从原函数式 (3)将
要有反函数则它必须为单调函数.
中反解出；
改写成，并注明反函数的定义域.
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知识点六：幂函数 1.幂函数概念 形如
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布
在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分 布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数 时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在
的函数，叫做幂函数，其中为常数.
都有定义，并且图象都通过
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点.
，则幂函数的图象过原点，并且在
，则幂函数的图象在
(3)单调性：如果
上为增函数.如果
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴. (4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时， 幂函数为偶函数.当
(其中
互质，和
)，指两个
正整数只有一个公约数1时，它们的关系叫做互质 若为奇数为奇数时，则偶数时，则
是偶函数，
是非奇非偶函数. ，当
，其图象在直线上方，若下方.
,
时，若上方，当
，其时，
是奇函数，若为奇数为
若为偶数为奇数时，则 (5)图象特征：幂函数图象在直线若
下方，若
，其图象在直线
其图象在直线
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