定积分的解法

一、定积分的计算

例1 用定积分定义求极限.

1a2analim(a0). a1nn1x1a1i1a解 原式=limxdx=.

0n1a1anni10n1a1例2 求极限 limxn1x2n0dx. xn1x21解法1 由0x1，知01x，于是0nxn1x20dxxndx.

011xn11xnn0n，由夹逼准则得lim而xdxdx=0.

002nn10n11x1解法2 利用广义积分中值定理

bafxgxdxfgxdx（其中gx在区间a,b上不变号），

ab1xn1xn20dx112n10xndx0n1. 由于0112n1，即

112n有界，

11xndx=0. 0xdxn10n，故lim02n1x1注 （1）当被积函数为Rx,a2x2或Rx,x2a2型可作相应变换.

1如对积分对积分

3dx02x211x2，可设xtant；

2a0x2axx2dxa0，由于2axx2a2xa2，可设

xaasint.

对积分ln201e2xdx，可设exsint.

（2）I20asintbcostdtc,d0的积分一般方法如下：

csintdcost第 1 页 共 13 页

将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]，可求出ABbcad. 则积分 22cdacbd，

c2d2I0csintdcost2ABdtcsintdcost12ABlncsintdcost202ABlnc. d例3 求定积分1arcsinxx1xdx

2分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 11arcsinxx1xdxtx2xt2211arcsint1t22dt21arcsintdarcsintarcsin2t21112

32. 16解法2 11arcsinx2u2sinucosuduu2dxxsinu2sinucosux1x422432. 16小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元xt时还应注意：

（1）xt应为区间,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；

（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.

例4 计算下列定积分

sin3xdxcos3x22dx； （1）I1， I20sinxcosx0sinxcosx6cosx（2）2dx.1ex2

解 （1）I120sin3xdx

sinxcosx第 2 页 共 13 页

cos3u xu(du)

22cosusinu0 =20cos3xdxI2.

cosxsinx12sin3xcos3xdx 故I1I202sinxcosx12122sinxsinxcosxcosxdx =. 2046cosx（2）I2dx.

1ex26cosuduxu21eu2

2cosxdx1ex26

612excos6xcosx2Idx21exdx 221ex

12cos6xdx2cos6xdx0225315.642232

这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：

20sinxdx2cosndx

0nn1n342n奇数nn231, 

n1n331,n偶数2nn242小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设xau;积分区间为[-a,a]时，设xu。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得

第 3 页 共 13 页



20gsinxgcosxdx2dx

0fsinxfcosxfsinxfcosx例5 设fx在0,上具有二阶连续导数，f3，

且fxfxcosxdx2，求f0.

0解 fxfxcosxdx

0fxdsinxcosxdfx00sinxfx0sinxfxdxcosxfx0sinxfxdx

00ff02故 f02f235.

小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择u,dv的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.

例6 计算定积分2n0sin6xdx（n为自然数）.

解 sin6x是以为周期的偶函数.

5315原式2nsinxdx2n2sinxdx4n2sin6xdx4n.

0064228266例7 证明积分I解 I0dx与无关，并求值. 21x1x01tdx 21x1x x0tdtxdx，于是 2201t1t1x1x1dxxdxI 22021x1x1x1x 1dx1arctanx. ┃ 2002241x小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.

第 4 页 共 13 页

二、含定积分的不等式的证明

例8 证明（1）2e证 （1）fxe121212exdx2；22x2xesintsintdt0.

x211x2在,上连续，令fxe2x0，得x0.

2211111比较f,fe2与f01的大小，知在上的最大值为

22221Mf01，最小值为mfe2，故

2111111x2medxM22. 1222221 2e2（2）由于esintsint以2为周期， Fxx2xesintsintdtesintsintdt

022 esintsintdtesintsintdt.

0而 esintsintdt令u2tesinusinudu

02 esintsintdt，

0因为 esintesintsint0，t0,.

所以 Fxesintesintsintdt0 ┃

0 事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x无关，仅为取正值的常数. 例9 设fx是0,1上单调减少的正值连续函数，证明 fxdxfxdx 01.

0证 利用积分中值定理，

fxdxfxdx

0f1f2 01,21

第 5 页 共 13 页

f1f22f20（因为fx递减取正值）.

即 fxdxfxdx 01. ┃

0例10 设fx在0,b上连续且单调递增，证明：当0ab时，有 xfxdxabbbaafxdxfxdx. （10．1） 0022分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将b换成u，作辅助函数Fu，即需证Fb0.

证 作Fuxfxdxauuuaafxdxfxdx aub， 002211u则 Fuufuufufxdx

220 1ufufxdx0（因为fx递增，fufx0） 02于是，由拉格朗日中值公式，有

FbFaFbaFba0. ab.

即式（10．1）成立.

例11 设fx在a,b上连续，且fa0，证明

baMbafxdx,Mmaxfx.

axb22分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计fx.

证 因为fx在a,b上连续，故有界，即存在M0，使fxM，xa,b fxfxfaxafMxa, 故

fxdxfxdx

aabbb2ba. ┃ MxadxMa2例12 设fx在0,a上二阶可导，且fx0，证明

aa fxdxaf.

02分析 已知fx二阶可导，可考虑利用fx的一阶泰勒公式估计fx；又所证

第 6 页 共 13 页

的不等式中出现了点证 fx在

aa，故考虑使用x0处的泰勒公式. 22a处的一阶泰勒公式为 22afaaafxffxx，

22！222其中，在x与

a之间.利用条件fx0，可得 2aaa fxffx，

222两边从0到a取积分，得

a0aaaaafxdxaffxdxaf. ┃

22202小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： （1） 利用定积分的保序性； （2） 利用积分上限函数的单调性.

三、定积分的应用

例13 求由曲线xyaa0与直线xa,x2a及y0所围成的图形分别绕x轴、y轴及y1旋转一周所成的旋转体的体积.

yxy=aFGOAD(a,1)C(2a,0.5)Bx图11—8

解 （1）绕x轴旋转，积分变量为x,xa,2a V2aa1adxa.

2x2第 7 页 共 13 页

（2）绕y轴旋转 （3）绕y＝1旋转

解法1 取y为积分变量，y0,1，直线xa及x2a和双曲线xya的交点D及C的纵坐标分别为y1和y

1

.设平面图形CDFG，BCGO及ADFO（见图112

—8）绕y轴旋转而成的立体的体积分别为V1,V2和V3，则所求旋转体的体积为 VV1V2V3

a222 1dy2aa2a. y221211解法2 取y为积分变量，y0,1，将0,1分成两部分区间：0,和,1.

221在0,上，体积元素为 2 dV12aady3a2dy.

221在,1上，体积元素为 2a2121 dV2adya22dy. y故所求体积为

111 V3a2dy1a2y2dy

212031 a2a22a2.

22解法3 选x为积分变量，xa,2a.将旋转体分割成以y轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间x,xx的窄曲边梯形可近似地看做高为y的体积，即体积元素为

a dV2xdx.

x2a2aa因此有 V2xdx2adx2a2.

aaxa，宽为dx的举矩形，它绕y轴旋转而成的圆柱形薄壳x第 8 页 共 13 页

（3）绕y1旋转

选x为积分变量，xa,2a.

2a2体积元素为 dV11dx

x所求体积为 V2aa2922a2aa211dx2dx axxx2a11 2alnxa2a2ln2.

xa2小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.

（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若xOy平面中的平面图形D是由曲线y1x,y2x

2x1x与直线xa,xb所围成，则分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积

为

Vx2x1xdx22abaVy22x1xxdx.b

第二部分 二重（三重）积分

一、重积分的计算及技巧总结

计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：

1． 直角坐标系下确定积分次序的原则

（1）函数原则

内层积分能够求出的原则.

例如fx,ygxey一定应先对x积分，后对y积分.

2第 9 页 共 13 页

y例如fx,ycosgy一定应先对y积分，后对x积分.

x（2）区域原则

若积分区域为Y型（即用平行于x轴的直线穿过区域D，它与D的边界曲线相交最多为两个点），应先对x积分，后对y积分.

若积分区域为X型（即用平行于y轴的直线穿过区域D，它与D的边界曲线相交最多为两个点），应先对y积分，后对x积分.

若积分区域既为X型区域，又为Y型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对x积分或先对y积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.

（3）少分块原则

在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单. 2．直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则 （1）每层积分的下限都应小于上限.

（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数. （3）外层积分限必须为常数.

3．当二重积分的积分域D为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有x2y2的函数形式，即gx,yfx2y2时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先r后的积分次序. 4．极坐标下积分限的确定 当极点在积分域D之外时 fx,yddDr2r1frcos,rsinrdr.

当极点在积分域D的边界曲线上时 fx,yddDr0frcos,rsinrdr.

当极点在积分域D内时 fx,yddD02r0frcos,rsinrdr.

r2 fx,yddD02r1frcos,rsinrdr.

第 10 页 共 13 页

小结 化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.

确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.

小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后，定限时仍采用“穿线法”。为确定的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域D开始接触时的角即为的下限，离去时的角即为上限；又由于极径r0，穿入时碰到的D的边界曲线r1为下限，穿出时离开的D的边界曲线r2为上限.

小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域D的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示. 表18—1 积分区域的形状 被界函数的形状 fx,y 应选坐标系 直角坐标系 D为矩形、三角形、或其他形状 D为圆域、圆环域、扇形域或环扇形域 小结 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.

yfx2y2或f x极坐标系 第 11 页 共 13 页

小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.

5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？

“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：

如果域界于平面zc1和zc2c1c2之间，用任一平行于xOy面的平面

zz去截域

c2c1

(c1zc2)得平面区域

Dz，则有

fx,y,zdVdzfx,y,zd.当被积函数fx,y,z仅是z的函数，而截得

Dz的区域Dz的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.

小结 用不等式组表示空间区域的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域向xOy面投影得到的投影区域是Dxy，过Dxy中任一点由下向上作平行于z轴的直线穿过空间区域时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面zf1x,y和穿出时离开的曲面zf2x,y，于是变量z的变化范围是f1x,yzf2x,y，x,yDxy，然后再根据区域在xOy面上的投影区域Dxy确定变量y与x的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域向yOz面或zOx面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。

小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：

（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐

第 12 页 共 13 页

标系极适当的积分次序；

（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；

（３）确定积分限，化为三次积分； （４）计算积分．

可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．

第 13 页 共 13 页