一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 𝑛+2在实数范围内有意义，则𝑛的取值范围是( )A. 𝑛≠2
B. 𝑛≥2
C. 𝑛≥−2
D. 𝑛≤2
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. 4B. 7C.
19D. 0.53. 下列计算正确的是( )A. 1+ 2= 3B. 5 2−2 2=3
C. 2×3 5=6 5D. 2÷ 6=
234. 下列条件中，能够判断△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是( )A. 𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，𝐴𝐶=10C. ∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶
B. 𝐴𝐵：𝐵𝐶：𝐴𝐶=1：2：3D. ∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5
5. 如图，在下列给出的条件中，不能判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形的
是( )
A. 𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶B. ∠𝐴=∠𝐶，∠𝐵=∠𝐷C. 𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶D. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶
6. 如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口𝑂点处出发，其中快船
沿北偏东30°方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西60°方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达𝐴，𝐵两点，则此时两船之间的距离等于( )
A. 5海里B. 3海里C. 2 3海里D. 2 5海里7. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形一定是( )A. 菱形
B. 矩形
C. 正方形
D. 平行四边形
8. 等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=120°，若𝑆△𝐴𝐵𝐶=4 3，则𝐵𝐶的长度为( )A. 4 3B. 2 3或4 3C. 4 6D. 2 6或4 6第1页，共22页
9. 如图，将菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷以直线𝐴𝑁为对称轴翻折至𝐴𝑀，使点𝐶恰好落在𝐴𝑀上.若此时𝐶
𝑀=𝐶𝑁，则∠𝐷的度数为( )
A. 30°B. 54°C. 45°D. 36°
菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷长度为4，边长𝐴𝐵=√5，𝑀为10. 如图，
菱形外一个动点，满足𝐵𝑀⊥𝐷𝑀，𝑁为𝑀𝐷中点，连接𝐶𝑁、则当𝑀运动的过程中，𝐶𝑁长度的最大值为( )
A. 1+ 2B. 1+2 5C. 1D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简二次根式： 12=______．
12. 如图，在数轴上表示1的点为𝐴，以𝑂𝐴为边构造正方形𝐴𝑂𝐶𝐵，以𝑂为圆心，𝑂𝐵为半径画
圆弧交数轴于点𝐷，则𝐷点表示的数为______ ．
13. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，
若𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=12，则△𝐷𝐸𝐹的周长为______ ．
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14. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的内角∠𝐵=60°，以𝐴𝐷为边向外作等
腰直角△𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=90°，连接𝐶𝐸交𝐴𝐷于𝐹，则∠𝐸𝐹𝐷= ______ ．
915. 已知𝑆△𝐴𝐵𝐶=2，𝐴𝑀为△𝐴𝐵𝐶的高且𝐴𝑀=3，𝐶𝑀=1，𝑁为𝐴𝐵中点，则𝑀𝑁的长度为
______ ．
16. 如图1所示，一个三角形纸片𝐴𝐵𝐶的尺寸为：𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=4𝑐𝑚，𝐴𝐶=5𝑐𝑚，将其
放置于图2所示的矩形纸板𝑀𝑁𝑃𝑄上，首先移动到△𝐴1𝐵𝐶1的位置，接着又移动到△𝐴2𝐵1𝐶1的位置，其中点𝐴，𝐵，𝐶1，𝐴2均位于矩形纸板的边上.若在两次移动过程中，恰有∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴2𝑁=30°，则线段𝐴𝐴2的长度等于______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 18−2 2+ 3；(2)2 8÷ 2× 6．18. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，𝐷𝑁⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝑀，𝑁.求证：四边形𝐵𝑁𝐷𝑀是矩形．
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19. (本小题8.0分)
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=3，𝐵𝐶= 7，𝐶𝐷=5，∠𝐵=90°，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
20. (本小题8.0分)
已知𝑥=2+ 3,𝑦=2− 3．(1)直接写出𝑥+𝑦= ______ ，𝑥𝑦= ______ ；(2)试求𝑥2+𝑦2的值；(3)试求𝑦−𝑥的值；𝑥𝑦21. (本小题8.0分)
如图所示，有正方形组成的10×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点.等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶的顶点均为格点，点𝑀在线段𝐵𝐶上，请你仅用无刻度直尺按要求完成作图，作图痕迹用虚线表示．
(1)作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷；(2)作线段𝐴𝐶的中点𝑂；
(3)作线段𝑂𝐸//𝐴𝐵，且𝑂𝐸=0.5𝐴𝐵，点𝐸在线段𝐴𝐷上；(4)在𝐴𝐵上作点𝑁，使得𝐴𝑀=𝐶𝑁．
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22. (本小题10.0分)
如图所示，在平面直角坐标系中，点𝐵(1,2)，𝐴𝐵⊥𝑦轴于点𝑀，点𝐶在𝑥轴的正半轴上，且𝐴𝐵=𝑂𝐶=𝑚，连接𝐴𝐶，𝐵𝑂．
(1)证明：四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是平行四边形；(2)当𝐴𝐶⊥𝐵𝑂时，求𝑚的值；
(3)当△𝐵𝑂𝐶为等腰三角形时，直接写出𝑚的值．
23. (本小题10.0分)
已知△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐸𝐹均为等腰直角三角形，且∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹=90°．
(1)如图1所示，点𝐴与点𝐷重合，且点𝐹在线段𝐵𝐶上，连接𝐵𝐸，试判断𝐵𝐸与𝐶𝐹的数量关系与位置关系，并证明你的结论；
(2)如图2所示，点𝐵与点𝐸重合，且点𝐹在线段𝐴𝐵上，连接𝐴𝐷，𝐶𝐹.试证明：𝐶𝐹= 2𝐴𝐷．
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24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是矩形，点𝐵(2,𝑎)位于第一象限，点𝐶，𝐴分别位于𝑥，𝑦轴的正半轴上．
(1)如图1，当𝐷位于𝑂𝐴延长线上时，若𝑎=4，𝑂𝐷=𝐴𝐶，直接写出𝐷点的坐标；(2)如图2，在(1)的条件下，取𝐵𝐷的中点𝑀，连接𝐴𝑀，𝐶𝑀，试证明：𝐴𝑀⊥𝐶𝑀；(3)如图3，当𝐷位于𝐵𝐴延长线上时，𝐶𝐷交𝐴𝑂于点𝐸，连接𝐵𝐸，若∠𝐵𝐸𝐶=2∠𝑂𝐸𝐶，𝐶𝐷=2
5，试求𝐴𝐸的长度．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：∵二次根式 𝑛+2在实数范围内有意义，∴𝑛+2≥0，∴𝑛≥−2．故选：𝐶．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴． 4的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B. 7是最简二次根式，故本选项符合题意；C. 1的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
9D. 0.5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：𝐵．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、 2与1不能合并，故不符合题意；B、原式=3 2，故不符合题意；C、原式=6 5，故符合题意；D、原式=故选：𝐶．
根据二次根式的加减法对𝐴、𝐵进行判断；根据二次根式的乘法法则对𝐶进行判断；根据二次根式的除法法则对𝐷进行判断．
3，故不符合题意．3第7页，共22页
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴.因为𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=62+82=100，𝐴𝐶2=102=100，即𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2，所以△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故A选项符合题意；
B.设𝐴𝐵=𝑎，𝐵𝐶=2𝑎，𝐴𝐶=3𝑎，因为𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝑎2+(2𝑎)2=5𝑎2，𝐴𝐶2=(3𝑎)2=9𝑎2，即𝐴𝐵2+𝐵𝐶2≠𝐴𝐶2，所以△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故B选项不符合题意；
C.由∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶，可得∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=60°，所以△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故C选项不符合题意；
D.因为∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5，所以∠𝐴=
435×180°=45°，∠𝐵=×180°=60°，∠𝐶=×
121212180°=75°，所以△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：𝐴．
A.应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；B.应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；C.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；D.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理即三角形内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理即三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
5.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、根据𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶不能判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，故本选项符合题意；B、根据∠𝐴=∠𝐶，∠𝐵=∠𝐷能判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，故本选项不符合题意；C、根据𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶，得出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，故本选项不符合题意；D、根据𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶能判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：𝐴．
平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推
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理，此题是一道比较容易出错的题目．
6.【答案】𝐷
【解析】解：由题可知：∠𝐵𝑂𝐴=90°，𝑂𝐵=1×2=2，𝑂𝐴=2×2=4，∴𝐴𝐵= 𝑂𝐴2+𝑂𝐵2= 22+42=2 5海里，故选：𝐷．
根据方位图和勾股定理解题即可．
本题考查方位角和勾股定理，正确识别方位角是解题的关键．
7.【答案】𝐷
【解析】解：根据三角形中位线定理可得：连接后的四边形的对边平行且相等，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选：𝐷．
利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
8.【答案】𝐴
【解析】解：过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，如图所示：
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=120°，
∴∠𝐵=∠𝐶=30°，𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶，∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐶，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，𝐵𝐷= 𝐴𝐵2−𝐴𝐷2= 3𝐴𝐷，∴𝐵𝐶=2 3𝐴𝐷，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=×2 3𝐴𝐷2= 3𝐴𝐷2=4 3，1212121212第9页，共22页
∴𝐴𝐷=2，∴𝐵𝐶=4 3．故选：𝐴．
过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，由题意易得∠𝐵=∠𝐶=30°，则有𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐶，由勾股定理得𝐵𝐷=
1212𝐴𝐵2−𝐴𝐷2= 3𝐴𝐷，然后问题可求解．
本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
9.【答案】𝐷
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，根据折叠可知，∠𝑀=∠𝐷，∵𝐶𝑀=𝐶𝑁，∴∠𝐶𝑁𝑀=∠𝑀，∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝑀+∠𝐶𝑁𝑀，∴∠𝐴𝐶𝐷=2∠𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐷，∵∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐷=180°，∴2∠𝐷+2∠𝐷+∠𝐷=180°，即5∠𝐷=180°，∴∠𝐷=36°．故选：𝐷．
根据菱形性质得出𝐴𝐷=𝐶𝐷，求出∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，根据折叠得出∠𝑀=∠𝐷，根据𝐶𝑀=𝐶𝑁，得出∠𝐶𝑁𝑀=∠𝑀，得出∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐷，根据三角形内角和定理得出5∠𝐷=180°，即可求出结果．
本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外界的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角，证明∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐷．
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10.【答案】𝐴
【解析】解：连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷于点𝑂，连接𝑂𝑁，取𝑂𝐷的中点𝐺，连接𝐺𝑁，𝐺𝐶，如图所示：
在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∵𝐵𝐷=4，𝐴𝐵=√5，∴𝑂𝐷=𝑂𝐵=2，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，根据勾股定理，可得𝑂𝐴= (5)2−22=1，
∴𝑂𝐶=𝑂𝐴=1，∵𝑁是𝑀𝐷的中点，∴𝑁𝑂是△𝐷𝑀𝐵的中位线，∴𝑂𝑁//𝐵𝑀，∵𝐵𝑀⊥𝐷𝑀，∴∠𝑂𝑁𝐷=90°，∴𝐺𝑁=𝑂𝐺=𝑂𝐷=1，
在𝑅𝑡△𝐺𝑂𝐶中，根据勾股定理，得𝐶𝐺= 12+12= 2，∵𝐶𝐺+𝐺𝑁≥𝐶𝑁，
∴𝐶𝑁的最大值为𝐶𝐺+𝐺𝑁=1+ 2，故选：𝐴．
连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷于点𝑂，连接𝑂𝑁，取𝑂𝐷的中点𝐺，连接𝐺𝑁，𝐺𝐶，根据菱形的性质可得𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，根据勾股定理，可得𝑂𝐴的长，进一步可得𝑂𝐶的长，根据𝑁𝑂是△𝐷𝑀𝐵的中位线，可知𝑂𝑁//𝐵𝑀，可得∠𝑂𝑁𝐷=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得𝐺𝑁的长，再求出𝐶𝐺的长，根据𝐶𝐺+𝐺𝑁≥𝐶𝑁，可得𝐶𝑁的最大值为𝐶𝐺+𝐺𝑁，求解即可．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理等，添加合适的辅助线是解题的关键．
1211.【答案】2 3 【解析】解： 12= 4×3=2 3．原二次根式的被开方数中含有未开尽方的因数4，因此要将它开方到根号外．
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把
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绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．
12.【答案】 2 【解析】解：如图，
∵正方形𝐴𝑂𝐶𝐵是边长为1的正方形，∴𝑂𝐵= 12+12= 2，
∵以𝑂为圆心，𝑂𝐵为半径画圆弧交数轴于点𝐷，∴𝑂𝐷=𝑂𝐵= 2，∴𝐷点表示的数为 2．故答案为： 2．根据图示，求出边长为1的正方形的对角线的长度，即可求出𝐷点表示的数．
此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，解答此题的关键是求出边长为1的正方形的对角线的长度．
13.【答案】15
【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，∴𝐷𝐸=𝐵𝐶，𝐸𝐹=𝐴𝐵，𝐷𝐹=𝐴𝐶，∵𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=12，
∴𝐷𝐸+𝐸𝐹+𝐷𝐹=(𝐵𝐶+𝐴𝐵+𝐴𝐶)=×(12+10+8)=15，即△𝐷𝐸𝐹的周长为15．故答案为：15．
根据三角形中位线定理得出𝐷𝐸=𝐵𝐶，𝐸𝐹=𝐴𝐵，𝐷𝐹=𝐴𝐶，即可得出答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
1212121212121212第12页，共22页
14.【答案】75°
【解析】解：在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷=𝐴𝐷，∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐵=60°，在等腰直角△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐷=𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸=90°，∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐸𝐷，∠𝐶𝐷𝐸=90°+60°=150°，∴△𝐶𝐷𝐸是等腰三角形，∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸=15°，
∴∠𝐸𝐹𝐷=180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐷𝐸𝐶=180°−90°−15°=75°，故答案为：75°．
根据菱形的性质可得𝐶𝐷=𝐴𝐷，∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐵=60°，根据等腰直角三角形的性质可得𝐴𝐷=𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸=90°，进一步可得𝐶𝐷=𝐸𝐷，∠𝐶𝐷𝐸的度数，从而可得∠𝐷𝐸𝐶的度数，再根据∠𝐸𝐹𝐷=180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐷𝐸𝐶求解即可．
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
15.【答案】
135或 22【解析】解：当高𝐴𝑀在三角形内部时，由题意可得如图：
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝑀=，且𝐴𝑀=3，∴𝐵𝐶=3，∵𝐶𝑀=1，
∴𝐵𝑀=𝐵𝐶−𝐶𝑀=2，
∴在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐵中，由勾股定理得：𝐴𝐵= 𝐴𝑀2+𝐵𝑀2= 13，∵𝑁为𝐴𝐵中点，∴𝑀𝑁=𝐴𝐵=
12 129213．2当高在三角形外部时，同法可得𝐵𝑀=𝐵𝐶+𝐶𝑀=3+1=4．
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∴𝐴𝐵= 42+32=5，∵𝐴𝑁=𝐵𝑁，∴𝑀𝑁=𝐴𝐵=．综上所述．𝑀𝑁的值为
1252135或．22根据题意画出图形，分两种情形分别求解．
本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
16.【答案】 91𝑐𝑚
【解析】解：∵四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是矩形，∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝑁=90°，∵∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴2𝑁=30°，∴𝑀𝐵=𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝑀𝐴=𝐴2𝑁=
12 3𝐴𝐵=3 23𝑐𝑚，𝐶1𝑁=𝐴2𝐶1=𝐴𝐶=5𝑐𝑚，
2121235 3𝑐𝑚，𝐴2𝐶1=
22∵𝐵𝐶1=𝐵𝐶=4𝑐𝑚，∴𝑀𝑁=𝑀𝐵+𝐵𝐶1+𝐶1𝑁=
19 2作𝐴2𝐻⊥𝑀𝑄于点𝐻，则∠𝐴𝐻𝐴2=90°，
∴四边形𝐻𝑀𝑁𝐴2是矩形，
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∴𝐻𝑀=𝑁𝐴2=5 32，𝐻𝐴2=𝑀𝑁=
19，2∴𝐴𝐻=𝐴𝑀−𝐻𝑀=
3，2 ∴𝐴𝐴2= 𝐴𝐻2+𝐻𝐴22= (3)2+(19)2= 91，22即线段𝐴𝐴2的长度等于 91𝑐𝑚，故答案为： 91𝑐𝑚．
1953先求出𝑀𝐵=3𝑐𝑚，𝑀𝐴=3 3𝑐𝑚，𝐶1𝑁=𝑐𝑚，𝐴2𝑁=5𝑐𝑚，即可得到𝑀𝑁=，作𝐴2𝐻⊥𝑀𝑄
222于点𝐻，则∠𝐴𝐻𝐴2=90°，再求得𝐻𝑀=5得到线段𝐴𝐴2的长度．
32，𝐻𝐴2=
193，则𝐴𝐻=𝐴𝑀−𝐻𝑀=，由勾股定理即可22此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、含30°的直角三角形的性质等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 18−2 2+ 3 =3 2−2 2+ 3 = 2+ 3；(2)2 8÷ 2× 6 =4 2÷ 2× 6 =4× 6 =4 6．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；(2)利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，𝐷𝑁⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝑀𝐷=∠𝐵𝑁𝐷=90° ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝑀𝐷+∠𝑀𝐵𝑁=180°，
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∴∠𝑀𝐵𝑁=90°，∴四边形𝐵𝑁𝐷𝑀是矩形．
【解析】利用平行四边形的性质和垂直的定义可得∠𝐵𝑀𝐷=∠𝐵𝑁𝐷=∠𝑀𝐵𝑁=90°，即能证明结论．
本题考查平行四边形的性质，垂直的定义，矩形的判定，掌握三个角是直角的四边形是矩形式解题的关键．
19.【答案】解：连接𝐴𝐶，
在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=3,𝐵𝐶= 7，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 32+(7)2=4，
在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2+𝐴𝐷2=42+32=25=𝐶𝐷2，∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐶𝐴𝐷=90°，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=𝐴𝐵×𝐵𝐶+𝐴𝐶×𝐴𝐷 =×3× 7+×3×4 =6+
3 2121212127．3 2故四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为6+
7．
【解析】连接𝐴𝐶，先根据勾股定理求出𝐴𝐶的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐷的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐷的形状是解答此题的关键．
20.【答案】4 1
【解析】解：(1)∵𝑥=2+ 3,𝑦=2− 3，∴𝑥+𝑦=2+ 3+2− 3=4，
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𝑥𝑦=(2+ 3)×(2− 3)=1，故答案为：4，1；(2)𝑥2+𝑦2 =(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦 =42−2×1 =16−2 =14；(3)𝑦−𝑥 =𝑥𝑦 =
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)，𝑥𝑦𝑥2−𝑦2𝑥𝑦∵𝑥−𝑦=2+ 3−(2− 3)=2 3，∴原式=4×21 3 =8 3．(1)把相应的值代入运算即可；
(2)结合(1)，把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；(3)把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】解：(1)如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷即为所求；
(2)如图，点𝑂即为所求；(3)如图，线段𝑂𝐸即为所求；(4)如图，线段𝐶𝑁即为所求．
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【解析】(1)根据正方形的定义画出图形即可；(2)连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑂，点𝑂即为所求；(3)取𝐴𝐷的中点𝐸，连接𝑂𝐸即可；
(4)连接𝐴𝑀交𝐵𝐷于点𝐽，连接𝐶𝐽，延长𝐶𝐽交𝐴𝐵于点𝑁，线段𝐶𝑁即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵⊥𝑦轴，
∴𝐴𝐵//𝑂𝐶，∵𝐴𝐵=𝑂𝐶=𝑚，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是平行四边形；
(2)解：过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，如图所示：
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝑂，
∴平行四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是菱形，∴𝑂𝐶=𝐵𝐶=𝑚，∵𝐵(1,2)，
∴𝑂𝐷=1，𝐵𝐷=2，∴𝐶𝐷=𝑚−1，
在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐶中，由勾股定理得(𝑚−1)2+22=𝑚2，解得：𝑚=；52(3)解：由题意可分：
①当𝑂𝐵=𝐵𝐶时，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，如图所示：
第18页，共22页
由(2)可知𝑂𝐹=1，𝐵𝐹=2，∴𝑂𝐶=2𝑂𝐹=2=𝑚；②当𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑚时，
在𝑅𝑡△𝐵𝐹𝑂中，由勾股定理得𝑚= 12+22= 5；③当𝑂𝐶=𝐵𝐶时，
∴平行四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是菱形，由(2)可知𝑚=；
5综上所述：当△𝐵𝑂𝐶为等腰三角形时，𝑚=或2或 5．
252【解析】(1)由题意易得𝐴𝐵//𝑂𝐶，然后问题可求证；
(2)过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，由题意可知四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是菱形，则有𝑂𝐶=𝐵𝐶=𝑚，然后根据勾股定理可建立方程求解；
(3)根据题意可分①当𝑂𝐵=𝐵𝐶时，②当𝑂𝐵=𝑂𝐶时，③当𝑂𝐶=𝐵𝐶时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解．
本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
23.【答案】(1)解：𝐵𝐸=𝐶𝐹，𝐵𝐸⊥𝐶𝐹，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐸𝐹均为等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹=90°，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=45°，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中
{𝐴𝐸=𝐴𝐹
∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹，𝐴𝐵=𝐴𝐶
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∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐸=45°，∴∠𝐸𝐵𝐹=90°，∴𝐵𝐸⊥𝐶𝐹；
(2)证明：∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐸𝐹均为等腰直角三角形，∴
𝐵𝐶
=𝐴𝐵2=
𝐵𝐹，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=45°，𝐵𝐷∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐹，∴
𝐶𝐹= 𝐴𝐷2，
∴𝐶𝐹= 2𝐴𝐷．
【解析】(1)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，可得𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐸=45°，即可求解；(2)通过证明△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐹，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵𝑎=4时，𝐵(2,4)，
则𝑂𝐶=2，𝑂𝐴=4，∴𝐴𝐶= 22+42=2 5，∵𝑂𝐷=𝐴𝐶，∴𝑂𝐷=2 5，∴𝐷(0,2 5)；
(2)证明：∵𝐵(2,4),𝐷(0,2 5)，𝑀是𝐵𝐷中点，
0+22 5+4
∴𝑥𝑀==1,𝑦𝑀==
225+2，
∴𝑀(1, 5+2)，∵𝐴𝐵⊥𝑦轴，∴𝐴(0,4)．
∴𝐴𝑀2=(1−0)2+( 5+2−4)2=10−4 5．∵𝐶(2,0),𝑀(1, 5+2)，
∴𝑀𝐶2=(1−2)2+( 5+2)2=10+4 5．第20页，共22页
∴𝐴𝑀2+𝑀𝐶2=(10−4 5)+(10+4 5)=20，∵𝐴𝐶2=(2 5)2=20，∴𝐴𝑀2+𝑀𝐶2=𝐴𝐶2．∴△𝐴𝑀𝐶是直角三角形，∴𝐴𝑀⊥𝑀𝐶；
(3)解：如图，取𝐶𝐷中点𝐹，连接𝐵𝐹，
∵△𝐶𝐵𝐷是直角三角形，且𝐶𝐷=2 5，∴𝐵𝐹=𝐶𝐷=𝐶𝐹= 5，∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐵𝐶𝐹，∵∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐵𝐶𝐹，∴∠𝐵𝐹𝐸=2∠𝐵𝐶𝐹．∵𝐶𝐵//𝑂𝐴，∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝑂𝐸𝐶．∵∠𝐵𝐸𝐹=2∠𝑂𝐸𝐶，∴∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐸𝐹，∴𝐵𝐸=𝐵𝐹= 5．∵𝐴𝐵=2，
∴𝐴𝐸= (5)2−22=1．
12【解析】(1)根据勾股定理求出𝐴𝐶的长即可知𝑂𝐷的长，于是可得点𝐷的坐标；
(2)先根据中点坐标公式求出𝑀点的坐标，再根据两点之间距离公式分别求出𝐴𝑀2，𝑀𝐶2，𝐴𝐶2，根据勾股定理的逆定理判定△𝐴𝑀𝐶是直角三角形，即可证得𝐴𝑀⊥𝐶𝑀；
(3)取𝐶𝐷中点𝐹，根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可求得𝐵𝐹的长，再证明∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐸𝐹即可得𝐵𝐸的长，然后在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中根据勾股定理即可求出𝐴𝐸的长．
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本题主要考查了勾股定理及其逆定理，“直角三角形中斜边中线等于斜边的一半”，以及中点坐标公式．正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
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