2022-2023学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数
学试卷
第I卷（选择题）
…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是( )
A. 1𝑐𝑚、2𝑐𝑚、3𝑐𝑚 B. 2𝑐𝑚、4𝑐𝑚、6𝑐𝑚 C. 3𝑐𝑚、5𝑐𝑚、7𝑐𝑚
D. 3𝑐𝑚、6𝑐𝑚、9𝑐𝑚
3. 下列各组条件中，可以判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的条件是( )
A. 𝐴𝐵=𝐷𝐸、𝐴𝐶=𝐷𝐹、𝐵𝐶=𝐸𝐹 B. ∠𝐴=∠𝐷、∠𝐵=∠𝐸、∠𝐶=∠𝐹 C. 𝐴𝐵=𝐷𝐸、𝐴𝐶=𝐷𝐹、∠𝐶=∠𝐹 D. 𝐵𝐶=𝐸𝐹、∠𝐴=∠𝐷
4. 若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是( )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
5. 若一个等腰三角形有一个角为110°，那么它的底角的度数为( )
A. 110° B. 55° C. 110°或35° D. 35°
6. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶，求作一点𝑃，使点𝑃到∠𝐴的两边的距离
相等，且𝑃𝐴=𝑃𝐵，下列确定𝑃点的方法正确的是( )
A. 𝑃为∠𝐴、∠𝐵两角平分线的交点
B. 𝑃为∠𝐴的角平分线与线段𝐶𝐵的垂线平分线的交点
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……线…………○…………
C. 𝑃为∠𝐴的角平分线与线段𝐴𝐵的垂线平分线的交点 D. 𝑃为线段𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线的交点
1的长方形纸片按如图①、7. 将一张长与宽的比为2：然后沿图③②所示的方式对折，
中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )
……线…………○………… A.
B.
C.
D.
8. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中𝐴、𝐵在格
点上，则图中满足△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形的格点𝐶的个数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
9. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8，点𝑀是𝐵𝐶的中点，
𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，作𝑀𝐹//𝐴𝐷交𝐴𝐶于𝐹，已知𝐶𝐹=10，则𝐴𝐶的长为( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
10. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，𝑀为线段𝐴𝐵上一定
点，𝑃为线段𝐴𝐶上一动点．当点𝑃在运动的过程中，满足𝑃𝑀+1
2
𝐴𝑃的值最小时，∠𝐴𝑃𝑀的大小等于( )
A. 60° B. 90° C. 120°
D. 135°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 点𝑃(−1,3)关于𝑦轴的对称点的坐标是______ ．
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
12. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=2∠𝐶，则∠𝐶的度数为______． 13. 一个六边形共有______条对角线．
14. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为中线，且𝐴𝐶=5，𝐴𝐷=6，
则𝐴𝐵边的取值范围是______．
𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°.点𝑀，𝑁在底边𝐵𝐶上，15. 如图所示，已知△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴𝑀𝑁=75°，
…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∠𝑀𝐴𝑁=60°.那么线段𝐵𝑀与𝐶𝑁之间的数量关系为______．
16. 如图所示，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐹为𝐴𝐶的中点，点𝐷
在线段𝐵𝐶上，连接𝐷𝐹，以𝐷𝐹为边在𝐷𝐹的右下方作等边△𝐷𝐸𝐹，𝐸𝐷的延长线交𝐴𝐵于𝐻，连𝐸𝐶，当点𝐷在线段𝐵𝐶上(不与𝐵，𝐶重合)运动时： ①∠𝐴𝐻𝐸与∠𝐴𝐹𝐷互补； ②∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐷𝐶； 1
③2𝐵𝐶+𝐸𝐶𝐷𝐶
是定值；
④
𝐵𝐻
𝐵𝐷
是定值． 以上结论中正确的有______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=2∠𝐴，∠𝐶=∠𝐵+30°，求△𝐴𝐵𝐶的各内角度数． 18. (本小题8.0分)
已知：如图，点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一条直线上，𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐵𝐸=𝐶𝐹． 求证：∠𝐴=∠𝐷．
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……线…………○…………
19. (本小题8.0分)
𝐴𝐷是高，𝐴𝐸，𝐵𝐹是角平分线，∠𝐵𝐴𝐶=60°，如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，它们相交于点𝑂，∠𝐴𝐵𝐶=70°，求∠𝐷𝐴𝐸和∠𝐴𝑂𝐵的度数．
……线…………○…………
20. (本小题8.0分)
如图所示，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷，𝐸，𝐹在△𝐴𝐵𝐶的边上，满足𝐵𝐸=𝐶𝐹，𝐵𝐷=𝐶𝐸．
(1)求证：𝐷𝐸=𝐸𝐹；
(2)当∠𝐴=80°时，求∠𝐸𝐷𝐹的大小．
21. (本小题8.0分)
如图所示，网格中的每个边长为1的小正方形的顶点称作格点，以格点𝑂为原点建立平面直角坐标系，△𝐴𝐵𝐶的顶点都是格点．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴的对称的△𝐷𝐸𝐹(点𝐴与点𝐷对应，点𝐵与点𝐸对应，点𝐶与点𝐹对应)，则点𝐸的坐标为______； (2)△𝐴𝐵𝐶的面积等于______；
(3)请你用一把无刻度的直尺，运用所学的知识作图，并保留作图痕迹： ①作出△𝐴𝐵𝐶的高𝐶𝐻；
②在线段𝐴𝐶上确定一点𝑃，使得∠𝐶𝐵𝑃=45°．
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………
22. (本小题10.0分)
我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1所示，∠𝐸是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的遥望角． ①直接写出∠𝐸与∠𝐴的数量关系______；
②连接𝐴𝐸，猜想∠𝐵𝐴𝐸与∠𝐶𝐴𝐸的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，点𝐸在𝐵𝐷的延长线上，连𝐶𝐸，若已知𝐷𝐸=𝐷𝐶=𝐴𝐷，求证：∠𝐵𝐸𝐶是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶的遥望角．
23. (本小题10.0分)
如图1所示，等边△𝐴𝐵𝐶与等边△𝐷𝐶𝑃的顶点𝐵，𝐶，𝑃三点在一条直线上，连接𝐴𝑃交𝐵𝐷于𝐸点，连𝐸𝐶．
(1)求证：𝐴𝑃=𝐵𝐷； (2)求证：𝐸𝐶平分∠𝐵𝐸𝑃；
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………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
(3)设𝐴𝐸=𝑎，𝐷𝐸=𝑏，𝐶𝐸=𝑐，若𝐵𝑃=4𝐶𝑃，直接写出𝑎，𝑏，𝑐之间满足的数量关系． 24. (本小题12.0分)
如图所示，点𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑏)，且𝑎，𝑏满足(𝑎−1)2+|2𝑏−2|=0.若𝑃为𝑥轴上异于原点𝑂和点𝐴的一个动点，连接𝑃𝐵，以线段𝑃𝐵为边构造等腰直角△𝐵𝑃𝐸(𝑃为顶点)，连接𝐴𝐸．
(1)如图1所示，直接写出点𝐴的坐标为______，点𝐵的坐标为______； (2)如图2所示，当点𝑃在点𝑂，𝐴之间时，连接𝐵𝐸，𝐴𝐸，证明𝐵𝐴⊥𝐴𝐸； (3)如图3所示，点𝑃在𝑥轴上运动过程中，若𝐴𝐸所在直线与𝑦轴交于点𝐹，请直接写出𝐹点的坐标为______，当𝑂𝐸+𝐵𝐸的值最小时，请直接写出此时𝑂𝐸与𝐵𝐸之间的数量关系______．
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………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……线…………○………… ……线…………○…………
答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………轴折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】
解：𝐴.不是轴对称图形，故本选项错误； B.不是轴对称图形，故本选项错误； C.不是轴对称图形，故本选项错误； D.是轴对称图形，故本选项正确． 故选：𝐷．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、1+2=3，不可以组成三角形； B、2+4=6，不可以组成三角形； C、3+5>7，可以组成三角形； D、3+6=9，不可以组成三角形． 故选：𝐶．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3.【答案】𝐴
【解析】解：如图：
A、符合全等三角形的判定定理𝑆𝑆𝑆，即能推出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项正确； B、没有边的条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选
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……线…………○…………
项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项错误； D、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项错误； 故选：𝐴．
全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，直角三角形全等还有𝐻𝐿，根据以上定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关……线…………○………… 键，注意：全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，直角三角形全等还有𝐻𝐿．
4.【答案】𝐵
【解析】解：设多边形的边数为𝑛，根据题意得 (𝑛−2)⋅180°=360°， 解得𝑛=4．
故这个多边形是四边形． 故选：𝐵．
根据多边形的内角和公式(𝑛−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解． 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
5.【答案】𝐷
【解析】解：∵110°为三角形的顶角， ∴底角为：(180°−110°)÷2=35°． 故选：𝐷．
因为三角形的内角和为180°，所以110°只能为顶角，根据三角形内角和定理可求出底角的度数．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解，此题难度不大．
6.【答案】𝐶
【解析】解：∵点𝑃到∠𝐴的两边的距离相等， ∴点𝑃在∠𝐴的平分线上； ∵𝑃𝐴=𝑃𝐵，
∴𝑃点在𝐴𝐵的垂直平分线上，
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∴𝑃为∠𝐴的角平分线与线段𝐴𝐵的垂线平分线的交点． 故选：𝐶．
利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的进行确定𝑃点位置，从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
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7.【答案】𝐴
【解析】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论． 故选：𝐴．
对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
本题主要考查剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．
8.【答案】𝐵
【解析】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，分别以𝐴、𝐵为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，作𝐴𝐵的垂直平分线，即可确定点𝐶的位置． 解：如图所示：
分三种情况：
①以𝐴为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，则圆弧经过的格点𝐶1，𝐶2，𝐶3即为点𝐶的位置； ②以𝐵为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，则圆弧经过的格点𝐶4，𝐶5，𝐶6，𝐶7，𝐶8即为点𝐶的位置；
③作𝐴𝐵的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点； ∴△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形的格点𝐶有8个．
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……线…………○…………
故选：𝐵．
9.【答案】𝐴
【解析】解：如图，延长𝐹𝑀到𝑁，使𝑀𝑁=𝑀𝐹，连接𝐵𝑁，延长𝑀𝐹交𝐵𝐴延长线于𝐸，
……线…………○………… ∵𝑀是𝐵𝐶中点， ∴𝐵𝑀=𝐶𝑀，
在△𝐵𝑀𝑁和△𝐶𝑀𝐹中， {𝐵𝑀=𝐶𝑀
∠𝐵𝑀𝑁=∠𝐶𝑀𝐹， 𝑀𝑁=𝑀𝐹
∴△𝐵𝑀𝑁≌△𝐶𝑀𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝑁=𝐶𝐹，∠𝑁=∠𝑀𝐹𝐶， 又∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，𝑀𝐹//𝐴𝐷，
∴∠𝐸=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐹𝑀=∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑁， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐹，𝐵𝑁=𝐵𝐸，
∴𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐸+𝐹𝐶=𝐵𝐸+𝐹𝐶=𝐵𝑁+𝐹𝐶=2𝐹𝐶， ∵𝐴𝐵=8，𝐶𝐹=10，
∴𝐴𝐶=2𝐹𝐶−𝐴𝐵=20−8=12． 故选：𝐴．
可通过作辅助线，即延长𝐹𝑀到𝑁，使𝑀𝑁=𝑀𝐹，连接𝐵𝑁，延长𝑀𝐹交𝐵𝐴延长线于𝐸，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
10.【答案】𝐶
【解析】解：如图，在𝐴𝐶是下方作∠𝐶𝐴𝑇=∠𝐶𝐴𝐵=30°，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑇于点𝐸，过点𝑀作𝑀𝐹⊥𝐴𝑇于点𝐹，交𝐴𝐶于点𝐺，
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∵∠𝐴𝐸𝑃=90°，∠𝑃𝐴𝐸=30°， 1…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∴𝑃𝐸=2𝑃𝐴，
∴𝑃𝑀+12𝑃𝐴=𝑀𝑃+𝑃𝐸， ∵𝑀𝐹⊥𝐴𝑇， ∴𝑀𝑃+𝑃𝐸≤𝑀𝐹，
∴当点𝑃与𝐺重合，点𝐸与𝐹重合时，𝑃𝑀+12𝑃𝐴的值最小， ∵∠𝐴𝐺𝐹=90°−30°=60°， ∴∠𝐴𝐺𝑀=120°，
∴𝑃𝑀+1
2𝐴𝑃的值最小时，∠𝐴𝑃𝑀=120°． 故选：𝐶．
如图，在𝐴𝐶是下方作∠𝐶𝐴𝑇=∠𝐶𝐴𝐵=30°，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑇于点𝐸，过点𝑀作𝑀𝐹⊥𝐴𝑇于点𝐹，交𝐴𝐶于点𝐺，根据垂线段最短解决问题即可．
本题考查胡不归问题，垂线段最短，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
11.【答案】(1,3)
【解析】解：𝑃(−1,3)关于𝑦轴的对称点的坐标是(1,3)， 故答案为：(1,3)．
根据关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于𝑥轴、𝑦轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】45°或30°
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……线…………○…………
【解析】解：当∠𝐵=90°时， ∵∠𝐵=2∠𝐶， ∴∠𝐶=45°， 当∠𝐴=90°时， ∵∠𝐵=2∠𝐶， ∴∠𝐶+2∠𝐶=90°， ∴∠𝐶=30°，
……线…………○………… 综上所述，∠𝐶的度数为45°或30°， 故答案为：45°或30°．
分∠𝐵=90°、∠𝐴=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：六边形的对角线的条数𝑛=6×(6−3)
2
=9．
故答案为：9．
直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：𝑛边形对角线的总条数为：
𝑛(𝑛−3)
2
(𝑛≥3，且𝑛为整数)．
14.【答案】7<𝐴𝐵<17
【解析】解：如图，延长𝐴𝐷到𝐸使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐸𝐶𝐷中， {𝐵𝐷=𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶， 𝐴𝐷=𝐸𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐸𝐶，
∵𝐴𝐸=2𝐴𝐷=12，𝐴𝐶=5，
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
根据三角形三边关系得：12−5<𝐸𝐶<12+5， 即7<𝐴𝐵<17， 故答案为：7<𝐴𝐵<17．
延长𝐴𝐷到𝐸使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，通过𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷得出𝐴𝐵=𝐸𝐶，再根据三角形三边关系即可推出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………15.【答案】𝐵𝑀=2𝐶𝑁
【解析】解：作∠𝑁𝐴𝐷=60°，且𝐴𝐷=𝐴𝑀，连接𝐷𝑁，𝐷𝐶，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵=60°， ∵∠𝑀𝐴𝑁=60°，
∴∠𝐵𝐴𝑀+∠𝑁𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝑁=60°， ∵∠𝐷𝐴𝐶+∠𝑁𝐴𝐶=60°， ∴∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐵𝑀=𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=30°， ∴∠𝐷𝐶𝑁=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=60°， ∵∠𝐴𝑀𝑁=75°，
∴∠𝐴𝑁𝑀=180°−∠𝐴𝑀𝑁−∠𝑀𝐴𝑁=45°， ∵∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐷𝐴𝑁=60°，𝐴𝑁=𝐴𝑁， ∴△𝑀𝐴𝑁≌△𝐷𝐴𝑁(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝑁𝐷=45°，
∴∠𝐷𝑁𝐶=180°−∠𝐴𝑁𝑀−∠𝐴𝑁𝐷=90°， ∴∠𝐶𝐷𝑁=90°−∠𝐷𝐶𝑁=30°， ∴𝐷𝐶=2𝐶𝑁， ∴𝐵𝑀=2𝐶𝑁，
故答案为：𝐵𝑀=2𝐶𝑁．
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……线…………○…………
𝐷𝐶，作∠𝑁𝐴𝐷=60°，且𝐴𝐷=𝐴𝑀，连接𝐷𝑁，利用等腰三角形的性质可得∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=30°，从而利用三角形内角和定理可得∠𝐵𝐴𝐶=60°，进而利用等式的性质可得∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝐶，然后利用𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝐷，从而可得𝐵𝑀=𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=30°，进而可得∠𝐷𝐶𝑁=60°，再利用三角形内角和定理可得∠𝐴𝑁𝑀=45°，最后利用𝑆𝐴𝑆证明△𝑀𝐴𝑁≌△𝐷𝐴𝑁，从而可得∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝑁𝐷=45°，进而利用平角定义求出∠𝐷𝑁𝐶=90°，再在𝑅𝑡△𝐷𝑁𝐶中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合……线…………○………… 图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶，△𝐷𝐸𝐹是等边三角形， ∴∠𝐴=60°，∠𝐹𝐷𝐸=60°， ∴∠𝐻𝐷𝐹=180°−∠𝐹𝐷𝐸=120°， 在四边形𝐴𝐻𝐷𝐹中，
∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐴𝐹𝐷=360°−∠𝐴−∠𝐻𝐷𝐹=180°， 即∠𝐴𝐻𝐸与∠𝐴𝐹𝐷互补， 故①正确；
在𝐶𝐵上截取𝐶𝑀=𝐶𝐹，连接𝐹𝑀，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐵=60°， ∵𝐶𝑀=𝐶𝐹，
∴△𝐶𝑀𝐹为等边三角形， ∵△𝐶𝑀𝐹，△𝐷𝐹𝐸都是等三角形， ∴∠𝐶𝐹𝑀=60°，∠𝐷𝐹𝐸=60°， 𝐶𝐹=𝑀𝐹，𝐹𝐸=𝐹𝐷，
∵∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐹𝑀−∠𝐸𝐹𝑀=60°−∠𝐸𝐹𝑀，
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∠𝑀𝐹𝐷=∠𝐷𝐹𝐸−∠𝐸𝐹𝑀=60°−∠𝐸𝐹𝑀， ∴∠𝐶𝐹𝐸=∠𝑀𝐹𝐷， ∴△𝐶𝐹𝐸≌△𝑀𝐹𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐷𝑀，𝐸𝐶=𝐷𝑀， 即∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐷𝐶， 故②正确；
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， …………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∴𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∵𝐹为𝐴𝐶的中点， ∴𝐶𝐹=1
𝐴𝐶=122𝐵𝐶， ∵△𝐶𝑀𝐹为等边三角形， ∴𝐶𝐹=𝐶𝑀，
∴11
2𝐵𝐶=2𝐴𝐶=𝐶𝐹=𝐶𝑀， ∴12𝐵𝐶+𝐸𝐶=𝐶𝑀+𝐷𝑀=𝐷𝐶， 1
∴
2𝐵𝐶+𝐸𝐶𝐷𝐶=1是定值，
故③正确；
根据已知条件无法确定∠𝐴𝐻𝐷的度数， ∴𝐵𝐻
𝐵𝐷不是定值， 故④错误，
故答案为：①②③．
利用四边形𝐴𝐻𝐷𝐹的内角和为360°，即可说①成立；在𝐶𝐵上截取𝐶𝑀=𝐶𝐹，连接𝐹𝑀，利用𝑆𝐴𝑆证明△𝐶𝐹𝐸≌△𝑀𝐹𝐷，得∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐷𝑀，可说明②正确；由△𝐶𝐹𝐸≌△𝑀𝐹𝐷知𝐷𝑀=𝐶𝐸，𝐶𝐹=𝐶𝑀=1
2𝐵𝐶，即可说明③成立；根据已知条件无法确定∠𝐴𝐻𝐷的度数，无法判断④成立．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造△𝐶𝐹𝐸≌△𝑀𝐹𝐷是解题的关键．
17.【答案】解：设∠𝐴=𝑥°，则∠𝐵=2𝑥°，∠𝐶=2𝑥°+30°，
∵∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°， ∴𝑥+2𝑥+2𝑥+30=180，
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……线…………○…………
解得：𝑥=30， ∴∠𝐴=30°，
则∠𝐵=60°，∠𝐶=90°．
【解析】设∠𝐴=𝑥°，则∠𝐵=2𝑥°，∠𝐶=2𝑥°+30°，根据三角形内角和为180°，列方程，解之即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
……线…………○………… 18.【答案】证明：∵𝐵𝐸=𝐶𝐹，
∴𝐵𝐶=𝐸𝐹，
又∵𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹． ∴∠𝐴=∠𝐷．
【解析】由𝐵𝐸=𝐶𝐹可证得𝐵𝐶=𝐸𝐹，又有𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹，根据𝑆𝑆𝑆证得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹⇒∠𝐴=∠𝐷．
本题考查了全等三角形的判定和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、𝐴𝐴𝑆，要结合判定方法及已知的位置进行选择运用．
19.【答案】解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸=1
1
2∠𝐵𝐴𝐶=2×60°=30°，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐹=
1
∠𝐴𝐵𝐶12
=2
×70°=35°．
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°．
在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐷𝐵=90°，∠𝐴𝐵𝐷=70°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐵𝐷=180°−90°−70°=20°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷=30°−20°=10°．
∵∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂=35°−30°=65°，∠𝐴𝑂𝐹+∠𝐴𝑂𝐵=180°， ∴∠𝐴𝑂𝐵=180°−∠𝐴𝑂𝐹=180°−65°=115°．
【解析】利用角平分线的定义，可求出∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐹的度数，由𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，可得出∠𝐴𝐷𝐵=90°，利用三角形内角和定理，可求出∠𝐵𝐴𝐷的度数，将其代入∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷中，可求出∠𝐷𝐴𝐸的度数，利用三角形的外角性质，可求出∠𝐴𝑂𝐹的度数，再结合邻补角互补，即可求出∠𝐴𝑂𝐵的度数．
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、垂线以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠𝐷𝐴𝐸和∠𝐴𝑂𝐵的度数是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶， 在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐸𝐹中， 𝐵𝐸=𝐶𝐹…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………{∠𝐵=∠𝐶， 𝐵𝐷=𝐶𝐸
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐸=𝐸𝐹． (2)解：∵∠𝐴=80°，
∴∠𝐵=∠𝐶=1
2×(180°−80°)=50°， ∵△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹， ∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐹=180°−∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐹=180°−∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐵=50°， ∵𝐷𝐸=𝐷𝐹，
∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐸𝐹𝐷=1
2×(180°−50°)=65°， ∴∠𝐸𝐷𝐹的度数是65°．
【解析】(1)由𝐴𝐵=𝐴𝐶，得∠𝐵=∠𝐶，即可根据全等三角形的判定定理“𝑆𝐴𝑆”证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹，得𝐷𝐸=𝐸𝐹；
(2)先由∠𝐴=80°，求得∠𝐵=∠𝐶=50°，再由∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐹，根据平角定义和三角形内角和定理推导出∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐵=50°，则∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐸𝐹𝐷=65°．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹是解题的关键．
21.【答案】(3,−2) 19
2
【解析】解：(1)如图所示，△𝐷𝐸𝐹即为所求，𝐸(3,−2)， 故答案为：(3,−2)；
(2)𝑆△𝐴𝐵𝐶=4×5−1
1
2×1×4−2×1×5−1
19
2×3×4=2， 故答案为：192；
第17页，共23页
……线…………○…………
(3)①如图所示，线段𝐶𝐻即为所求； ②如图所示，点𝑃即为所求．
……线…………○………… (1)根据轴对称的性质找出对应点画出图形，写出点的坐标即可； (2)根据割补法求解即可；
(3)①根据网格中垂线的作法可得高𝐶𝐻；
②在𝑦轴上找到一个格点，使得∠𝐶𝐵𝑃=45°即可．
本题考查了轴对称的性质，网格中垂线的作法等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】∠𝐸=1
2∠𝐴
【解析】(1)①解：∠𝐸=1
2∠𝐴，理由如下：
∵∠𝐸是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的遥望角， ∴∠𝐸𝐵𝐶=1∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷=12
2∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐸=∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐸𝐵𝐷=1
2(∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝐶)=1
2∠𝐴， ∴∠𝐸=1
2∠𝐴；
故答案为：∠𝐸=1
2
∠𝐴；
②解：∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸=180°，证明如下：
过𝐸分别作垂直𝐸𝑀⊥𝐵𝐴于𝑀，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶于𝑁，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐴𝐸，
第18页，共23页
…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∵∠𝐸是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的遥望角， ∴𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐻， ∴𝐸𝑀=𝐸𝐻，𝐸𝑁=𝐸𝐻， ∴𝐸𝑀=𝐸𝑁， ∴𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝑀， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝑀，
∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝑀=180°； …………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………(2)解：过𝐷分别作𝐷𝑀，𝐷𝑁垂直于𝐵𝐴，𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝑀𝐷𝑁=90°，
∴∠𝐴𝐷𝑀+∠𝑀𝐷𝐶=∠𝑁𝐷𝐶+∠𝑀𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐶𝐷𝑁， ∵∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐶𝑁𝐷=90°， ∵𝐷𝐴=𝐷𝐶，
∴△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐶𝑁(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝑀=𝐷𝑁， ∴𝐷𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐵𝐶=45°=∠𝐷𝐴𝐶， ∵𝐴𝐶，𝐵𝐷八字形，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=2∠𝐵𝐸𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐶是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶的遥望角．
(1)①根据遥望角的定义得到∠𝐸𝐵𝐶=1
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐷，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
②过𝐸分别作垂直𝐸𝑀⊥𝐵𝐴于𝑀，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶于𝑁，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐴𝐸，根据角平分线的定义解答即可；
(2)根据𝐴𝐴𝑆证明△𝐷𝐴𝑀≌△𝐷𝐶𝑁，进而利用全等三角形的性质和遥望角的定义解答即可．第19页，共23页
……线…………○…………
此题考查四边形综合题，关键是根据遥望角的概念和全等三角形的判定和性质解答．
23.【答案】(1)证明：如图1中，∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝑃都是等边三角形，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐶𝑃，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝑃=60°， ∵∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝑃=180，
∴∠𝐴𝐶𝐷=60°，∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝑃， 即∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝑃． ……线…………○………… 在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐶𝑃中， {𝐵𝐶=𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝑃， 𝐶𝐷=𝐶𝑃
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)． ∴𝐵𝐷=𝐴𝑃．
(2)证明：过点𝐶作𝐶𝑊⊥𝑃𝐴于𝑊，𝐶𝑅⊥𝐵𝐷于𝑅，设𝐵𝐷交𝐴𝐶于𝑂．
∵△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝑃， ∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝑃， ∵∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐵𝐶𝑂=60°， ∴∠𝐵𝐸𝑃=120°， ∵𝐶𝑊⊥𝐴𝑃，𝐶𝑅⊥𝐵𝐷，
∴𝐶𝑊=𝐶𝑅(全等三角形对应边上的高相等)， ∴𝐸𝐶平分∠𝐵𝐸𝑃；
(3)解：𝑎−3𝑏=2𝑐．
理由：在𝐸𝐵上取一点𝐿，使得𝐸𝐿=𝐸𝐴，连接𝐴𝐿，
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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∵∠𝐵𝐸𝑃=120°，𝐶𝐸平分∠𝐵𝐸𝑃， ∴∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐶𝐸𝑃=∠𝑃𝐸𝐷=60°， …………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∵𝐴𝐸=𝐸𝐿，
∴△𝐴𝐸𝐿是等边三角形， 同理(1)可证，△𝐵𝐴𝐿≌△𝐶𝐴𝐸， ∴𝐸𝐶=𝐵𝐿，
∴𝐵𝐸=𝐸𝐿+𝐵𝐿=𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝑎+𝑐， 同法可证𝐸𝑃=𝑏+𝑐， ∵𝐵𝑃=4𝐶𝑃， ∴𝐵𝐶=3𝐶𝑃， 1
∵
𝑆△𝐵𝐸𝐶𝑆△𝐸𝐶𝑃
=
2⋅𝐵𝐸⋅𝐶𝑅1=
𝐵𝐶
2𝐸𝑃⋅𝐶𝑊𝐶𝑃
=3，
∴𝐵𝐸=3𝑃𝐸， ∴𝑎+𝑐=3(𝑏+𝑐)， ∴𝑎−3𝑏=2𝑐．
【解析】(1)根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可证得△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得𝐴𝑃=𝐵𝐷；
(2)过点𝐶作𝐶𝑊⊥𝑃𝐴于𝑊，𝐶𝑅⊥𝐵𝐷于𝑅，设𝐵𝐷交𝐴𝐶于𝑂.由全等三角形的性质得出𝐶𝑊=𝐶𝑅，则可得出结论；
(3)在𝐸𝐵上取一点𝐿，使得𝐸𝐿=𝐸𝐴，连接𝐴𝐿，证明△𝐴𝐸𝐿是等边三角形，同理(1)可证，△𝐵𝐴𝐿≌△𝐶𝐴𝐸，得出𝐸𝐶=𝐵𝐿，由三角形面积关系可得出𝐵𝐸=3𝑃𝐸，则可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】(1,0) (0,1) (0,−1) 𝐵𝐸=2𝑂𝐸
【解析】(1)解：∵(𝑎−1)2+|2𝑏−2|=0， ∴𝑎−1=0，2𝑏−2=0，
第21页，共23页
……线…………○…………
∴𝑎=1，𝑏=1， ∴𝐴(1,0)、𝐵(0,1)， 故答案为：(1,0)，(0,1)； (2)证明：过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝑥轴于𝐻，
……线…………○…………
∵△𝐵𝑃𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐵𝑃=𝑃𝐸，∠𝐵𝑃𝐸=90°， ∴∠𝐵𝑃𝑂+∠𝐸𝑃𝐻=90°， ∵∠𝑂𝐵𝑃+∠𝐵𝑃𝑂=90°， ∴∠𝑂𝐵𝑃=∠𝐸𝑃𝐻， 又∵∠𝐵𝑂𝑃=∠𝑃𝐻𝐸=90°， ∴△𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐻𝐸(𝐴𝐴𝑆)，
∴𝑂𝐵=𝑃𝐻=𝑂𝐴=1，𝑂𝑃=𝐸𝐻， ∴𝑂𝑃+𝑃𝐴=𝑃𝐴+𝐴𝐻， ∴𝑂𝑃=𝐴𝐻， ∴𝐸𝐻=𝐴𝐻， 又∵∠𝐴𝐻𝐸=90°， ∴∠𝐻𝐴𝐸=45°，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝑂𝐴𝐵=45°， ∴∠𝐸𝐴𝐵=90°， ∴𝐵𝐴⊥𝐴𝐸； (3)解：∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐹=90°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝑂=45°，
第22页，共23页
…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………
∴∠𝑂𝐴𝐹=45°， ∵∠𝐴𝑂𝐹=90°， ∴∠𝑂𝐴𝐹=∠𝑂𝐹𝐴=45°， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐹=1， ∴𝐹(0,−1)；
取点𝐺(1,−1)，连接𝐹𝐺，𝑂𝐺， ∵𝐹(0,−1)，∠𝑂𝐹𝐴=∠𝐴𝐹𝐺=45°，
…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∴𝑂与𝐺关于直线𝐴𝐹对称，连接𝐵𝐺交𝐴𝐹于𝐸，连接𝑂𝐸，则𝑂𝐸=𝐸𝐺，
此时𝑂𝐸+𝐵𝐸最小，𝑂𝐸+𝐵𝐸=𝐸𝐺+𝐵𝐸=𝐵𝐺， ∵𝐸到𝐹𝐵，𝐹𝐺的距离相等，𝐵𝐹=2，𝐹𝐺=1， ∴𝑆△𝐵𝐹𝐸=2𝑆△𝐺𝐹𝐸， ∴𝐵𝐸=2𝐸𝐺， ∴𝐵𝐸=2𝑂𝐸．
故答案为：(0,−1)，𝐵𝐸=2𝑂𝐸．
(1)根据非负数的性质得到𝑎=1，𝑏=1，得到𝑂𝐴=1，𝑂𝐵=1，于是得到结果； (2)过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝑥轴于𝐻，证明△𝐵𝑂𝑃≌△𝑃𝐻𝐸(𝐴𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出𝑂𝐵=𝑃𝐻=𝑂𝐴=1，𝑂𝑃=𝐸𝐻，由等腰直角三角形的性质得出∠𝑂𝐴𝐵=45°，证出∠𝐸𝐴𝐵=90°，则可得出结论；
(3)由直角三角形的性质证出𝑂𝐴=𝑂𝐹=1，则可得出𝐹(0,−1)；取点𝐺(1,−1)，连接𝐹𝐺，𝑂𝐺，𝑂与𝐺关于直线𝐴𝐹对称，连接𝐵𝐺交𝐴𝐹于𝐸，连接𝑂𝐸，则𝑂𝐸=𝐸𝐺，根据三角形的面积关系可得出𝐵𝐸=2𝑂𝐸．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
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