两道数学题

两道数学题

92.（2013•晋江）如图10，在平面直角坐标系xoy中，一动直线l从y轴出发，

以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线yx相交于点P,以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.设直线

l的运动时间为t秒．

（1）填空：当t1时，⊙P的半径为 ，OA ，OB ； （2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平

行四边形.

①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）

②当点C在直线yx上方时,过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个 ．．交点为点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由.

l y B P O A y y=x B l y=x P x O A x (图10) (备用图)

解:(1)2，OA2，OB2；

(2)符合条件的点C有3个，如图10-1，分别为C1(t,3t)、

C2(t,t)、C3(t,t)；

(3) DAC是等腰直角三角形.理由如下:

当点C在第一象限时,如图10-2,连接DA、DC、PA、AC. 由(2)可知,点C的坐标为(t,3t),由点P坐标为(t,t),点A坐 标为(2t,0),点B坐标为(0,2t)，可知OAOB2t，OAB 是等腰直角三角形，又POPB，进而可得OPB也是等腰 直角三角形，则POBPBO45. AOB90， AB为⊙P的直径， A、P、B三点共线， 又BC//OP，

CBEPOB45,

ABC180CBEPBO90,

y ECy=x BQDPOAx （图10-2） AC为⊙Q的直径, DADC

CDEADO90

过点C作CEy轴于点E，则有DCECDE90， y y=x BADODCE

RtDCE∽RtADO

PECDEt3tODCE即 ODAOOD2tQ解得ODt或OD2t O依题意，点D与点B不重合， 舍去OD2t，只取ODt

DEC图10-3 1即相似比为1，此时两个三角形全等， OD则DCAD

DAC是等腰直角三角形.

当点C在第二象限时,如图10-3,同上可证DAC也是等腰直角三角形.

Ax 综上所述, 当点C在直线yx上方时, DAC必等腰直角三角形.

15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2. 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

y C A O M B x D 图12

15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)(a≠0)

又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

2

∴y=x-2x-3 ················································································································· 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ································································································ 4分

解法2：设抛物线的解析式为yax2bxc(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

abc0a1 ∴9a3bc0，解之得：b2

c3c3∴y=x-2x-3·························································································· 3分

自变量范围：-1≤x≤3 ······································································ 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=3 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ·························································· 6分

2

∴切线CE的解析式为y3x3 ···································································· 8分 3y

A B x M O E

D

解图12

(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ·································· 9分

由题意可知方程组ykx3只有一组解 2yx2x3C 即kx3x22x3有两个相等实根，∴k=-2 ···················································· 11分

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ····························································· 12分