实物期权法模型分析

一、 模型简介 （一） 期权及实物期权

期权是一种未来的选择权，是指购买方向卖方支付一定的费用(期权费)后所获得的在将来某一特定到期日或某一时间内按协定的价格购买 (买权，看涨期权)或出售 (卖权，看跌期权)一定数量的某种标的资产的权利。

实物期权，一种期权，其底层证券是既非股票又非期货的实物商品。这实物商品自身(货币，债券，货物)构成了该期权的底层实体。实物期权(real options)，把金融市场的规则引入企业内部战略投资决策，用于规划与管理战略投资。在公司面临不确定性的市场环境下，实物期权的价值来源于公司战略决策的实物期权。

每一个公司都是通过不同的投资组合，确定自己的实物期权，并对其进行管理、运作，从而为股东创造价值。 实物期权法应用金融期权理论，给出动态管理的定量价值，从而将不确定性转变成企业的优势。

根据标的资产不同，期权分金融期权和实物期权 。实物期权是一种与金融期权相对应的非金融性选择权，实物期权模型在金融期权模型的基础上发展，以类比的思维将存在期权性质的项目或资产进行测算。

继 1973 年著名的 B-S 定价模型之后，美国学者 Stewart Myers 在 1977 年首次提出了实物期权的概念，即把具有期权特性的实物资产看做看涨期权，此期权的执行价格是投资的成本价格，期权的价值取决于投资项目的价值和是否对此投资的决策。

实物期权定价的理论模型是建立在非套利均衡的基础上，其核心思想是“在确定投资时机的价值和最优投资策略时，投资者不应简单地使用主观概率方法或效用函数，理性的投资者应寻求一种建立在市场基础上的使项目价值最大化的方法”。

（二） 实物期权常用模型

从建模的角度来看，实物期权分析建模思想有两大类，离散型模型主要是动态规划的方法，而连续型主要有偏微分法和模拟的方法。

(1) 动态规划法：其方法是推算出期权到期日标的资产的可能价值并推导出未来最优决策的价值。它首先列出了基础资产在期权生命周期内可能出现的价格，在多种情况或路径下，最终形成了相关的价值，最后需要把这个价值折现后进行评价。二叉树期权定价模型是采用动态规划方法的一个典型期权方法。

(2) 微分法：通过数学运算求出期权价值，它必须有一条偏微分方程式及边界条件限制。偏微分方程与边界条件的解析法中最为人知的便是 Black-Scholes 欧式期权定价模型，应用相当广泛。 (3) 模拟法：模拟的方法是列出标的资产价格从当前价格到期权最终决策日之间有多种可能的变化路径。最常用的是蒙特卡罗模拟方法，通过在每个路径的末端作出最优投资决策并计算出支付状况。

二、B-S 模型

(一)模型假设

通常而言，B-S 模型是首选模型，它使用起来较为简便且计算精确 。Black和Scholes在推导B-S模型时，做了如下基本假设：

(1) 风险利率恒定,r为常数

(2) 标的资产为股票，股票价格S是连续的，服从对数正态分布，其价格变化遵循几何布朗运动。

(3)项目运行期，无红利和其他所得

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(4)欧式期权，只能在在期权到期日当天才能行使权利 (5)没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的 (6)不存在套利时机

(7)没有卖空限制，投资者可以自由使用卖空所得资金

(二)具体模型

1、Black．Scholes定价公式

在上述假设前提下，Black和Scholes得到了描述期权价格变化的随机偏微分方程--Black-Scholes方程。

利用对冲技巧可以得到B-S方程。

△一对冲对于给定的期权V，在相反方向交易△份额的标的资产S，使得构成的投资组合Ⅱ：

VS

是无风险的，这称为△一对冲。

设VV(S,t)是期权价格，利用△一对冲技巧，可以得到期权定价的数学方程：

V1222VVSrSrV0 t2S2S这就是刻画期权价格变化的偏微分方程——Black-Scholes(布莱克一斯科尔斯)方

程。 它描述了期权价格变化遵从的规律，在现代金融理论中占有重要位置。方程的解

VV(S.t)即是所求的期权价格。但是这一有很多解，而不是只有唯一的解。只有在给

定某一边界条件(Boundary Conditions)下，才有唯一的解。

用C(S,t)表示欧式看涨期权的价值，执行价格为X，到期日为T。假设给定边界条件为：

C(S,T)max(STX,0)

可以得到欧式看涨期权的Black．Scholes定价公式：

C(S,t)SN(d1)Xert[N(d2)],其中，d1SlnX2rt2,ddt

21tN(x)12xe1y22dy

N(x)是均值为0，方差为1的标准正态分布变量的累积概率分布函数。 用P(S，t)表示欧式看跌期权的价值，同样地，假设给定边界条件为：

P(S,T)max(XST,0),

同样可求得欧式看跌期权的Black．Scholes定价公式：

P(S,t)XertN(d2)SN(d1)

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〔2〕各变量含义

表1模型变量含义一览 变量 含义 C 期权的价值:未来获利能力价值〔权益资本价值〕 S 标的资产的价值〔企业现金流收益现值〕 X 期权的执行价格〔企业的投资费用〕 r 无风险利率 σ 标的资产价格波动率:〔企业价值的不确定性〕 t 距离到期日的剩余时间〔企业投资时机的有效期〕 Nd 标准正态分布函数 〔三〕参数的选择

1. 标的资产的价值〔S〕

标的资产的价值 S 应该是在被投资时点的市场认可价值。在评估基准日的企业价值可以是企业的净资产市价，也可以采用传统的评估方法——成本法、收益法、市场法三种方法进行评估。

标的资产现值的测算方法主要包括以下三种：

(1)现金流分析法。主要包括股东自由现金流分析法、公司自由现金流分析方法和相比照较股价法。前两种方法是基于评估人所处的角度，还需要比较好的财务数据，而后一种方法则依赖于金融股票市场，需要获取良好的可比公司数据。

〔2〕蒙特卡洛模拟方法。采取随机数的不同处理方法，我们可以有效地模拟出标的资产未来的概率分布状况，进而测算出标的资产的现值。

〔3〕情景分析法。这种方法基于一个前提，那就是我们可以比较准确的估计出未来现金流的分布状态和概率，进而测算其标的资产的现值。4、高级决策树法。这种方法建立的前提是确定决策点以及决策点的发生概率和分支损益。 2. 行权价格〔X〕

行权价格在准则中已经给出了定义——“指实物期权行权时，买进或者卖出标的资产支付或者获得的金额。增长期权的行权价格是形成标的资产所需的投资金额。退出期权的行权价格是标的资产在未来行权时间可以卖出的价格。” 3．无风险收益率〔r〕

无风险收益率指不存在违约风险的收益率。按照期限匹配的原则，应选择的是与投资期限相一致的无风险收益率。无风险收益率的数据来源有两种，一是金融机构存款利率，二是国债利率。

在发达的金融市场上,无风险利率的估计值很容易获得。通常将无风险资产定义为投资者可以确定预期报酬率的资产。一般情况下,政府债券没有违约风险,可以代表无风险利率。但是,在具体的操作过程中会遇到以下三个问题:如何选择债券的期限、如何选择利率以及如何处理通货膨胀问题。

①债券期限的选择。政府债券有不同的期限,其利率也有所不同。通常情况下选择长期政府债券的利率作为无风险利率。主要是因为长期政府债券的期限较长,其期限和投资项目的现金流持续时间能较好的配合。而且,短期政府债券的波动性大,其变动幅度有时甚至超过无风险利率本身,因此不适宜作为无风险利率的代表。最常见的做法是选用10年期的财政部债券利率作为无风险利率的代表,也有主张使用更长期限的政府债券利率。

②选择票面利率或到期收益率。不同时间发行的长期政府债券,其票面利率有较大

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的差异。长期政府债券的付息期不同,有半年期或一年期等,还有到期一次还本付息的。因此,票面利率是不适合的。应当选择上市交易的政府长期债券的到期收益率作为无风险利率的代表。

③选择名义利率还是实际利率。名义利率是指包含了通货膨胀率,实际利率则是是排除了通货膨胀率。政府债券的未来现金流都是按名义货币支付的,据此计算出来的到期收益率是名义利率。实际中,一般情况下使用名义货币编制财务报表并确定现金流量,因此使用名义的无风险利率来计算。只有存在恶性通货膨胀和预测周期特别长导致通货膨胀的累计影响巨大的情况下才使用实际利率。 4. 标的资产价格波动率〔σ〕

波动率是指预期标的资产收益率的标准差,如果所选的价格数据为月度数据，须将该标准差转为年度值〔日、季数据同理〕。许多学者都提出了关于测算波动率的不同方法，综合整理后主要有以下几种

（1） 采取历史数据中的样本，并用这些样本计算变动率。对于一些无历史记录的项

目，可采用相关项目历史数据代替；

（2） Garch/Arch 方法，它也采用历史信息，但不同的是它假设未来的波动率是变化

的。因此，它们通过一个方程来表达未来的变动率，时间作为独立的变量；

（3） 对于可以通过扩张法复制 “孪生证券”组合的项目，可以用金融市场上该组合

的波动率作为项目的波动率；

（4） 采用隐含的变动率，即市场上交易的变动率。 5. 行权期限〔T〕

准则对行权期限的规定非常明确，为评估基准日至实物期权行权时间之间的时间长度。实物期权如果没有准确的行权期限，可以按照预计的最正确行权时间估计行权期限。

三、二叉树模型(Binomial option Pricing Model)

(一)、模型假设 1．两大基础假设

①标的资产的价格服从非正态分布的期权定价模型，股票的价格生成机制符合几何游走过程(Geometric Random Walk),同时股价符合二项分布,而且股价的波动是独立同分布的但是不同于B一S模型中的连续过程。

②风险中性世界，即投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。由于可以连续交易,期权的价格与投资者的个人风险偏好无关,它之所以等于某一个确定的值是因为如果偏离了这一数值市场上的套利力量会使其回到原来的状况。

①市场投资不计较交易成本，即存在一个无摩擦市场； ②投资者是价格接受者；

③允许完全使用卖空所得款项；

④允许以无风险利率借入和借出款项；

⑤未来股票的价格将是两种可能值中的一种。 (二)具体模型

二叉树方法模型是在期权期限内出现的资产价值变动路径的图形,在树形变动的每一步,资产价格具有一定的概率增加,同时也有一定的概率降低。

在二叉树定价模型中，每一个数值称为一个节点，每一条通往各节点的线称为一条路径。变量数值的上升与下降分别以“u ”和“d ”表示，u 和d 的数值分别代表变量数值上升和下降为原来数值的倍数，u 和d 分别被称为上涨因子和下降因子，经过的期

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数以“n”表示，考虑一个基于无红利支付的标的物的期权价值 为f，标的物当前价格为S ，在期权有效期内，标的物价格以概率p上升到Su,对应的期权为fu，或者以概率1-p下降到Sd，对应的期权为fd〔其中u1,d1〕。如下图：

Su3……Su2SuSSu2d……SudSdSud2Sd2……Sd3n0……n1n2n3

单期二叉树模型：

首先构造一个投资组合，它是由买进Δ股股票和卖出一个买权构成的，买进的Δ股股票上的盈余〔亏损〕可以正好被卖出的买权上的亏损〔盈余〕所抵消，投资组合的价值是确定的，即这一投资组合是无风险的。在不存在套利时机的情况下，这一投资组合的回报率应该等于无风险利率。以S 代表股票的当前价格，Δ代表所需购进股票的股数， T 代表一期的时间。由于投资组合的价值是确定不变的，因此在期末股票的价值无论是上涨还是下跌都应有SufuSdfd，为Sf根据套利原理，应有

fufd，投资组合的期初值或现值

SuSdSfSufuerTSdfderT,带入得：ferTfufd

SuSderTdpfu(1p)fd，其中pud，

该方程式即为单期二叉树模型。

通过这一模型可以计算出单期的期权价格，其步骤是：

〔1〕计算风险中性概率 p ，使投资组合的回报率等于期望回报率； 〔2〕计算期权到期的期望现金流量 pfu(1p)fd

〔3〕按无风险利率贴现上述现金流量，得出期权价格。

求解期权价格的过程中,采用后向式,从期权成熟期逐步向前递推,其中F为期权的价值。一个看跌期权价值为Max(XST,0)，而一个看涨期权价值为Max(STX,0)。其中ST是T时刻的股票价格,X是执行价格。假设在风险中性世界中,T-Δt时刻的每个结点上的期权价值都可以用T时刻期权价值的期望值在Δt时刻内用利率r贴现求得。同理,T-2Δt时刻的每个结点的期权价值可用T-Δt时刻的期望值在Δt时间内用利率r

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贴现求出,其他结点以此类推。

以两期二叉树为例：

22看涨期权：fuumax(S0uX,0),fudmax(S0udX,0),fddmax(S0dX,0) 22看跌期权：fuumax(XS0u,0),fudmax(XS0ud,0),fddmax(XS0d,0)

22期权价值：fe2rTpfuu2p(1p)fud(1p)fdd

〔三〕参数的选择 1.u,d的取值

对于上升因子和下降因子的取值一定要合理，目前通用的取值方法是假设上升因子u 是现金流的波动率σ 乘以时间段或者期数的时间 Δ t 的平方根的简单指数函数，即uet,det，下降因子d 是上升因子u 的倒数，即u1d，倒数的数量关

系保证了网格图是复合的，因为上升和下降阶段有着相同的程度和不同的符号，随着路径的扩展，二叉树的分支总会重合。 2．期权的期限〔T〕

Δt 指期数的时间， N 表示二叉树的期数，期数越大，准确度越高； 2. 标的资产价值〔 S 〕

3．标的资产的波动率〔σ 〕 期权的执行价格〔X〕 无风险利率〔rf〕

〔四〕二叉树评价投资项目的步骤

〔1〕进行传统的净现值计算。由于实物期权方法的一些参数是基于净现值方法得到的，所以必须结合现行的净现值法，给出参数确实定方法；另外由于项目的最终价值=传统 NPV+实物期权价值，所以在应用实物期权方法时应先进行传统净现值的计算。

〔2〕进行识别和构造投资项目中的实物期权。有的项目中的实物期权具有隐蔽性，不容易被直接发现，因此需要进行识别。一个项目中可能有多种实物期权，还需要进行进一步分析，构造出一个最符合实际情况的实物期权。

〔3〕选择定价方法，建立定价模型。以二叉树图方程式为基础，创建二叉树网格图，得出定价模型。

〔4〕确定各个实物期权要素的参数值。

〔5〕将参数值带入模型计算出实物期权的价值，再计算出安全投资项目的价值=NPV+实物期权价值，其中 NPV 为传统方法得出的净现值，并结合相关政策进行项目可行性分析。

四、模型比较

(1)基本原理的比较分析

在对二叉树模型进行推导时，如果标的资产的价格运动在有效期内是按单期二项式方式进行的话，那么可以建立一个期权与标的资产的组合，组成无风险的资产组合。在无套利条件下，无风险资产组合的预期收益率必然等于无风险利率。如果资产价格是按照多期二叉树进行的话，可以分别处理每个单期的二叉树图，并采用倒推的方法从未知未来推向现在，可获得期权的当前价值。无论哪种情况，都可以通过标的资产的价格得

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出期权的价格，只要满足无套利的原则。在无套利假设的条件下，用二叉树给期权定价，不需要考虑到标的资产上升或下降的概率。不管标的资产上升或下降的概率如何，都会得出相同的结果，与标的资产的期望收益无关。因此，可以考虑一种特殊的情况，就是恰好在无风险预期情况下的概率。然后利用此概率对预期现金流贴现，此时用到的刚好就是无风险利率。

对于 B-S 模型，利用的是基础资产与无风险资产模拟或复制期权。根据无套利原理，复制组合与期权的市场均衡价格应该相等，否则，就会出现套利时机。在复制组合与期权之间，投资者就可以买进价格低的，卖出价格高的，它们之间的差价就是无风险的收益。因为在未来，可以通过多头获得的现金流抵补空头承担的责任。而市场参与者都是追逐利益者，一旦有这样的套利时机都会利用。这样，最终套利时机就消失了，重新到达无套利的均衡状态。在 B-S 模型中，标的资产的预期收益率也没有进入模型。因此，可以假设是在一个风险中性的世界中，所有资产的收益都是无风险收益率，无风险利率是现金流量最合适的折现率。

综上所述，B-S 期权定价模型和二叉树期权定价模型都遵循的是无套利原理和复制技巧以及风险中性的假设。 (2)价值决定因素的比较分析

无论是对连续性标的资产价格运动的期权定价，还是对离散的价格运动形式的期权定价，决定期权价值的因素都是相同的。这些因素包含标的资产价格的波动幅度、标的资产的当前价值、期权到期日的时间长度、执行价格以及市场的无风险利率。因此，B-S 期权定价模型和二叉树期权定价模型定价决定因素是相同的。如果把二叉树的期间间隔变得很小，甚至变到无限小，那么二叉树期权定价公式的无限逼近就恰好是 B-S 期权定价模型。

〔3〕假设条件的比较分析

虽然 B-S 期权定价模型和二叉树期权定价模型有着很多相同的地方，但它们也存在着不同的地方。在对条件的假设时，B-S 期权定价模型条件较多，要求期权是欧式的看涨期权、标的资产价格是连续的、不会产生价格的突变。在二叉树期权定价模型中则没有这些条件的限制。相反，二叉树模型中假设标的资产的价格运动只有上升和下降两种可能，条件简单，且较容易理解，在应用时也更方便。

期权的价值依赖于标的资产的价格运动，而标的资产价格运动具有不确定性。用随机变量来描述资产价格运动是一种常用的方法，但不同的随机变量具有不同的分布特性。因此，对价格运动的不同特性采用不同的随机分布假设，是 B-S 期权定价模型和二叉树期权定价模型重要区别之一。B-S 期权定价模型中假设的是一个连续的随机变量，价格运动假设具有连续性，不允许有跳跃性的变化。在二叉树模型中，假设的是一个离散的随机变量，在时间间隔中，资产有可能发生较大的幅度变化或跳跃，但不会影响到二叉树公式的应用。

〔4〕实际应用时的比较分析

二叉树定价模型为期权价值的计算提供了一种直观的方法，易于理解期权定价的基本概念，模型的推导也相对简单。在应用中，可以把期权有效的期间根据需要细分化，对于较为复杂的期权也可以根据二叉树方法计算。但二叉树模型计算是需要大量的信息集，即要知道每一时间点上标的资产和期权预期价格的数据，这是二叉树方法应用的不足之处。对于 B-S 期权定价模型，其形式复杂，较难理解，要用到较深的数理知识，但要求了解的信息较少，有些参数事先都是确定的，如执行价格、标的资产现值、无风险利率等。唯一要估计的是标的资产的波动率，所以它极大地减少了需要的信息量。

综上所述，实物期权作为一种现代的价值评估方法，可以更有效的应用于风险投资

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项目的价值评估当中，以弥补风险投资项目传统评估方法所存在的缺陷与不足。

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