北师大版高中数学必修五第一章测试

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）

第一章测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列－3,7，－11,15…的通项公式可能是( ) A．an＝4n－7 B．an＝(－1)n(4n＋1) C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1·(4n－1) 解析 逐个检验． 答案 C

2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( ) A．4 C．6

解析 a2＋a8＝2a5. 答案 C

3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其中前10项和S10＝70，则其公差d等于( )

B．5 D．7

2A．－3 1C.3

1B．－3 2D.3

10×92

解析 S10＝10×10－2d＝70，得d＝3. 答案 D

5

4．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，则等比数列{an}的公比q的值为( )

1A.4 C．2

1B.2 D．8

5

a4＋a63411

解析 由＝q＝10＝8，得q＝2. a1＋a3答案 B

5．已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为15，则a6为( )

A．5 C．15

解析 S奇－S偶＝a6＝15. 答案 C

6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( ) A．15 C．49

解析 a8＝S8－S7＝64－49＝15. 答案 A

B．16 D．64 B．30 D．21

S5

7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S＝( )

2A．11 C．－8

B．5 D．－11

解析 由8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，带入所求式可知答案为D.

答案 D

8．已知等比数列{an}的公比q<0，若a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则数列{an}的前2010项的和等于( )

A．2010 C．1

B．－1 D．0

解析 由an＋2＝an＋1＋2an，得q2－q－2＝0， 得q＝2或q＝－1.又q<0，∴q＝－1.又a2＝1， ∴a1＝－1，S2010＝0. 答案 D

Sn7n

9．两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn，已知T＝，n＋3n

a5

则b＝( )

5

A．7 27C.8

a5S96321解析 b＝T＝12＝4. 59答案 D

10．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第1个数是( )

2

B.3 21D.4

A．34950 C．35010

B．35000 D．35050

1＋99×99

解析 前99组中共有＝4950个数，故第100组中的2第一个数为34950.

答案 A

二、填空题(5×5＝25分)

1S411．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和Sn，则a＝________.

4S4

解析 ∵S4＝8a4＋4a4＋2a4＋a4，∴a＝15.

4

答案 15

12．已知数列{xn}满足：lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.

xn＋1

解析 由lgxn＋1＝1＋lgxn，得x＝10，

n∴数列{xn}为等比数列，公比为10.

故x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100. ∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100. 答案 100

13．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则所成等比数列的公比为________．

解析 由a25＝a1a17，得

(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，即a1＝2d. a5

∴a5＝a1＋4d＝6d，q＝a＝3.

1

答案 3

5

14．在数列{an}中，an＝4n－2，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N

＋

，其中，a、b为常数，则ab＝________.

53

＋4n－n

22

2

4n－1nn2

＝＝2n－22，

解析 Sn＝

1

∴a＝2，b＝－2，ab＝－1. 答案 －1

15．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝_____， 若它的第k项满足5解析 由Sn＝n2－9n，当n＝1时，a1＝－8，当n≥2时，an＝Sn

－Sn－1＝2n－10，又n＝1时2n－10＝－8，故an＝2n－10.由5得2答案 2n－10 8

三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(12分)在等差数列{an}中，a4＝10，a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.

解 设等差数列{an}的公差为d，

则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.

2

∵a3，a6，a10成等比数列，∴a6＝a3·a10.

即(10＋2d)2＝(10－d)(10＋6d)，得d＝0或d＝1. 当d＝0时，a1＝a4－3d＝10，S20＝200；

20×19

当d＝1时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋2d＝330.

17．(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

(1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.

解 (1)由题意得，a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)，又a1≠0，故1

2q＋q＝0，又q≠0，∴q＝－2.

2

12

(2)由已知可得，a1－a1－2＝3，故a1＝4.

1n

41－－2

1n8

∴Sn＝＝31－－2.

11－－2

18．(12分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 解 (1)由已知a3＝5，a10＝－9得，

a1＋2d＝5，a1＝9，

 得 a＋9d＝－9，d＝－2.1

∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝na1＋

nn－122

d＝10n－n＝－(n－5)＋25. 2

∴当n＝5时，Sn取得最大值．

19．(13分)已知数列{an}为等差数列，bn＝3an. (1)求证数列{bn}为等比数列； (2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·b3·…·b20；

(3)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1·b2·b3·…·bn的最大值． 解 (1)证明略．

(2)∵b1·b2·b3·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…＋a20， 又a8＋a13＝m，∴b1·b2·b3·…·b20＝310m. (3)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d

b5＝39，b3·a3＋a5＝9，由得 a4＋a6＝3，a4＋a6＝3，

a1＝，2a1＋6d＝9，2即得2a1＋8d＝3，

27

d＝－3.

3

∴Sn＝a1＋…＋an＝－2n2＋15n. 75

当n＝5时，Sn有最大值2， b1·b2·…·bn＝3a1＋a2＋…＋an＝3Sn. 75∴当n＝5时，b1·b2·…·bn有最大值32.

20．(13分)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项公式xn＝2np＋nq(n∈N＋，p、q为常数)且x1，x4，x5成等差数列．

(1)求p、q的值；

(2)求数列{xn}的前n项和Sn的公式． 解 (1)∵x1，x4，x5成等差数列，

∴2x4＝x1＋x5，即2(24p＋4q)＝3＋25p＋5q， 25p＋8q＝25p＋5q＋3，得q＝1.

又x1＝2p＋q＝3，得p＝1，∴p＝1，q＝1. (2)由(1)知，xn＝2n＋n，

∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n) 21－2n1＋nnn＋1nn＋1＝＋2＝2－2＋2.

1－2

21．(13分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1，

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)由已知得，当n≥1时，

an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 又a1＝2，

∴数列{an}的通项公式an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知

Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1 4·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1 1

即Sn＝9[(3n－1)×22n＋1＋2]．