一、选择题（共40小题；共200分） 1. 已知 ， ，
A. A.
C.
，则
C. B. D.
D.
B.
2. 下列各式错误的是 ．
3. 已知 ， ， ，则
A. A.
B. B.
C. C.
D. D.
4. 已知 ， ， ，则 5. 设 ， ， ， 则
A. A.
B. B.
C. C.
D. D.
6. 函数 的零点个数为
若 ，则 的取值范围是 7. 设函数
A. B.
C.
D.
8. 若函数 的图象在第一、三、四象限，则有 ．
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
9. 已知 且 ，函数 ， ， 在同一坐标系中的图象可能是 ．
A. B.
C. D.
10. 设 ，
， ，则
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A. B.
C.
D.
11. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.
B. C. D.
12. 已知实数 ， 满足 ，则下列关系式恒成立的是
A.
B. D.
C.
13. 已知 为定义在 上的函数，若对任意两个不相等的正数 ， ，都有
，记
，
，
，则
D.
A. B. C.
14. 已知函数 ，则
A.
B.
C.
D.
15. 已知函数 把函数 的零点按照从小到大的顺序排成
一个数列 ，则该数列的通项公式为 A.
B. D.
C.
是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围为 16.
A. A. A.
B. B. B.
C. C. C.
D. D. D.
17. 下列四个函数中，在闭区间 上单调递增的函数是 18. 函数 在区间 内的零点个数是
19. 若 是方程 的解，则 属于区间
A.
B.
C.
B.
D.
20. 已知全集 ， ， 则
A. C.
D.
21. 已知函数 则
A.
B.
C.
D.
22. 已知奇函数 在 上是增函数．若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为
A.
B.
C.
D.
第2页（共23 页）
23. 已知 ，
A.
， ，则 ， ， 的大小关系为
C. B. D.
D.
B.
24. 下列函数中，在区间 上为增函数的是
A. C.
25. 已知函数 ，若函数 有且只有一个零点，则实数 的
取值范围是
A. C.
B.
D.
26. 设 ， ， 均为正数，且 ， ， ．则
A. A.
C.
28. 函数 的零点个数为
A.
B. C. B. D.
D.
27. 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是
B. C. D.
29. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
A. C.
则 成立是 成立的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. D.
30. 已知条件 ：关于 的不等式 有解；条件 ： 为减函数，
31. 设 ， ， ，则这三个数的大小关系是
A. A.
B. B.
C. C.
D. D.
32. 设 ， ， ，则这三个数的大小关系是
33. 若函数 且 是偶函数，则下面的结论正确的是
A. B. C.
D. 与 的大小无法确定 34. 已知 ，且 ，则
第3页（共23 页）
A.
B. D.
C.
35. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A.
B.
C. D.
36. 设 ， ，
A.
，则
C.
D.
B.
37. 已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为 A.
B.
C.
D.
38. 若函数 且 是偶函数，则下面的结论正确的是
A. B. C.
D. 与 的大小无法确定
39. 设 ， ，且 为偶函数， 为奇函数，若存在实数 ，当
时，不等式 成立，则 的最小值为
A.
B. C. D.
40. 设函数 ， ．若实数 ， 满足 ， ，则
A. C.
B. D.
二、填空题（共40小题；共200分）
41. 已知集合 ， ，则 ．
42. 函数 （ 且 ）的图象经过的定点坐标是 ． 43. 不等式
的解集为 ．
44. 已知直线 与函数 ， ， ， 的图象依次相交于 ， ，
， 四点，则这四点从上到下的排列顺序是 ．
45. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，
则 的最小值为 ．
46. 设函数 的定义域和值域都是 ，则 ． 47. 若函数
定义域为 ，则 的取值范围是 ．
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48. 一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 ．在停止喝酒后，血液中的
酒精含量以每小时 的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中酒精含量不得超过 ，那么这个驾驶员至少要经过 个小时后才能开车．（精确到 小时，参考
数据 ， ）
49. 已知 ，则 的增区间为 ．
50. 若函数 （ 且 ）的图象经过第二、三、四象限，则实数 的取值范围
是 ．实数 的取值范围是 ．
51. 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ．
52. 若集合 ， ，则 ．
53. 某种物质在时刻 的浓度 与 的函数关系为 （ ， 为常
数）．在 和 测得该物质的浓度分别为 和 ，那么在 时，该物质的浓度为 ；若该物质的浓度小于 ，则最小的
整数 的值为 ．（参考数据： ） 54. 已知 ，若 ，则 ．
55. 已知常数 ，函数 的图象经过点 ， ．若 ，则
．
56. 已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 ． 57. 已知点 和 均在函数 的图象上，则 的解析式为 ． 58. 已知常数 ，且 ，若对任意的实数 ，恒有 ，则实数 的取值范
围 ．
59. 若方程 的解是 ，方程 的解是 ，则 ， ， ， 的大小关系为 ． 60. 若函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则 与 的大小关系
是 ．
61. 方程 的解是 ．
62. 设函数 ， 且 ，若 在区间 上的最大值比最小值大 ，则
．
63. 若函数 是奇函数，则实数 的值为 ．
64. 若直线 与函数 的图象有且只有两个公共点，则实数 的取值
范围是 ．
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65. 若指数函数 的图象过点 ，则 ．
66. 若函数 且 的图象经过第二、三、四象限，则
． ．
67. 已知函数 满足 ，且当 时， ，则
．
68. 若 ，将 ， ， 按从小到大的顺序排列为 ． 69. 设 ，则函数 的最小值为 ，最大值为 ． 70. 设 ，若仅有一个常数 使得对于任意的 ，都有 满足方程
，这时 的取值的集合为 ．
71. 已知 ， ，若同时满足条件：
① ， 或 ；② 时， ，则 的取值范围是 ．
72. 已知函数 是定义域为 的偶函数．
当 时，
若关于 的方程 有且只有 个不同实数根，则实数 的取值范围是 ．
73. 指数函数 在 上的最大值与最小值之差为 ，则 的值为 ．
．若存在 ，74. 设函数
使得 成立，则实数 的取值范围为 ．
75. 若直角坐标平面内两点 ， 满足条件：① ， 都在函数 的图象上；② ， 关于原
点对称，则称 是函数 的一个“伙伴点组”（点组 与 看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是 ．（填写所有正确选项的序号）
76. 已知 ， ，若对 ， ， ，则实数
的取值范围是 ．
77. 已知 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ．若存在
，使得等式 成立，则实数 的取值范围是 ．
78. 给出下列 4 个函数：① ；② ；③ ；④ ，则满足定义
域 内的 ， ，使 成立的函数序号为 ．
79. 若实数 ， ， 满足 ， ，则 的最大值是 ．
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80. 已知 ， ．若同时满足条件：① ，
或 ；② ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（共20小题；共260分） 81. 解不等式
．
82. 已知定义在 上的函数 ＝ ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围． 83. 已知函数
是奇函数 ．
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的值域；
（3）试判断函数 在 上的单调性，并用定义证明你的结论．
84. （1）设 ， ， 是 上的单调增函数，试判断 的单调性；
（2）求函数
的单调区间．
85. 已知函数 ．
（1）若函数 是 上的偶函数，求实数 的值； （2）若 ，求函数 的零点；
86. 已知函数 ，且
（1）求 的值；
（2）判断并证明 的奇偶性；
（3）判断并证明函数 在 上的单调性，并求 的值域． 87. 设 ，试比较 ， ， 三者大小关系?
88. 已知
．
，将 ， ， ， 按从大到小的顺序排列．
89. 若 ， ，且 ，试比较 与 的大小． 90. 已知
．
（1）求证： ．
（2）求 的值． 91. 已知 ，比较 ， 和 的大小． 92. 若
，试将 ， ， ， 按从小到大的顺序排列．
93. 已知 ．
（1）若 是奇函数，求 的值，并判断 的单调性（不用证明）； （2）若函数 在区间 上有两个不同的零点，求 的取值范围． 94. 已知函数 （ 为常数， 且 ）的图象过点 和点 ．
（1）求函数的解析式；
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（2）
是奇函数，求常数 的值；
（3）对任意的 且 ，试比较
与
的大小．
95. 已知函数 （ ）的图象经过点 ，其中 ， ．
（1）求 的值；
（2）求函数 ， 的值域．
96. 定义在 上函数 ，且 ，当 时， ．
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求 的最大值和最小值．
97. 已知数列 与 满足 ， ．
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）设 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是最大项； （3）设 ， ，求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值 ，
且 ．
98. 对于函数 ， ，记集合 ．
（1）设 ， ，求 ；
（2）设 ， ， ，如果 ．求实数
的取值范围．
99. 已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性； （2）求 的值域；
（3）证明 在 上是增函数． 100. 设函数 ．
（1）当 时，求证：函数 不是奇函数； （2）设函数 是奇函数，求 与 的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数 的单调性，并求不等式 的解集．
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答案
第一部分 1. C
【解析】因为
，
，
，所以只需要比较它们的指数即可．
由对数函数的性质知 从而有 ． 2. B 3. C 4. C
，
【解析】由对数函数和指数函数的性质得 ， ， ． 【解析】 ，
所以 ．
， 所以 ， 所以 ． 5. C 6. B
【解析】函数 ，令 ，在同一坐标系中作出 ，与
，如图，
由图可得零点的个数为 . 7. D
【解析】 ，当 时， ， ， ， ；
当 时， ， ． 综上知 ． 8. A 9. C 10. A
11. D 【解析】对于A， 是偶函数，所以A不正确； 对于 B， 是奇函数，所以 B不正确； 对于 C， 是偶函数，所以 C 不正确；
对于D，不满足 也不满足 ，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确． 12. D
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13. C 【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ， ，都有
，
所以函数
是 上的减函数， ， ， ，
因为
所以 ， 所以 ．
14. B 【解析】 ， 所以 ． 15. C
16. B 【解析】因为当 时， 为增函数，所以 ， 又因为当 时， 为增函数，所以 ，
同时当 时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值， 所以 ，综上所述 ． 17. B 【解析】① 在 单调递减，故 A 不正确； ② 在闭区间 上单调递增，故 B 正确； ③ 在 无意义，故 C 不正确； ④ 在 单调递减，故 D 不正确．
18. B 【解析】解法一：因为 ， ，即 且函数 在 内单调递增且连续不断，故 在 内的零点个数是 ． 解法二：设 ， ，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示：
可知B正确．
19. C 【解析】令 ， ， 则 ， ，
， 所以由图象关系可得 ．
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20. B
【解析】 ， ，所以 ．
21. B 【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ．
22. C 【解析】因为奇函数 在 上是增函数，
所以 ， ， ， 又 ， 所以 ， 即 ． 23. A
24. A 【解析】对于A，函数 在 上为增函数，符合要求；对于B，函数
在 上为减函数，不符合要求；对于C，函数 在 上是减函数，不符合要求；对于D，函数 在 上为减函数，不符合要求． 25. D
【解析】函数 有且只有一个零点， 所以 ， 即： ，
分别画出 ，与 的图象，如图所示：
而 的图象恒过点 ， 当过点 时此时 ，有两个交点，
结合图象可得当 或 时，函数 有且只有一个零点．
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26. A 【解析】正数 是函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标；正数 是函数
的图象与函数 的图象的交点的横坐标；正数 是函数 的图象与函数
的图象的交点的横坐标．由下图可以得到 ．
27. A 28. B
29. B 【解析】当 时， ， ； 当 时， ， ． 综上所述， 或 ． 30. B
31. D 【解析】因为 ， ， ，
所以 ．
32. D 【解析】因为 ， ， ，
所以 ．
33. A 【解析】因为 且 是偶函数， 所以 ，即 ， 即 ，即 ， 则 ， 因为 且 ， 所以 且 ，
而 ，即 ，
若 ，则 在 上为增函数，此时 ，则 ， 若 ，则 在 上为减函数，此时 ，则 ， 综上 ． 34. C 35. D 36. D
37. B 【解析】由 为偶函数得 ， 在 上单调递增．
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， ， ，而 ， 所以 ．
38. A 【解析】因为 且 是偶函数，所以 ，即 ，即 ，即 ，则 ．
因为 且 ，所以 且 ，而 ，即 ． 若 ，则 在 上为增函数，此时 ，则 ． 若 ，则 在 上为减函数，此时 ，则 ． 综上所述 ．
39. A 【解析】由 ，即 得 ，
又 ， 分别为偶函数、奇函数，所以 联立 解得， ， ．
，即 ，也即 ， 即 ，
因为存在实数 ，当 时，不等式 成立， ， 所以 ．
所以 的最小值为 ． 40. C 第二部分 41. 42. 43. 【解析】不等式 44. 45.
【解析】由题意可知 ，因为点 在直线 上，所以 ． 所以
46.
【解析】因为 的值域为 ， 所以 ，
又函数 在 上是单调增函数， 因此有 解得
因此 ． 47.
，
故原不等式的解集为 ．
当且仅当 时 成立 ．
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【解析】因为函数 所以 48. 略 49.
定义域为 ，
恒成立，即 恒成立，
则 ，解得 ．
【解析】 的解 满足 ；即方程 的解 满足 ；所以 ；
令 ，设 ，则 为减函数；解 得， 或 ； 所以函数 在 上的减区间即是函数 的单调增区间；所以 的增区间为 ． 50. ， 51.
【解析】 在 上恒成立，故 ． 52.
【解析】由题意知 ， ， 所以 ． 53. ， 54. 55. 56.
【解析】依题意知，当 ，即 时， ，故定点为 ，所以 ， ，故 ． 57.
58.
59. 60. 61. 62. 或 63. 64.
65.
66. ， 67.
68. 69. ，
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【解析】提示：令 ，则 （ ），当 时 ；当 时 ． 70.
【解析】由 ，解得
，又 ，且 ，所以 ．
由题意，对于任意的 ，都有 ，因此有 ，
解得 ． 所以
又存在唯一的常数 使得方程成立，由此可知 ，解得 ． 71.
【解析】①因为对于 ，当 时， ；当 时， ． 又 ， 或 ，所以 在 时恒成立．
所以令 ，所以 ．
②因为当 时， 恒成立，
所以存在 ，使得 成立．
所以 或
解出 ．
综上所述， ． 72.
【解析】
若关于 的方程方程 有且只有 个不同实数根，则关于 的方程 必有 个实根，且满足
或
（i） 当 时，则 ，再由 ，得 ，解得
．
（ii） 当 时，则 ，再由 ，得 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ． 73. 或
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【解析】当 时，函数 在 上是增函数，依题意 ，所以 ；
当 时，函数 在 上是减函数，依题意 ，所以 ． 综上， 的值为 或 ． 74.
【解析】当 时， ；
当 时， ．
从而当 时，函数 的值域为 ． 由 ，得 ，则 ， 所以 ．
从而当 时，函数 的值域为 ． 因为存在 ，使 ，所以 ．
若 ，则 或 ，解得 或 ． 所以当 时， ． 综上，实数 的取值范围为 ． 75.
【解析】对于①，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，
由图可得“伙伴点组”只有一个；
对于②，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，
由图可得“伙伴点组”只有两个；
对于③，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，
第16页（共23 页）
由图可得“伙伴点组”只有两个；
对于④，画出此函数的图象，再画出当 时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当 时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，
由图可得“伙伴点组”有 个． 76.
【解析】 时， ， 时， ，即
，要使 ， ， ，只需 ，即
，故 ． 77.
78. ①③④
【解析】对于①， ，由于 ，关于原点对称，满足对定义域 内的 ， ，使 ；
对于②， ，因为 ，则不满足对定义域 内的 ， ，使 ；
对于③， ，定义域为 ，值域为 ，满足对定义域 内的 ，
，使 成立等价于 恒成立，满足条件；
对于④， ，因为其值域为 ，关于原点对称， 等价于 ，即 恒成立，满足条件． 79.
【解析】依题意得 由此得 ；
由
得 ， ， 当且仅当 时， 取等号，
，
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因此 的最大值是 ． 80.
【解析】满足题意的大致图象如下：
对于①，当 时， ．因为 ， 或 ， 所以 在 时恒成立．
由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与 轴的交点都在 的左侧，
解得 ． 于是
又因为 ，而此时 恒成立， 所以 在 时有成立的可能， 从而只要 比 、 中的较小的根大即可． （1）当 时， 不成立； （2）当 时，有两个等根，不成立；
（3）当 时， ，即 成立． 综上，可得①②成立时，则有 ． 第三部分 81.
即
即
解得
故不等式的解集为 ．
82. （1） 当 时， ，无解； 当 时， ，由 ，
得 ，看成关于 的一元二次方程， 解得 或 ， 因为 ，
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所以 ．
（2） 当 时， 即 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ，
所以 ， 故 的取值范围是 ． 83. （1） 由题意可得：
，
，
因为 是奇函数，所以 ， 即
，
所以 ，即 ， 即 ． （2）
， ，所以
，所以 ．
（3） 函数 在 上是增函数，
设 ， 为区间 内的任意两个值，且 ， 则 ， ， 因为 即 ，
所以 是 上的增函数． 84. （1） 设 ，则 ．
又由 的增减性得 ，即 ， 所以 为 上的增函数．
（2） 令 ，则 在区间 上为增函数． 根据（1）可知
，
在 上为增函数．
同理可得函数 在 上为单调减函数． 即函数 的增区间为 ，减区间为 ． 85. （1） 因为 是偶函数，所以 ， 则 ，
所以 ，所以 ．
（2） 令 ，则 ，即 令 ，则 ，解得 即
．
，所以
．
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所以 86. （1） 因为 ，解得 故 的值分别为 ．
（2） 由（1）知 ， ， 所以 为偶函数．
（3） 对任意 ，不妨设 ，则
因为 ，且 ，所以 ， ，即 ，则 ，即 ． 所以 在 上为增函数．
又 为 上的偶函数，故 在 上单调递减，则当 时， 取得最小值，为 ，又指数函数的值域为 ，所以 的值域为 ． 87. ． 88. ． 89. ． 90. （1） 略． （2） ．
91. ． 92. ． 93. （1） 略．
（2） 按以下顺序作图： ． 因为 与 的图象（如图）在 时有公共解，
所以 ．
94. （1） 将 和点 代入 得
解得
故 ．
（2） 由（ ）得 ， 若 是奇函数，
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则 ， 解得 ．
（3） 因为 的图象是凹函数， 所以
，
证明如下：
，
故
，
．
95. （1） 把 代入 ，
得 ．
（2） 由（ ）得 因为 ， 所以 ，
当 时， ， 当 时， ，
所以函数 的值域为 ．
96. （1） ，则函数 是奇函数，则 ， 当 时， ，则 所以
，
，
所以
（2） 令 ，则 ， ，对称轴为 ， 当 ，即 ， ； 当 ，即 ， ， 所以当 时， 的最大值为 最小值为 . 97. （1） 由 ，得 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 的通项公式为 ， ． （2） 由 ，得 ． 所以 为常数列， ，即 ． 因为 ， ，
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所以 ，即 ． 故 的第 项是最大项． （3） 因为 ， 所以 ， 当 时，
当 时， ，符合上式．
所以 ． 因为 ，
所以 ， ．
①当 时，由指数函数的单调性知， 不存在最大、最小值； ②当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，而
；
③当 时，由指数函数的单调性知， 的最大值 ，最小值 ， 由
及 ，得 ．
综上， 的取值范围是 ．
98. （1） 由 ，得 或 ； （2）
， ，
由 得 ，或 （其中 ）， 则 在 上恒成立，
令 ， ， ， 所以 时成立．
对于 （其中 ） 以下只讨论 的情况． 对于 ，
， ，解得 又 ，所以 所以
或
（ ） ，
即
．
综上所述， ．
99. （1） 函数的定义域为 ，因为
所以 是奇函数． （2） 函数解析式可以化为
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由 ，得 ，即
亦即
故 的值域为 ． （3） 设 ，则
因为 ， ，所以 ， 又因为 ，
所以 ，即 ， 故函数 在 上是增函数． 100. （1） 当 时， 所以 ， ， 因为 ， 所以函数 不是奇函数． （2） 由函数 是奇函数， 得 ，
即 对定义域内任意实数 都成立，
即 对定义域内任意实数 都成立，
所以 所以 （舍去）或
经检验 符合题意．
（3） 由（2）可知
，
，
易判断 为 上的减函数，证明略．
由 ，知不等式 ，即为 ， 由 为 上的减函数可得 ．
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