电磁场习题解6(西安交通大学)

第六章 平面电磁波

1.在ε

r=2, μr=1的理想介质中,频率为f=150MHz的均匀平面波沿y方向传

cˆ10V/m,求E, E(y,t), H,H(y,t) ,S播,y=0处, E=z,υ

p.

解： f=150MHz

1c3108(m/s)2

vprr

vpfcfrr2(m)

k22

j2yˆ10e E=z

Z=120π/2

ˆE/Zxˆ H=y2/12πej2y

ˆ102cos(2π*150*106t-2πy) E(y,t)= zˆ/6πcos(2π*150*106t-2πy) H(y,t)= x*ˆ52/6π =EH=y Sc

2.在真空中

ˆHx=xˆH0ej2z H=x求E,E(z,t), λ, f,Z, S2c.

解：由

k2得

λ=1m ，

fc3108m/s

真空中 Z=120π

j2zˆˆˆx(z)120HeH0ej2zˆy0ZHkE===120π

Scˆ120πH02 =-zˆ2120H0cos(23108t2z)E(z,t)x

3.在理想介质中

ˆ80π E(x,t)= y2cos(10*107πt+2πx)

ˆ2cos(10*107πt+2πx) H(x,t)= -z

求: f, ε

r, μ

r,λ.

解： 由

2f10107得 f=5107Hz 2λ=k=1m,c0f6m

0由:

0rrrr，从而

6

及 波阻抗

ZErH12080r 得：

ε

r=9 ,μ

r=4

4.均匀平面电磁波在真空中沿kˆ=1/2(yˆ+zˆ)方向传播, E,E(y,z,t),H,H(y,z,t), Sc .

解：设λ已知，则k=2π/λ,

E=E0ejk•r=xˆ10ej2/(yz)

H=1/Z*kˆE

=2/(24π)(yˆ-zˆ)ej2/(yz)

E(y,z,t)= xˆ102cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) E0=10xˆ,求

ˆ-zˆ)cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) H(y,z,t)= 1/(12π)(y*ˆ+zˆ) =EH=5/(62π)(ySc注意:

5.证明电磁波

ˆ)eˆ+3y E=5(xj(x3y)

j(xˆ e H=5/120πz3y)

为均匀平面波.

ˆ)eˆ+3y证明：由E=5(xj(x3y)

krk(xcosycoszcos)(x3y)

22222kkkk(3)()2xkk3yz即 x，y，

coskx3/2,cos1/2k

ˆˆ ˆ-1/2y k=3/2xˆˆ E•k=0 ，H•k=0

ˆˆ 又k的方向不变，等相面为k与垂直的面，显然为平面。且E，H的大小也不变，故

为均匀平面波。

76.求f=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz时电磁波在铝(σ=3.6*10/欧米, ε

r=1,

μ

r=1)中的集肤深度.

177ff4103.610解：δ=1/=

f=100kHz, δ=2.6526*104 m

f=1MHz, δ= 8.3882*105m

f=100MHz, δ= 8.3882*106m

f=10GHz, δ= 8.3882*107m

7.银的σ=6.1*10(1/欧米),在什么频率上, δ=1mm?

7解：

由δ=1/f得：

1f=2= 4.2KHz

'p8.电磁波的频率为100MHz,媒质参数为ε

r=8, μ

r=1, σ=0.5*10(1/欧米),求υ

3,

λ,kc.

'0.51030.071128解：88.8641010

υ

'p8=1/= 1.0607*10m/s

λ0=3m

'λ=3/8=1.0607m

k'=2π/λ= 5.92

'k\"1.06081022

9.设地球的ε

r=8, μ

r=1, σ=5*10(1/欧米),在什么频率范围可将地球近似看作

3\"k介质?求该频率上的.

解：当 σ<<ωε 时，可看作介质，工程中大于10倍即可，故：

10*σ<2πf*ε

108 即 f>2= 8.988*10Hz

\" k=2=0.3332

10.在真空中,均匀平面波

ˆ(-2-j)]ejz ˆ(-1+j2)+y E=[x求H,λ及极化状态.

ˆˆ，k=1, λ=2π 解：k=-z11ˆE120yˆ(-2-j)] ejz H=Zk=[-ˆ(-1+j2)+ xˆ)ejz ˆ+jy又 E=(-1+2j)( x 故为右旋圆极化波

11.均匀平面波

ˆ2E0sin(ωt+4πy)+ zˆ2E0sin(ωt+4πy-π/3) E(y,t)= x是什么极化状态?求H.

解：

ˆ-jzˆeE=E0（-jxj3）ej4y

ˆˆ 为椭圆极化波。kyE01ˆjkEˆe3）ej4y ˆ+jx H=Z=Z（-jz问题：

12.均匀平面波

j(2xy)ˆ+5zˆ+j2yˆ)e E=(jx

是什么极化状态?当f=50MHz时,求ε

r.

ˆ)+5zˆ+2yˆ]e解：E=[j(xj5(25ˆx15ˆ)•ry1ˆ2xˆˆkyˆˆˆrxxyyzz55 ,,

ˆ(xˆzˆ2yˆ)0 , kkˆ0

为右旋圆极化波（x,y 与z相角相差90度）

f由 k=5=2πc(ε

rμr)

1/2，如果取μr=1,

得：ε

r=

5(c2f)2= 4.56

13.均匀平面波从空气中垂直投射到理想导体板上后,在距导体板

1=20mm,2=25mm处相继出现电场波节点及波腹点,在电场波腹点上E0'=2V/m.求f及Js.

解：由题意，电场波节点及波腹点之间的距离为4=2-1=5 mm,

因此=0.02m,f= c/=15GHz

由式(6.5-7a) 入射波电场值与波腹点电场值的关系可得入射波电场值为

E0=0.5*E0=1V/m

'2E0由式(6.5-14) ，理想导体板上的面电流密度为 Js=Z=0.0053A/m

14.均匀平面波从空气中沿y方向正投射到理想导电板上后在理想导电板上,

Js(t)=xˆ2cos(300*106πt),求入射波Ei ,Hi.

解：设入射电场为

iEiˆ0ejkyHzjkyˆE0eZ Ex

合成磁场为

Hz2E0cos(ky)Z

2EˆHxˆ0JsnZ 理想导电板上的电流密度为

2Eˆ20cos(t)Js(t)xZ

与已知的理想导电板上电流密度比较得：E0=60π

f150106Hz, 2m,k

ˆ60πejy Ei=x1jyˆ2e Hi=-zˆ10e15.均匀平面波E=xj2z从z<0的空气中垂直投射到z>0的介质(ε

r=4, μ

r=1)

中,求反射系数,透射系数,两区域中的电磁波以及电场波节点,波腹点的位置.

1Z2

解：

Z1Z0120,Z2RZ2Z1122Z212,TZ2Z1123Z2Z13 k12,k2k1r4

1j2zjk1zjk1zj2zˆˆxE(eRe)x10(ee),z00320ˆTE0ejk2zxˆej4z,z0x3 E=

1j2z1j2zˆy(ee),z0123H1j4zˆye,z09

=1m,

n(2nR)42 ,

R，

zminn1zmax()24

16.如果上题中电磁波方向相反,即从介质垂直投射到空气中,重新计算各值.

14R,T33 解：

k12,k2

1j2zj2ˆx10(ee),z0340ˆejz,z0x3E=

11j2zj2ˆy(ee),z02431jzˆye,z09H=

=1m,

zmin2n1nzmax42 ,

17.均匀平面波从空气中垂直投射到理想的非磁性介质中.由测量知,距离界面最近的电场波节点上电场的有效值为1V/m,距界面L=1m;电场波腹点上电场强度的有效值为2V/m.求电磁波的频率,以及介质的介电常数.

解：

Z1Z2,R0

由：

1REmax2Emin1R 得：

R11R3，3

又：

RZ2Z1Z2Z1 得：Z12Z2；r22r12

故：ε

2r=4

cL1m，=2m,

f150MHz

18.均匀平面波

Exjze=5,从空气中垂直投射到厚度为d=0.5m, ε

r=4, μ

r=1的介

质板上.求空气中及介质板中的电磁场以及空气介质界面上的反射系数,和空气的驻波比.如

果d=0.25m,重新计算以上各值.

1Z;k1k3,k222

解：

Z3Z1Z,Z21222m,21mk1k2

jzEx1E0e设

jzEx1R1E0e

jk2(zd)Ex2E20e

jk2(zd)Ex2R23E20e

j(zd)Ex3E30e

22

d=0.5m 时：

d1RZinZ,R10233E0 ,,=5

由z=0边界条件得

E0R1E0E20ej2dR23E20ej2dE0E20(ejR23ej)

E201R1315E0E01R2344

由z=d边界条件得

E20R23E20E30

415()534

E30(1R23)E20jk1zjzˆˆExEex5e10第一层：1

E1jzˆ10ejk1zyˆH1yeZ24 ，1



第二层：

15j2(zd)1j2(zd)(ee)43

1j2(zd)1j2(zd)(ee)163

ˆE2x

ˆH2y第三层：

ˆ(5)ej(zd) Ex

ˆ(Hy1)ej(zd)24

d=0.25m时：

d24

2Z2131ZinZ,R1,R23Z3453

由z=0边界条件得

E0R1E0E20ej2dR23E20ej2d

2jE0E20(j)53

3jE103j5,

E20由z=d边界条件得

E20R23E20E30

E304E204j3

第一层：

3ˆ5(ejzejz)E1x5

ˆH1y13(ejzejz)245 4

第二层：

1ˆ(3j)(ej2(zd)ej2(zd))E2x3

ˆ(H2yj1)(ej2(zd)ej2(zd)203

第三层：

ˆ(4j)ej(zd)E3x

ˆ(H3yjj(zd))e30

19.频率为f=30GHz的均匀平面波垂直从z<0的空气中垂直投射到z>=0的介质(ε

r=2,

μ

r=1)中.求空气中的驻波比.如果要使空气中无反射波,可在介质上覆盖另一种非磁

r性介质材料,求该介质材料的节电常数ε

12及厚度.

解：

Z3Z,Z1Z

RZ3Z10.1716Z3Z1

1R1R=1.4143

由： Z2Z1Z3 得 r2r1r3，ε

c0.010.01m,2f2= 0.0071m

r=2

024d= 0.0018m

20.上题中如果频率增加了10%,其他参数不便,覆盖的介质材料还能否消除空气中的反射波?为什么?如果有反射波,驻波比有多大?

解：

不能，因为Zin与频率有关, 如果频率增加了10%,介质材料厚度不等于四分之一波长，这时，输入阻抗为

Zin=

Z3jZ2tan(k2d)Z2Z2jZ3tan(k2d)=(0.99 - j0.0533)Z

RZinZZinZ-0.0043 - 0.0269j

|R|=0.027

1R1R=1.056

下 图分别是介质板的厚度从0变化到半个波长（:0）时，反射系数（左图）和驻波比（右图）的值。

0.180.160.140.120.10.080.060.040.0201.451.41.351.31.251.21.151.11.051020406080100120140160180020406080100120140160180 21.有效值为1V/m的圆极化均匀平面波,从空气中以θi=π/6的入射角度投射到ε

r=4,

μ

r=1的理想介质中.求反射波及折射波.

解：设为z<0空气，波数为k1,则：k22k1

ri/6,sini0.5, cosi0.866

sin

t12sini0.25,t0.2527，cost=0.9682

EE//E

iijk1(xsinizcosi)ˆcosizˆjE0ejk1(xsinizcosi)ˆsini)eE//E0(xEy rrjk1(xsinizcosi)ˆcosizˆjRE0ejk1(xsinizcosi)ˆsini)eE//R//E0(xEy

ttjkt(xsintzcost)ˆcostzˆjTE0ejk2(xsintzcost)ˆsint)eE//T//E0(xEy

对平行极化：

tg(it)R\"tg(it)= 0.2828

T\"cosi(1R//)cost=0.6415

ˆ0.5zˆ)ejk1(0.5x0.866z)E//i(0.866x

ˆ0.5zˆ)ejk1(0.5x0.866z)E//r0.2828(0.866x

注意方向

ˆ0.9682zˆ0.25)ej2k1(x0.25z0.9682)E//t0.6415(x对于垂直极化：

sin(it)sin(it)R=-0.3819

T1R 0.6181

iˆjejk1(x0.50.866z)) Eyrˆ(0.3819j)ejk1(x0.5z0.866) Ey

tˆej2k1(x0.250.9682y) Ej0.6181y22.圆极化波从空气中斜投射到ε

r=4, μ

r=1的介质中,为了使反射波为线极化波,入

射角度应为多少?是哪种极化方向的线极化波?

解：只有平行极化波才会出现无反射或全折射现象，所以反射波为垂直极化的波。

bsin1212=63.43

023.电场有效值为1V/m的垂直极化波从介质(ε

r=1.5, μ

r=1)中斜投射到空气中,求

临界角θc,并分别求入射角为θc,θcπ/12时的反射波及折射波.

解：设空气中波数为k2，则k11.5k2，按书中的坐标：

iˆE0ejk(xsinizcosi)Ey

θc=

arcsin21arcsin54.7011.5

sinθc=0.8165,cosθc=0.5774 当i=θc时:

 R=1

T=2

jˆEyer

1.5k2(x0.8165z0.5774)

1.5k2(x0.8165z0.5774)jˆˆH0.0032(x0.5774z0.8165)er

ˆ2ejk2xEty

ˆ0.0053ejk2xHtz

当i=θc-12=39.7时: sini= 0.6388 , cosi=0.7694

1sint=2sini0.7824 ,t=51.48 , cost=0.6228 ,

 R=

sin(it)sin(it)=0.2044

T=1R=1.2044

jˆEy0.2044er

1.5k2(x0.8165z0.5774)

1.5k2(x0.8165z0.5774)jˆˆH0.00065(x0.5774z0.8165)er

ˆ1.2044ejk2(x0.7829z0.6221)Ety

ˆ0.0053ejk2xHtz

当i=θc+12=69.7时: sini= 0.9379 , cosi=0.3469

1sint=2sini1.1487, cost=-j0.5652

由式(6.8-24)

Z2cosi(ja)Z10.3469Z2j0.5652Z1Z2cosi(ja)Z10.3469Z2j0.5652Z1 -0.5985 + 0.8011j=ej126.830

RT2Z2cosi0.6938Z2Z2cosi(ja)Z10.3469Z10.5652Z10.8961ej63.380

ˆej126.83ejEry01.5k2(x0.9379z0.3469)

ˆ0.8961ej63.38ejk2x0.9379e0.5652k2zEyt

024.推导垂直极化波斜投射到理想导体界面上后的合成电磁场(7-7-9)式.

略

25.频率为f=300MHz的线极化均匀平面电磁波从空气中垂直投射到的有耗媒质中.求界面上的反射系数,驻波比,反射系数及透射波.

Zc(1j)，入射波为

解：设空气的特性阻抗为Z0，有耗媒质的特性阻抗为

iExE0ejkz

则界面上的反射系数,驻波比为,

R1RZcZ01RZcZ0，

反射波及透射波为

rExRE0ejkz

tExTE0ejkcz

2Zcjkc(1)ZcZ0 ，

其中

T