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 „„„„„„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ 线 „ „ „号„学„ „ „ „ „ „ „ 订 „ „ „名„姓„ „ „ „ „ „ „ 装 „ „ „级„班„„„„„„„„„„„中 原 工 学 院 2．设向量组1,2,3线性无关，则与1,2,3等价的向量组为 2003～2004 学年 第 二 学期 (A) 12,23； (B) 12,12,31,42； 工科 专业 线性代数 课程期末试卷 B卷 (C) 12,12,13,13； (D) 12,23。 3．设A为mn矩阵，齐次线性方程组Axo仅有零解的充分条件是 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 (A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关； (C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。 n一、填空题 4．设矩阵Aaijnn，则二次型fai1x1ai2x2ainx2n的矩阵为 i112(A) A；(B) A2；(C) A'A； (D) AA'。 1．设Dn，则Dn_______。 5．下列结论中不正确的是 n1n(A) A为正定矩阵，则A1也为正定矩阵； (B) 若A，B都是正定矩阵，则AB也是正定矩阵； 5200AC2．设A2100(C) 若A,B,C,D都是正定矩阵，则DB也是正定矩阵； 0012，则A1_______。 0011D) 若A，B都是正定矩阵，则AB也是正定矩阵。 3．已知向量组11,2,3,4，22,3,4,5，33,4,5,6，44,5,6,7，则向100量组的秩为_______。 三、已知A120，计算4EA'4EA116EA2 302x1x2a14．若线性方程组x2x3a2xx有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件__________。 34a3x4x1a45．已知二次型fxx2221,x2,32x13x23x32ax2x3a0通过正交变换化为标准型fyy2221,y2,y312y25y3，则a_______。 二、选择题 1．设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，下列说法不正确的是 (A) 若A0，则A*0； (B) 若A的秩小于n1，则A*O； (C) 若A5，则A*5n1； (D)AA*A。 本试卷共 2 页，此页为 B 卷第 1 页

„„„„„„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ 线 „ „ „号„学„ „ „ „ „ „ „ 订 „ „ „名„姓„ „ „ „ „ „ „ 装 „ „ „级„班„„„„„„„„„„„2100 四、求矩阵M1100 1225的逆矩阵 1113  001 七、设Ax1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。  100 五、已知向量组c为何值时， 11,2,3，23,1,2，32,3,c，试求：（1） 1,2,3线性无关。（2）c为何值时，, 1,23线性相关，并把3表示为1,2的线 性组合。 八、设U为可逆矩阵,AU'U，证明fx'Ax为正定二次型． 六、当k为何值时，下面的方程组有解？无解？并求之。 x12x2kx312x 1kx28x33 本试卷共 2 页，此页为 B 卷第 2 页 中 原 工 学 院 2003～2004 学年 第 二 学期 B卷 六、解：对方程组的增广矩阵作行初等变换：k112k112 A2k830k482k1当k482k0时，即k4时方程组无解。 当k4时方程组有解，继续进行行处等变换，得1110k4112kk4， 11012k4012k4 工科 专业 线性代数 课程期末试卷标准答案 一、填空题 120250n(n1)11．Dn12n!； 2．A10030013002； 313解得x1k61Ck4,x22C，C为任意常数。 k4k42七、解：解特征方程EA110，得特征值121，31。 要使121有两个线性无关的特征向量，则必有REA1，可得xy0 由于不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以矩阵A有三个线性无关的特征向量，必须且只需满足条件xy0。 3．r2； 4．a1a2a3a40； 5．a2 二、选择题 1．[ D ]；2．[ C ]；3．[ A ]；4．[ C ]；5．[ D ] 三、解： 4EA'4EA116EA250124EA1203600 30621100001*121 M四、解：法1 M193035M71112A1OAO法2 利用 111CDDCAD1x1a11a12a1nx八、证明 设U(a1,a2,,an)，x1， aaannn1n2xnfx'Axx'U'Ux=Ux'Uxy'y0，其中Uxy x1x若“f0”成立，则Uxo成立．即对任意x1使a1x1a2x2anxnoxn成立．则a1,a2,,an线性相关, U的秩小于n，则U不可逆，与题意产生矛盾．于是f0成立．故fx'Ax为正定二次型． 11231231五、解：（1）由于A231201 23c00c531,2,3线性无关RA3c5 （2）当c5时，1,2,3线性相关。显然，1,2线性无关，设3k11k22 解得k1 111111,k2，于是，312。 7777本试卷答案共 1 页，此页为第 1 页