专题14_规律性问题

一、选择题

1. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3„．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4„„均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

o

A．6 B．12 C．32 D．64

2. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，„称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，„称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】

A．2010 B．2012 C．2014 D．2016

3. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；„；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】

535 A．12

2

36B． 95253637C．14 D． 11252用心 爱心 专心 1

4. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②， 可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3 ＝3＋3；„，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】

A．2011＋6713 B．2012＋6713 C．2013＋6713 D．2014＋6713

a10,a2|a11|,a3|a22|, 5. （2012江苏盐城3分）已知整数a1,a2,a3,a4,满足下列条件：a4|a33|,„,依次类推，则a2012的值为【 】

A．1005 B．1006 C．1007 D．2012

3

6. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2＝3＋5，3＝7＋9＋11，4＝13＋15＋17＋19，„若m分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】

A．43 B．44 C．45 D．46

7. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）„，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】

3

3

3

11111111A.a B. a C. a D. a 32233223

用心 爱心 专心

2

55668. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)． 把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C －D—A一„的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】

A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－1，－2) D．(1，－2)

9. （2012湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】

A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个

10. （2012湖北荆州3分）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】

A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个

11. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,„„„

用心 爱心 专心 3

按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】

A.5()322010

B.5()942010 C.5()942012

D.5()324022

12. （2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【 】

A. 2 B.

161664 C. D.

9272713. （2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，„，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，„．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】

A．0 B．1 C．2 D．3

用心 爱心 专心 4

14. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，„则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】

A．54 B．110 C．19 D．109 15. （2012山东滨州3分）求1+2+2+2+„+2因此2S﹣S=2

2012

2013

2

3

2012

的值，可令S=1+2+2+2+„+2

2

3

2012

232012

，则2S=2+2+2+2+„+2

2342013

，

﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5+5+„+5

2013

的值为【 】

520131520121 A．5﹣1 B．5﹣1 C． D．

4416. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，„，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4„，则点A30的坐标是【 】

A．（30，30） B．（﹣82，82） C．（﹣42，42） D．（42，﹣42） 17. （2012山东日照4分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；„„；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】

（A）

用心 爱心 专心

5

3 （B）n1113n （C）

13n1 （D）

13n2

18. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．

A．32 B．126 C．135 D．144

19. （2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】

(A)2

二、填空题

1. （2012北京市4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点 B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n 的代数式表示．）

(B)4 (C)5

(D)6

用心 爱心 专心 6

2. （2012重庆市4分）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 张．

3. （2012广东广州3分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始， 以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

„按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 （结果保留π）

4. （2012广东梅州3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA„的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 点．

5. （2012广东湛江4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去„．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，„，an，则an= ．

用心 爱心 专心

7

6. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：那么这一组数的第k个数是 ．

246810，，，，，„„ ，它们是按一定规律排列的，3579117. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．

8. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是

，„

9. （2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .

10. （2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点 ．

用心 爱心 专心

8

11. （2012广东河源4分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开 始按ABCDEFCGA„的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了 cm； ②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 点．

12. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 ▲ ．

13. （2012湖北恩施4分）观察数表

根据表中数的排列规律，则B+D= ．

用心 爱心 专心

9

14. （2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，„„，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= 。点C2012的坐标是 。

15. （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，„就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，„，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，„，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，„是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，„的第五个数应是 ．

16. （2012湖南娄底4分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“”，共 个．

17. （2012湖南衡阳3分）观察下列等式

11 cos60°= 2222②sin45°= cos=45°=

2233③sin60°= cos30°=

22①sin30°=„

根据上述规律，计算sina+sin（90°﹣a）= ．

18. （2012湖南株洲3分）一组数据为：x，﹣2x，4x，﹣8x，„观察其规律，推断第n个数据应为 ．

用心 爱心 专心

10

2

3

4

2

2

19. （2012四川乐山3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，„，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则： （1）∠A1= ；（2）∠An= ．

【答案】

；n。 22【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，分类归纳（图形的变化类）。 【分析】（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，

∴∠A1BC=

11∠ABC，∠A1CD=∠ACD。 22又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

111（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1。∴∠A1=∠A。 222∵∠A=，∴∠A1=。

21111（2）同理可得∠A2=∠A1==2，∠A3=∠A2==3，···，∴∠An=n。

222222222∴

20. （2012四川达州3分）将边长分别为1、2、3、4„„19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如 图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .

【答案】210。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】由图可知：第一个阴影部分的面积=2－1，第二个阴影部分的面积=4－3，第三个图形的面积=6－5由此类推，第十个阴影部分的面积=20—19，因此，图中阴影部分的面积为：

（2－1）＋（4－3）＋„＋（20－19）

=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+„+（20＋19）（20－19） =1＋2＋3＋4＋„＋19＋20=210。

用心 爱心 专心

11

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

21. （2012四川资阳3分）观察分析下列方程：①

x2x6x123，②5，③7；请利用它们所xxxxn2+n蕴含的规律，求关于x的方程2n+4（n为正整数）的根，你的答案是： ▲ ．

x3【答案】x=n+3或x=n+4。

【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。 【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律：

∵由①得，方程的根为：x=1或x=2， 由②得，方程的根为：x=2或x=3， 由②得，方程的根为：x=3或x=4，

xabab的根为：x=a或x=b， xx3nn+1xn2+n∴2n+4可化为n+n+1。

x3x3∴方程

∴此方程的根为：x－3=n或x－3=n+1，即x=n+3或x=n+4。

22. （2012四川自贡4分）若x是不等于1的实数，我们把

11称为x的差倒数，如2的差倒数是1，1x121的差倒数为

111x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，现已知x1，„„，，x4是x3的差倒数，

1(1)23依次类推，则x2012= ▲ ． 【答案】

3。 4【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。 1【分析】∵x1，

3 ∴x2=

13111=，x3==4，x4==。∴差倒数为3个循环的数。

31431411433。 4∵2012=670×3+2，∴x2012=x2=

23. （2012四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,„„Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,„„，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，„ △BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)

用心 爱心 专心 12

【答案】

1。

42n1【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,„„Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,„„，BnBn+1的中点，

∴S1＝

11111133×B1C1×B1M1＝×1×＝，SBCMB1C1B1M21，

2224222411211551177SB1C1M3B1C1B1M31，SB1C1M4B1C1B1M41，

22242224112n12n1„„，SB1C1MnB1C1B1Mn1。 2224∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴

SBnCnMnSB1C1Mn12BMS=nn，即n=2。

2n12n1B1Mn422∴Sn=1。

42n124. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去„则第n个三角形的面积等于 ▲ ．

【答案】322na2。

【考点】分类归纳（图形的变化类），直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

用心 爱心 专心

13

【分析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD。

∵∠A=60°，∴△ACD是等边三角形。

同理可得，被分成的第二个、第三个„第n个三角形都是等边三角形。 ∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，„，

1AB=AC=a， 211第二个等边三角形的边长EF=DB=a，

22∴第一个等边三角形的边长CD=DB=„

第n个等边三角形的边长为

12n1a。

311132a=∴第n个三角形的面积=n1a22n122na。 2225. （2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面 积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到 的菱形产生的，依此类推„„，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。 （n≥2，且n是正整数）

【答案】

14n1S。

【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形和矩形的性质，三角形中位线定理。

1【分析】观察图形发现，第2个图形中的阴影部分的面积为S，

411第3个阴影部分的面积为S=2S ，

164„

第n个图形中的阴影部分的面积为

14n1S。

26. （2012辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,„,AnBnBn+1Cn，按如图 所示放置，使点A1、A2、A3、A4、„、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、„、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°， OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，„，Sn,则Sn= ▲ .

用心 爱心 专心

14

【答案】22n3。

【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形和等腰直角三角形的性质，幂的运算。 【分析】根据正方形的性质，知

正方形A1B1B2C1的边长为1；正方形A2B2B3C2的边长为2；正方形A3B3B4C3的边长为4；正方形A4B4B5C4的边长为8；„„正方形AnBnBn+1Cn的边长为2n1。 根据等腰直角三角形的性质，得Sn=

1n1n12n3。 22=2227. （2012辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、 C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3„，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形 AnBnCnDn的面积为 ▲ .

1【答案】5n1S。

【考点】分类归纳（图形的变化），菱形的性质，平行四边形、梯形的判定和性质，三角形中位线定理。 【分析】∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，∴A1H=B1H，C1F=D1F。

又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1。∴A1H=C1F。

又A1H∥C1F，∴四边形A1HC1F为平行四边形。∴S四边形A1HC1F2SHB1C12SA1D1F。

1又S四边形A1HC1FSHB1C1SA1D1FS菱形A1B1C1D1S，∴S四边形AHCFS。

112又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1为平行四边形。∴GB1∥ED1。 又G为A1D1的中点，∴A2为A1D2的中点。

用心 爱心 专心

15

同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点。 ∴HB2=

11A1A2，D2F=C1C2。 22又∵A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行

四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），

113∴S梯形A1A2B2HS梯形C1C2D2F（xx）hxh，S平行四边形ABCDxh。

2222224∴S梯形A1A2B2H：S梯形C1C2D2F：S平行四边形A2B2C2D23：3：4。

又∵S梯形A1A2B2HS梯形C1C2D2FS平行四边形A2B2C2D2S四边形A1HC1F， ∴S平行四边形ABCD2222421S四边形A1HC1FS四边形A1HC1F=S。 105521同理S平行四边形A3B3C3D3=S。

51以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为5n1S。

28. （2012贵州贵阳4分）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；„，按此做法进行下去，∠An的度数为 ▲ ．

【答案】

8002n1。

【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰三角形的性质，三角形的外角性质。

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠ CA2A1，∠ DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠ An的度数：

1800B1800200∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A=800。

22BA1A800∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1==400。

22同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，······ ∴∠An=

8002n1。

用心 爱心 专心 16

29.. （2012贵州安顺4分）已知2+为正整数），则a+b= ▲ ． 【答案】71。

222424a2a323=2×，3+=3×，4+=4ׄ，若8+=8×（a，b33bb151588【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据规律：可知a=8，b=8﹣1=63，∴a+b=71。

30.. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 ▲ 个小正方形。

2

【答案】100。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：

第1个图案中共有1=1个小正方形；第2个图案中共有4=2个小正方形；

第3个图案中共有9=3个小正方形；第4个图案中共有16=4个小正方形； „„

∴第10个图案中共有10=100个小正方形。

31. （2012贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。

2（ab）a22abb2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字； 例如，

3（ab）a33a2b3ab2b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。 再如，

n

22

2

2

2

请认真观察此图，写出（a+b）的展开式，（a+b）= ▲ ．

44

用心 爱心 专心 17

【答案】a+4ab+6ab+4ab+b。

【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。

【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）=a+2ab+b，（a+b）=a+3ab+3ab+b可得（a+b）的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）数依次为1、4、6、4、1。如图：

n﹣1

2

2

2

3

3

2

2

3

n

4

3

22

3

4

的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）的各项系

4

∴（a+b）=a+4ab+6ab+4ab+b。

32. （2012贵州黔东南4分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，„，按此规律，那么第（n）个图有 ▲ 个相同的小正方形．

4

4

3

22

3

4

【答案】n（n+1）。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：

第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2， 第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，

用心 爱心 专心 18

第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4， 第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5， „，

按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形。

33. （2012山东德州4分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，„，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，„的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ▲ ．

【答案】（2，1006）。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，等腰直角三角形的性质。 【分析】∵2012是4的倍数，∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；„每4个为一组，

∴A2012在x轴上方，横坐标为2。 ∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6， ∴A2012的纵坐标为2012×

1=1006。∴A2012的坐标为为（2，1006）。 234 （2012山东东营4分） 在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，···和B1，B2，B3，···分别在

73直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，„都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2， ，

22那么点An的纵坐标是 ▲ ．

用心 爱心 专心 19

3n1【答案】。 （）2【考点】一次函数综合题，分类归纳（图形的变化类），直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的性质。

【分析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：

73∵A1（1，1），A2， 在直线y=kx+b上，

221kb1 k  5∴7。 3 ，解得4 kbb225∴直线解析式为y14x。 55如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A、D。 当x=0时，y=

414，当y=0时，x0，解得x=－4。 55544DO51∴点A、D的坐标分别为A（－4，0 ），D（0，）。∴tanDAO。

5AO45作A1C1⊥x轴与点C1，A2C2⊥x轴与点C2，A3C3⊥x轴与点C3，

73∵A1（1，1），A2， ，

22∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×

AC A3C331=2+3=5，tanDAO33。

AC345B2C352∵△B2A3B3是等腰直角三角形，∴A3C3=B2C3。∴A3C3同理可求，第四个等腰直角三角形A4C4932。 （）422733。 （）823n1依次类推，点An的纵坐标是。 （）235. （2012山东菏泽4分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：2，3和4分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即2333335；337911；

20

用心 爱心 专心

4313151719；„„；

若6也按照此规律来进行“分裂”，则6“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ▲ ．

33

【答案】41。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】由2=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，

由3=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1， 由4=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1， 由5=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1， 由6=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1， ∴6“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）=41。

36. （2012山东莱芜4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上 标记点A1、A2、A3、„，按此规律，点A2012在射线 ▲ 上．

333333

【答案】AB。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】寻找规律，从图示知，各点按16次一循环：

A1、A3、A10、A12、„在射线AB上；A2、A4、A9、A11、„在射线DC上； A5、A7、A14、A16、„在射线BD上；A6、A8、A13、A15、„在射线CA上。 ∵2012÷16=125„„12，∴点A2012与A12位置相同，即在射线AB上。

用心 爱心 专心 21

37. （2012山东临沂3分）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为

2012n，这里“∑”是求和符号通过对以上

n1100材料的阅读，计算

nn1= ▲ ．

n11【答案】

2012。 2013【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。 【分析】∵

111=，

nn1nn+12012 ∴

1112012111111=1++++=1=。 nn1223342012201320132013n138. （2012山东泰安3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）„根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ▲ ．

【答案】45。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。

【分析】观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可：

横坐标为1的点结束，共有1个，1=1， 横坐标为2的点结束，共有2个，4=2， 横坐标为3的点结束，共有9个，9=3， 横坐标为4的点结束，共有16个，16=4，

用心 爱心 专心

22

2222

„

横坐标为n的点结束，共有n个。 ∵45=2025，∴第2025个点是（45，0）。

∴第2012个点是（45，13），即第2012个点的横坐标为45。

39. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30。线段A1A2=1，A1A2⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A3A4⊥A2A3，垂足为A3；···按此规律，点A2012的坐标为 ▲ .

0

2

2

5033503。 【答案】5033503，【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标和图形。含30度角直角三角形的性质。 【分析】寻找规律：如图，过点A1，A2作x轴的垂线于点B，D，过点A1作y轴的垂线于点C，A1C和A2D相交于点E。

由已知可知，△OA1B和△A2EA1都是含30角的直角三角形。

0

31，EA1= BA1=DE=。 223131 ∴A2的横坐标为，纵坐标为。

2222 ∴OB=EA2= 由已知可知，点A4的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的2倍；点A6的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的3倍；点A8的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的4倍；„

∴点A2012的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的1006倍，

3131=50335031006 即横坐标为1006，纵坐标为2222=5033503。  5033503。 ∴点A2012的坐标为5033503，40. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+„+(2n－1)= ▲ .(用n表示，n是正整数)

用心 爱心 专心 23

【答案】n。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】由图可知：

当k=1时，面积为1=1；当k=2时，面积为1＋3=2=4；当k=3时，面积为1＋3＋5=3=9；

当k=4时，面积为1＋3＋5＋7=4=16；······ 当k=n时，面积为1＋3＋5＋···＋（2n－1）=n。

41. （2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影 部分小正方形的个数是 ▲ ．

2

2

2

2

2

2

【答案】n＋n＋2。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分：

第1个图 第2个图 第3个图 ··· 第n个图

除最右一排的小正方形个数

1=1 4=2 9=3 ··· n

2222

2

最右一排的小正方形个数

3 4=3＋1 5=3＋2 ··· 3＋n－1= n＋2

合计小正方形个数

4=1＋3 8=2＋3＋1 14=3＋3＋2 ··· n＋n＋2

2222

42. （2012广西南宁3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ；如果所取的四

用心 爱心 专心 24

边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ．

【答案】20；3n+5或3n+4。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】第1张纸片的周长为8，

第2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．

第3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知： ①纸张张数为1，图片周长为8=3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=3×3+5；纸张张数为5，

图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5；„；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；

②纸张张数为1，图片周长为8+2=3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=3×4+4；纸张张

数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=3×6+4；„；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4。 当n=5时，3n+5=20，∴如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是20。

如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是3n+5或3n+4。

■、★分别表示三角形、43. （2012云南省3分）观察下列图形的排列规律（其中▲、正方形、五角星），

若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ▲ .（填图形名称）

▲■★■▲★▲■★■▲★▲■★■▲★▲■★ 【答案】五角星。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】图形的排列规律是6的循环，而1863余数为0，所以第18个图形也就是第六个图形，即五 角星。

44. （2012内蒙古赤峰3分）将分数【答案】5。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

6，则小数点后第2012位上的数是 ▲ ． 化为小数是0.8571427，得出规律：6个数为一循环，若余数为1，则末位数字为8；若余数为2，则末【分析】观察0.857142位数字为5；若余数为3，则末位数安为7；若余数为4，则末位数字为1；若余数为5，则末位数字为4；

用心 爱心 专心 25

若余数为0，则末位数字为2。

∵

6，∴2012÷6=335„2。 化为小数是0.8571427∴小数点后面第2012位上的数字是：5。

45. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ▲

【答案】（－2

1006

，－2

1006

）。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，幂的乘方运算法则和二次根式的化简。 【分析】分OBi的长度和点Bi的位置分别寻找规律： 由正方形边长为1，根据勾股定理可得

OB=2，OB1=2=

OB3=

2，OB2=22=

22，

32·2=

32，„„OB2012=

422013。

如图，点Bi的位置为i=8一个周期。 ∵2012÷8=251„„4，

∴点B2012的坐标与点B4的坐标位置相同，都在第三象限。 由正方形的性质可知△OB2011B2012是等腰直角三角形。 ∴B2011B2012=O B2011=

2201221006

2100621006。

∴点B2012的坐标为（－2

1006

，－2）。

46. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，„„按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 ▲ (n为正整数)。

用心 爱心 专心 26

【答案】

2n1。

【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。 【分析】寻找规律： 由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，„，Bn是直线y=x上的点，

∴△OA1B1，△OA2B2，„△OAnBn都是等腰直角三角形，且 A2B2=OA2=OB1=2OA1； A3B3=OA3=OB2=2OA2=A4B4=OA4=OB3=2OA3=„„

2OA；

1

22OA1；

3AnBnOAnOBn12OAn12n1OA1。

又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1。∴AnBnOAn三、解答题

2n1，即点Bn的纵坐标为

2n1。

1. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子；

(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；

(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．

下面对函数y=x的某种数值变化规律进行初步研究：

xi yi 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 ... ... 2

用心 爱心 专心 27

yi+1－yi 1 3 5 7 9 11 ... 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：

1个单位时，y的值变化规律是什么？ 21当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？

n当x的取值从0开始每增加

【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。

（2）有理数b=

m。 （n≠0）

n1个单位时，列表如下： 2（3）①当x的取值从0开始每增加 xi yi yi+1－yi

0 0 1 41 21 43 41 1 5 43 29 47 42 4 9 45 225 411 4... ... ...

11352i1个单位时，y的值依次增加、 、 „。 244441②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：

n12345 xi 0 ... nnnnn1491625 yi 0 ... n2n2n2n2n21357911 yi+1－yi ... n2n2n2n2n2n2故当x的取值从0开始每增加故当x的取值从0开始每增加

2i11135个单位时，y的值依次增加2、2 、2 „2。 nnnnn【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。

用心 爱心 专心 28

【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。

（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。 （3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。

2. （2012江苏淮安12分） 阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；„；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角。

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况。情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合。 探究发现

（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”） （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系。

根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为 应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15，60，105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角， 请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角

【答案】解：（1）是。

（2）∠B=3∠C。

如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平

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分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角。

证明如下：

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C。 ∵根据四边形的外角定理知，

∠BAC+∠B+∠AA1B1－∠A1 B1C=∠BAC+2∠B－2C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C。

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关

系为∠B=n∠C。

（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角。 ∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是88°、88°。

【考点】分类归纳（图形的变化类），新定义，翻折变换（折叠问题），折叠的性质，三角形的内角和外角定理。

【分析】（1）理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1。

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C。∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C。故答案是。

（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定

理知∠BAC+2∠B－2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C。

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C。

（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，然后三角形内角和定理可求得另外两个角的度数可以是88°、88°。 3. （2012山东日照10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

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（Ⅰ)探究新知：

如图① ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.. （1）求证内切圆的半径r1=1; （2）求tan∠OAG的值； （Ⅱ）结论应用

（1）如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；

（2）如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、„、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、„、⊙On均与AB相切，求rn的值.

【答案】解：（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF。 ∵点E、F、G是⊙O的切点

∴四边形CEOF是正方形， CE=CF=r1。

又∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5。 ∴（3－r1）＋（4－r1）=5，解得r1=1。

（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r1=1， AG= 3－r1=2，

∴tan∠OAG=

OG1。 AG2（Ⅱ）（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。

则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

11，知tan∠O1AD=， 22OE1同理可得：tan∠O2BE=2。

BE3由（Ⅰ）tan∠OAG=

∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2。

∵AD＋DE＋BE=5，∴r25。 7（2）如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、„、

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OnF⊥AB交于点F。

则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

tan∠O1AD=

11，tan∠OnBF=, 23 ∴AD=2rn，DE=2rn，„,FB=3rn。

又∵AD+DE+„+FB=5，2rn+2rn+„+3rn=5，即(2n+3) rn=5， ∴rn5。 2n+3【考点】分类归纳（图形的变化类），切线的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。

（2）根据锐角三角函数定义直接求得。 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O1AD=

DE=2r2，BE=3r2和AD＋DE＋BE=5可求得r2的值。

（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O1AD=

OE11，同理可推得tan∠O2BE=2，从而由AD=2r2，2BE311，tan∠OnBF=,从而由AD=2rn，DE=2rn，„,FB=3rn和23AD+DE+„+FB=5，2rn+2rn+„+3rn=5可求得rn的值。

4. （2012山东青岛10分）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互 不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．

探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个 互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种 情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②； 另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③． 显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．

探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成 个 互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．

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探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成 个 互不重叠的小三角形．

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形．

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形．

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互 不重叠的小三角形？(要求列式计算)

【答案】解：探究三： 7。分割示意图如下（答案不唯一）：

探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1－1），

三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1）， 三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1）， „，

所以，三角形内部有m个点时，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。

探究拓展：2m＋2。 问题解决： 2m＋n－2。

实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得

2m＋n－2=2×2012＋8－2=4024＋8－2=4030。

【考点】分类归纳（图形的变化类），作图（应用与设计作图）。

【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。

探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规

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律写出（m+3）个点分割的部分数即可。

探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。 问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。

实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解。

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