案解析)
西城区2021九年级上册数学期中测试题(含答案解析) 一、选择题(此题共32分，每题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数 的最大值是
A． B． C．1 D．2
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，假如
∠ADE=120°，那么∠B等于 A．130° B．120° C．80° D．60°
3．以下手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
4．把抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
A． B． C． D．
5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，假如△ABC的面 积是3，那么△A′B′C′的面积等于
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A．3 B．6 C．9 D．12
6．假如关于x的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是
A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AC=12，BC=5， CD⊥AB于点D，那么 的值是 A． B． C． D．
8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正
方形，每个小正方形的顶点称为格点．假如抛物线经过图中 的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物 线的“内接格点三角形〞．设对称轴平行于y轴的抛物线与网
格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，假如△ABC 是该抛物线的内接格点三角形， ，且点A，B，C
的横坐标 ， ， 满足 ＜ ＜ ，那么符合上述条件的抛物线条数是
A．7 B．8 C．14 D．16 二、填空题〔此题共16分，每题4分〕
9．在平面直角坐标系xOy中，点 在反比例函数 的图象上， x轴于
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点B，那么△AOB的面积等于 ．
10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D， 假如∠D=28°，那么 °．
11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点 为A，C，那么线段CE的长应等于 ． 12．在平面直角坐标系xOy中， ， 〔其中 〕，点P在以点 为圆心，半径等于2的圆 上，假如动点P满足 ，〔1〕线段 的长
等于 〔用含m的代数式表示〕；〔2〕m的最小值 为 ．
三、解答题〔此题共30分，每题5分〕 13．计算： ． 14．解方程： ．
15．如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD 与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接 交AB于 点E．假如⊙ 的半径等于 ， ，求 弦 的长．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C
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都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到 〔1〕在正方形网格中，画出△ ；
〔2〕计算线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积． 〔结果保存 〕
17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，假设每件商品售价a元，那么每天可卖出 件．假如商店方案要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．
18．假如关于x的函数 的图象与x轴只有一个公共点，务实数a 的值．
四、解答题〔此题共20分，每题5分〕
19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P
在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得 海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路 的间隔 PC约等于多少米？〔 取1.732，结果准确到1米〕 20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点
E，F，G分别在AB，BC，FD上． 〔1〕求证：△EBF∽△FCD；
〔2〕连接DH，假如BC=12，BF=3，求 的值．
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21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点， ，
连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M． 〔1〕请依题意补全图形； 〔2〕求证： ； 〔3〕求 的值． 22． 抛物线C： .
抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 抛物线C： 变换后的抛物线
〔1〕补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直 角坐标系中画出抛物线C；
〔2〕将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是 抛物线，〔记为 〕，且抛物线 的顶点是抛物 线C的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数 表达式.
五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在反比例函数 〔m为常
数〕的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为
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点C，过点A的直线l与
x轴的交点为点 ，过点C作CE∥x轴交直线l于点E． 〔1〕求m的值及直线l对应的函数表达式； 〔2〕求点E的坐标； 〔3〕求证： ．
24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l
上运动到某一位置〔点P不与点A重合〕时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针
方向旋转 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m〔 〕．
〔1〕 ① = ；
② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且 时，点Q到直线l的间隔 等于 ；
〔2〕 当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为 ， ．在图2
中画出此时的线段 及△ ，并直接写出相应m的值； 〔3〕当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于 时，求m的值．
25．如图1，对于平面上不大于 的 ，我们给出如下定义：假设点P在 的内
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部或边界上，作 于点E， 于点 ，那么称 为点P相对于 的“点角间隔 〞，记为 ．
如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于 ，点P为第一象限内或两条坐标轴正
半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G． 〔1〕满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积 等于 ；
〔2〕设图形G与x轴的公共点为点A， ， ，求 的值； 〔3〕假如抛物线 经过〔2〕中的A，B两点，点Q在A，B两点之间
的抛物线上〔点Q可与A，B两点重合〕，求当 取最大值时，点Q 的坐标．
西城区2021九年级上册数学期中测试题(含答案解析)及评分标准
一、选择题〔此题共32分，每题4分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D D B C
二、填空题〔此题共16分，每题4分〕 9．3． 10.28． 11. ． 12.〔1〕m；〔2〕3. 三、解答题〔此题共30分，每题5分〕
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13．解：
……………………………………………………… 3分 ………………………………………………………………………………… 5分 14．解： ．
∵ ， ， ， ……………………………………………………… 1分
∴ ．……………………………………………… 2分 ∴ ……………………………………………… 3分 ∴ 原方程的解是 ， ．…………………………………… 5分
15．解：连接OC．〔如图1〕
∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D， ∴
OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC=PD，∠OPC=∠OPD．
∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分 ∴ ．……………3分
设 OE=k，那么CE=2k， ．〔 〕 ∵ ⊙ 的半径等于 ， ∴ ，解得 ．
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∴
CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴
CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分
16．〔1〕画图见图2． …………………………… 2分 〔2〕由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3， 所以AB=5．…………………… 3分 线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域
是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5． ……………………………………… 4分 …………………………………… 5分
所以线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积为 ． 17．解：根据题意，得 ．〔20≤a≤80〕 …………………… 1分 整理，得 ． 可得 ． 解方程，
得 ， ．…………………………………………………… 3分 当 时， 〔件〕． 当 时， 〔件〕．
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因为要使每天的销售量尽量大，所以 ． ………………………………… 4分
答：商店方案要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售 价应是40
元．……………………………………………………………………… 5分
18．解：〔1〕当 时，函数 的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分
〔2〕当a≠0时，函数 是关于x的二次函数． ∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根． ………2分 ∴ ．………………………………………………3分 整理，得 ． 解
得 ．…………………………………………………………… 5分
综上， 或 ．
四、解答题〔此题共20分，每题5分〕
19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°． ………………………………………… 2分 ∴ ∠PAC=∠APB．
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∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分 在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400， ∴ ≈346〔米〕．………………4分 答：灯塔P到环海路的间隔 PC约等于346米． …………………………………… 5分 20．〔1〕证明：如图4． ∵ 正方形ABCD，正方形EFGH， ∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°， BC=CD，GH=EF=FG．
又∵ 点F在BC上，点G在FD上，
∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°， ∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分 ∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分 〔2〕解：∵ BF=3，BC=CD=12， ∴ CF=9， ． 由〔1〕得 ．
∴ ． …………………………………………… 3分 ∴ ．……………………………………4分
∴ ． ………………………………………………… 5分 21．〔1〕补全图形见图
5．…………………………………………1分
〔2〕证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
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∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分 又∵ ，
∴ ．……………………………3分 〔3〕解：∵ ， ∴ ∠A=∠D． 又∵ ， ∴
△AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4分 ∵ ，OA =OC，
∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称， ∴ BC=BD．
∴ ．………………………………………………………… 5分 22．解：
〔1〕 ， ． ……………………………………………………… 2分 画图象见图
6．……………………………………………………………… 3分
〔2〕由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：
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抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 变换后的抛物线
设抛物线 对应的函数表达式为 ．〔a≠0〕 ∵ 抛物线 与y轴交点的坐标为 ， 解得 ．
∴ ．……… 5分
∴ 抛物线 对应的函数表达式为 ． 说明：其他正确解法相应给分．
五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕
23．解：〔1〕∵ 点 在反比例函数 〔m为常数〕的图象G上， ∴ ．………………………………………………………………1分
∴ 反比例函数 〔m为常数〕对应的函数表达式是 ． 设直线l对应的函数表达式为 〔k，b为常数，k≠0〕． ∵ 直线l经过点 ， ， ∴ 解得
∴ 直线l对应的函数表达式
为 ． ………………………………2分
〔2〕由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为 ． ………… 3分 ∵ CE∥x轴交直线l于点E，
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∴ 点E的坐标
为 ．………………………………………………… 4分 〔3〕如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，
作CH⊥BG 于点H，那么BH∥CE， ． ∴ 点F的坐标为 ． ∴ CF=EF． ∴ AC=AE．
∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分 ∵ 点 在图象G上， 在Rt△ABG中， ， 在Rt△BCH中， ，
∴ ．………………………………………………………… 6分 ∴
∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：〔1〕① =
90 ；………………………………………………………………1分
② m=3时，点Q到直线l的间隔 等于 ．……………………………… 2分
〔2〕所画图形见图8．………………………… 3分
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．……………………………… 4分
〔3〕作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F． ∵ CA⊥直线l， ∴ ∠CAP=90 ．
易证四边形ADFG为矩形． ∵ 等边三角形ABC的边长为4， ∴ ∠ACB=60 ， ， ．
∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转 得到△BCQ， ∴ △ACP≌△BCQ．
∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ． ∴ ∠QBF=60 ．
在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m，
∴ ．…………………………………………………………… 5分
要使△PAQ存在，那么点P不能与点A， 重合，所以点P的位置分为以下两 种情况：
① 如图9，当点P在〔2〕中的线段 上〔点P不与点A， 重合〕时，可得 ，此时点Q在直线l的下方． 整理，得 ． 解得 或 ．
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经检验， 或 在 的范围内，均符合题意．… 7分 ② 如图10，当点P在〔2〕中的线段 的延长线上〔点P不与点A， 重合〕时，可得 ，此时点Q在直线l的上方． 整理，得 ． 解得 〔舍负〕．
经检验， 在 的范围内，符合题意．…………8分 综上所述， 或 或 时，△PAQ的面积等于 ． 25．解：〔1〕满足条件的其中一个点P的坐标是 ；………………………………… 1分
〔说明：点 的坐标满足 ， 0≤x≤5，0≤y≤5均可〕 图形G与坐标轴围成图形的面积等于 ．…………………………………2分
〔2〕如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，那么MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．
由点B的坐标为 ，可求得直线OB对应的函数关系式为 ． ∴ 点D的坐标为 ， ． ∴ OB=5， ，
……………………………………… 3分 ……………………………………… 4分 〔3〕∵ 抛物线 经过 ， 两点， ∴ 解得
∴ 抛物线对应的函数关系式为 ．………………………5分
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如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．
设点Q的坐标为 ，其中3≤m≤5， 那么 ． 同〔2〕得 ．
∴ 点N的坐标为 ， ．
∴ 当 〔在3≤m≤5范围内〕时， 获得最大值〔 〕． ………………………………………………………… 6分
此时点Q的坐标为 ．…………
西城区2021九年级上册数学期中测试题(含答案解析)参考答案
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