最新-2018届高考数学知识梳理复习题9 精品

★知识梳理★

1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则dr；若直线与圆相切，则dr；若直线与圆相交，则dr ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若

0，则直线与圆相离；若0，则直线与圆相切；若0，则直线与圆相交

2.两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为r1,r2，圆心距为d 若两圆相外离，则dRr ，公切线条数为4 若两圆相外切,则dRr，公切线条数为3 若两圆相交RrdRr，则，公切线条数为2 若两圆内切，则dRr，公切线条数为1 若两圆内含，则dRr，公切线条数为0

(2) 设两圆C1:xyD1xE1yF10，C2:xyD2xE2yF20，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 3. 相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0来求解。 特殊地,已知切点P(x0,y0),圆xyr的切线方程为x0xy0yr2, 圆(xa)(yb)r的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2 4.圆系方程

①以点C(x0,y0)为圆心的圆系方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)

22②过圆C:xyDxEyF0和直线l:axbyc0的交点的圆系方程为

2222222222x2y2DxEyF(axbyc)0

③过两圆C1:x2y2D1xE1yF10，C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆

22系方程为x2y2D1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0（不表示圆C2）

★重难点突破★

重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；

利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；

难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差

重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用 1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： ①相切——求切线 ②相交——求距离

③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值；

问题1：直线3xym0与圆x2y22x20相切，则实数m等于 【解析】圆心为(1,0)，半径为3，

|3m|3m3或33 22、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径 ②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程

3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 ②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦

★热点考点题型探析★

考点1 直线与圆的位置关系 题型1: 判断直线与圆的位置关系

[例1 ] （2018北京海淀）设m>0，则直线2（x+y）+1+m=0与圆x+y=m的位置关系为

A.相切 B.相交

C.相切或相离 D.相交或相切 [解析]圆心到直线的距离为d=

2

2

1m，圆半径为m. 21m112

∵d－r=－m=（m－2m+1）=（m－1）≥0，

222∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C

【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便 题型2:求解圆的切线、弦长问题

[例2] 已知圆M:x(y2)1,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A,B两点

(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程

22(2)求四边形QAMB的面积的最小值

(3)若AB42，求直线MQ的方程 3【解题思路】(2)用一个变量表示四边形QAMB的面积(3)从图形中观察点Q满足的条件 解析：（1）设过点Q的圆M的切线方程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，

|2m1|41m或0，切线QA、QB的方程分别为3x4y30和x1

3m21（2）MAAQ，

SMAQBMAQAQAMQ2MA2MQ21MO213

（3）设AB与MQ交于点P，则MPAB,MBMQ

MP1(即12221)，在RtMBQ中，MB2MPMQ， 331MQMQ3 3设Q(x,0)，则x2229,x5,Q(5,0)

直线MQ的方程为2x5y250或2x5y250

【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点Q到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化

22

[例3 ] 已知圆C：（x－1）＋（y－2）＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4

（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

[解析]（1）解法1：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

2x+y－7=0， x=3， ∵m∈R，∴

得 y=1， x+y－4=0， 即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

(4m3)20 解法2：圆心到直线l的距离d，d5225m6m25m6m2|3m1|2d55r，所以直线l恒与圆C相交于两点

（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－

1， 2∴l的方程为2x－y－5=0. 【名师指引】明确几点：

（1）动直线斜率不定，可能经过某定点

（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线 （3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 题型3: 圆上的点到直线的距离问题

[例4 ]已知圆C:(x3)2(y5)2r2和直线l:4x3y20，

（1）若圆C上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围； （2）若圆C上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围； （3）若圆C上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围； 【解题思路】解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手

解法1：与直线l:4x3y20平行且距离为1的直线为l1:4x3y30和

l2:4x3y70，圆心C到直线l1的的距离为d16,圆心C到直线l2的的距离为d24,

（1）圆C上有且只有4个点到直线l的的距离等于1r4且r6r6 （2）圆C上有且只有3个点到直线l的的距离等于1r4且r6r6 （3）圆C上有且只有2个点到直线l的的距离等于1r4且r64r6 解法2：设圆心C到直线l的距离为d，则d5

（1）圆C上有且只有4个点到直线l的的距离等于1rd1r6， （2）圆C上有且只有3个点到直线l的的距离等于1rd1r6， （3）圆C上有且只有2个点到直线l的的距离等于11rd14r6 【名师指引】将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效 【新题导练】

1. (山东省威海市 2018年普通高中毕业年级教学质量检测) 在下列直线中，是圆x2y223x2y30的切线的是

A．x=0

B．y=0

C．x=y

（ ） D．x=－y

解析B. 圆心为(3,1)，半径为1，切线为y=0

2. (18山东省临沂市期中考)2x2y1与直线xsiny10(的位置关系是 （ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 解析A. 圆心到直线的距离为d222k,kZ)1sin2122r,直线与圆相离 223. 已知直线l:xy40与圆C:x1y12，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为_______

解析: 22 [距离的最大值与最小值之差为2r] 4、(山东省德州市2018届高中三年级教学质量检测) 已知向量m(2cos,2sin线xcosysin),n(3cos,3sin),若m与n的夹角为60，则直

10与圆(xcos)2(ysin)21的位置关系是D 22 A．相交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 解析D. mn1cos600cos()，

2|m||n|(c,ossi)n到

直

线

圆心

1xcosysin02的距离为

d|cos()12|1r，故直线与圆相离 225. (广东省普宁市华侨中学2018届高三第三次练兵考试)

1x2t2(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________。 直线y11t2【解析】14. 直线为xy10，圆心到直线的距离d12，弦长的一半为2222(2214，得弦长为14 )22 6.(2018届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校联考)

1若函数f(x)eax的图像在x0处的切线l与圆C:x2y21相离，则点P(a,b)与圆的位

b置关系是 （ ）

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定

解析B. f'(x)aaxaa1e ，f'(0)，切线l的方程为yx bbbb即axby10，圆心到切线l的距离为d1a2b21a2b21，点P(a,b)在

圆内

22

7.已知圆M：（x＋cos）＋（y－sin）＝1，直线l：y＝kx， 下面四个命题：

①对任意实数k与，直线l和圆M相切； ②对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；

③对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切 ④对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） [解析] ②④

圆心坐标为（－cos，sin）

|－kcos－sin|d＝1＋k2＝1＋k2|sin（＋）|1＋k22

2

2

＝|sin（＋）|1

8. 已知M（x0，y0）是圆x+y=r（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r与此圆有何

种位置关系?

解析:圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r的距离为d=

2

2

r22x02y0.

22y0∵P（x0，y0）在圆内，∴x0则有d>r，故直线和圆相离.

229. 已知圆(x3)(y5)36和点A(2,2)B(1,2),若点C在圆上且ABC的面积

为

5,则满足条件的点C的个数是 2A.1 B.2 C.3 D.4

解析: 3

由ABC的面积为

5知,点C到直线AB的距离为1, 2直线AB的方程为4x3y20,与直线AB平行且距离为1的直线为

l1:4x3y30和l2:4x3y70，圆心C到直线l1的的距离为d16,圆心C到直

线l2的的距离为d24,所以圆(x3)(y5)36与直线l1相切与直线l2相交, 满足条件的点C的个数是3

2210．自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

2222

解析：圆（x－2）＋（y－2）＝1关于x轴的对称方程是（x－2）＋（y＋2）＝1. 设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得

34k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

43考点2 圆与圆的位置关系

题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程 [例4 ]求与圆x2y25外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程

(a1)2(b2)2(25)2解析：设所求圆的圆心为C(a,b)，则b 2a1解得：a3，所求圆的方程为(x3)2(y6)220

b611OC(1,2)(a,b) 33解法2：设所求圆的圆心为C(a,b)，由条件知OPa3，所求圆的方程为(x3)2(y6)220 b6【名师指引】（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。 【新题导练】

11.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,1),两圆圆心都在直线xyc0上,则mc的值是( )

A．-1 B．2 C．3 D．0 解析:3

两点A,B关于直线xyc0对称,kAB直线xyc0上,c2mc3

12. 若圆(xa)(yb)b1始终平分圆(x1)(y1)4的周长,则实数a,b应满足的关系是( )

2

41m5, 线段AB的中点(3,1)在m122222A．a2a2b30 B．a2a2b50 C．a2b2a2b10 D．3a2b2a2b102222

2解析B

公共弦所在的直线方程为2(1a)x2(1b)ya210

圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长 圆(x1)2(y1)24的圆心在直线2(1a)x2(1b)ya210上 2(1a)2(1b)a210即a22a2b50

13. 在平面内,与点A(1,2)距离为1, 与点B(3,1)距离为2的直线共有( )条 A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：B

直线l与点A(1,2)距离为1，所以直线l是以A为圆心1为半径的圆的切线， 同理直线l也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，

|AB|5两圆相交，公切线有2条

考点3 与圆有关的轨迹问题

22

[例5 ] 已知点P是圆x+y=4上一动点，定点Q（4，0）. （1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.

22

[解析]（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x－4，2y），代入圆的方程得（x－2）+y=1.

（2）设R（x，y），由设P（m，n），则有

|PR||OP|1==， |RQ||OQ|23x4， 23yn=，

222

代入x+y=4中，得

42216（x－）+y=（y≠0）.

39m=

【名师指引】

（1）本题用了相关点转移法求轨迹，该法的核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系 （2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等 【新题导练】

14.由动点P向圆xy1引两条切线PA、PB,切点分别为A,B,APB60,则动点的轨迹方程为

220[解析] x2y24

00在RtAOP中, APB60APO30,PO2OA2,动点的轨迹是以原点

为圆心,2为半径的圆,方程为x2y24

15. 过圆x2y21内一点A(1,1)作一弦交圆于B、C两点,过点B、C分别作圆的切线

PB、PC,两切线交于点P,则点P的轨迹方程为

A．x2y29 B．xy4 C．x2y25 D．3x2y4 [解析]B

设P(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2),过点B的切线方程为x1xy1y4,过点C的切线方

x1x0y1y04程为x2xy2y4,而两切线都过点P,,

xxyy42020直线BC的方程为x0xy0y4,

直线BC经过点A(1,1),x0y04, 换为x,y得xy4

★抢分频道★

基础巩固训练

1、将圆x2y21按向量a(2,1)平移后,恰好于直线xyb0相切,则实数b的值为

A． 3[解析]B

平移后圆的方程为(x2)(y1)1,则

22222 B．32 C．22 D． 22

|b3|1b23 22、(2018·天津)圆xy2x10关于直线2xy30对称的圆的方程是（ ）

22 Ａ．(x3)(y2)1 2

22Ｂ．(x3)(y2)1 2 Ｃ．(x3)(y2)2

22Ｄ．(x3)(y2)2

22[解析] x2y22x10的圆心为(1,0),半径为2，选C

3、(2018山东济宁模拟)已知曲线C:x2y22，点A2,0及点B2,a，以点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则a的取值范围是（ ） A．,44, B．,1y B 1,

C．4,4 D．,22, A aa[解析] A [由图可以得到切线AB的斜率为1,1或1] 44

4、直线yO x mx与圆x2y2mxny40交于M、N两点，且M、N关于直线2xy0对称，则弦MN的长为 mx与直线xy0垂直得m=2,由圆心在直线xy0上得n=-2； 2[解析] 4 由直线y5、已知圆C1：x2y26x70与圆C2:x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 。 [解析] x+y-3=0 [即两圆的连心线]

22

6、方程ax+ay－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.

2(a1)2224(a22a2)[解析]（1）∵a≠0时，方程为［x－］+（y+）=，

aaa2由于a－2a+2＞0恒成立，

∴a≠0且a∈R时方程表示圆.

2

a22a21121（2）r=4·=4［2(－)+］， 222aa2

∴a=2时，rmin=2.

22

此时圆的方程为（x－1）+（y－1）=2.

综合提高训练

7、过圆O:xy4外一点M(4,1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 A.4xy40 B. 4xy40 C. 4xy40 D. 4xy40 [解析]A.

222

以线段OM为直径的圆的方程为x2y24xy0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4xy40，这就是经过两切点的直线方程 8、已知点A（–2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足APBP3，

（1）求曲线C的方程；

（2）若过定点M（0，–2）的直线l与曲线C有交点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）若动点Q（x，y）在曲线C上，求uy2的取值范围. x[解析]（1）设P（x，y），APBP(x2,y)(x2,y)x24y23，得

P点轨迹(曲线C)方程为x2y21，即曲线C是圆.

（2）可设直线l方程为ykx2，其一般方程为：kxy20，…6分

由直线l与曲线C有交点，得 |002|k121，

得k3或k3，

即所求k的取值范围是(,3][3,);

（3）由动点Q（x，y），设定点M（0，–2），

y2u， x又点Q在曲线C上，故直线QM与圆有交点，由（2）结论，得 则直线QM的斜率为：kQMkQM的取值范围是(,3][3,)， ∴u的取值范围是(,3][3,).

9、直线x2y120与抛物线x4y交于A,B两点，过A,B两点的圆C与抛物线在点

2A处有共同的切线，求圆C的方程

x2y120,[解析]由 2得点A,B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）,

x4y,2由 x4y 得 y121x,yx, 42x62所以抛物线 x4y在点A处切线的斜率为y223,

2设圆C的圆心为(a,b), 方程是(xa)(yb)r,

1b9,3231252a,b,r. 则a6解得 3222(a6)2(b9)2(a4)2(b4)2.则圆C的方程是 (x)(y322232125),(或x2y23x23y720. 2210、（18江苏泰州联考）如图，已知圆心坐标为(3,1)的圆M与x轴及直线y3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y3x分别相切

yDNB于C、D两点．

M（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截OCA得的弦的长度．

[解析]（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半 径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上， 即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，

x∵M的坐标为(3,1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1， 则⊙M的方程为(x3)2(y1)21，

设⊙N的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接MA、MC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

即

r1r3， 3rr 则OC=33，则⊙N的方程为(x33)2(y3)29；

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是y3(x3)，即：x3y30， 33， 2圆心N到该直线的距离d=

则弦长=2r2d233． 参考例题:

1. （华南师大附中2018—2018学年第一学期高三期末水平测试）

已知直线l:x2y120与抛物线x4y交于A、B两点，过A、B两点的圆与

抛物线在A（其中A点在y轴的右侧）处有共同的切线.

2 （1）求圆M的方程；

（2）若圆M与直线y=mx交于P、Q两点，O为坐标原点，求证：OPOQ为定值.

x2y120,得A(6,9),B(4,4). [解析]（1）由2x4y

抛物线在A处的切线斜率为y3，设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，

b91, ① a63132(a1), ② 又圆心在AB的中垂线上，即b23232125, 由①②得圆心M(,),r22232232125). 圆M的方程为(x)(y222由切线性质得

ymx （2）由 3223212522(x)(y),得(1m)x(323m)x720222

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2又

72，

1m2，

|OP|x12y121m2|x1|,|OQ|1m2|x2|OPOQ|OP||OQ|72.

2. (山东省德州市2018届高中三年级教学质量检测)

如图所示，过圆O:xy4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程．

22

[解析]设Q(x1,y1),AM边上的高为QB,MQ边上的高为AC，连接OQ,MQOQ,

当kOQ0时，kMQxy11,A(0,2),kAC1,………………4′ kOQy1x1y1l:y2xx1xACx1y1y2………………8′ l:xx1QBQ(x,y2)在x2y24上

x2(y2)24………………10′

当kOQ0时，此时垂心为点B，也满足方程.

而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形，故MAQ的垂心的轨迹方程为

x2(y2)24(x0)………………12′

3.已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点， 求△OAB的内接圆的方程；

2y12y2，y1，，y2，由题设知 解法一：设A，B两点坐标分别为22yyyy222yy(y1y2) 2222222122122122222解得y1y212，

所以A(6，23)，B(6，23)或A(6，23)，B(6，23)

0)，则r设圆心C的坐标为(r，264，所以圆C的方程为 3(x4)2y216

解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知

22 x12y12x2y2222又因为y12x1，y22x2，可得x122x1x22x2 即

(x1x2)(x1x22)0

由x10，x20，可知x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

3333设C点的坐标为(r，则A点坐标为r，r，于是有解得r4，0)，r2r，2222所以圆C的方程为(x4)2y216

2