浅谈数学中的无限思想

维普资讯 http://www.cqvip.com 第９卷第４期　黄河科技大学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＵＡＮＧＨＥ　Ｓ＆Ｔ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　２００７年７月　Ｊｕ１．２００７　Ｖｎ１．９　Ｎｏ．４　浅谈数学中的无限思想　史西专　（黄河科技学院数学教研室，河南郑州４５００６３）　摘　要：无限是数学上最重要的研究对象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次危机都是由于对无限本身的矛　盾认识而引起的：空间概念的发展也经历了从有限到无限的过程；现代数学基础的三大学派的无穷观也各不相同。总之，￣－ｆｌｌ对　“无限”的认识也是一个无限的过程。　关键词：数学危机；无限维空间；实无限；潜无限；逻辑主义；直觉主义；形式公理主义　中图分类号：Ｏｌ一０２文献标识码：Ａ文章编号：１００８－５４２４（２００７）０４－０１０６－０３　无限，又称“无穷”。在传统的无穷理论体系中，　哲学里的无穷观与数学里的无穷观并没有什么本质区　别，其核心概念是“无穷”，指科学中某存在之物在大　子概念去解决它。单子概念是一种如此之小的度量单　位，以致本身不可度量却又要保持为一种单位。这或　许是企图通过无限来解决问题的最早努力。但是，毕　氏学派的努力却又引起了芝诺的关注，他认为：一个单　子或者是０或者不是０，如果是０，则无穷多个单子相　加也产生不了长度；如果不是０，则无穷多个单子组成　的有限长线段应该是无限长的，不论何说都矛盾。所　以，连同著名的芝诺悖论在内也都列为数学第一次危　小、多少或长短等性质上的没有止境。在传统无穷观　中“无穷”仅是个定性的概念，具体可表述为没有限　度、无始无终、无边无际、不可穷尽、有始无终、有终无　始、无穷大、无穷小、无穷集合等…。　一、三次数学危机与无限思想　回顾数学的演变与纷争的历史，是人类从有限走　向无限的认识历程。无限是人类在数学上最重要的对　象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次　机的组成部分。第一次数学危机促使人们从依靠直　觉、经验而转向依靠证明，导致了公理几何学与逻辑学　的诞生。　危机都与无限有关：希帕索斯的无理数悖论、贝克莱的　无穷小悖沦、罗素的集合论悖论，分别是对无限不循环　量、无穷小量、无穷大量本身的矛盾的认识而引起的。　公元前五世纪，一个希腊人——毕达哥拉斯（Ｐｙ—　ｔｈａｇｏｒａｓ）学派的门徒希帕索斯，发现了等腰直角三角　形的直角边与斜边不可通约，从而导致了第一次数学　数学史上把ｌ８世纪微积分诞生以来在数学界出　现的混乱局面，称为第二次数学危机。英国牛顿基于　运动学观点提出了“流数术”，而德国莱布尼兹则从几　何学角度出发，提出“一种求极大、极小和切线的新方　法，以及这种新方法的奇妙类型的计算”　。两者都　有些含糊不清。如牛顿的“刹那”或无穷小量，有时是　０，有时不是０，而是有限小量。莱布尼兹的ｄｘ也不能　自圆其说。ｄｘ表示两个相邻的Ｘ间的差是什么意思？　极限是什么？无穷小是什么？都十分含糊。马克思称　这个时期的微积分为神秘的微分学。由于神秘的微分　学在数学的根本性问题上说不清楚，当时鼎鼎大名的　唯心论哲学家贝克莱（１６８５—１７５３，爱尔兰大主教）提　危机。当时毕氏学派的“万物皆数”观不仅深信数的　和谐与数是万物的本源，而且宇宙问的一切现象都能　归结为整数或整数比已成为他们的信条。事实上，希　帕索斯发现的就是无理数　，而无理数是无限不循环　小数。当时人们只有有理数的概念，普遍确信一切量　都可以用有理数来表示。这样希帕索斯的这一发现，　就成为荒谬和违反常识的事，不仅严重触犯了毕氏学　派的信条，同时冲击了当时希腊人的普遍见解，不能不　出了《分析学家：或一篇致不信神数学家的论文，其中　审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗　使人们感到惊奇不安。相传，毕氏学派就因这一发现　而把希帕索斯投入海中　。但是希帕索斯的伟大发　现却是淹不死的，它以顽强的生命力被广为流传，迫使　人们去认识和理解自然数及其比（有理数）不能包括　一教的神秘、教义的主旨有更清晰的陈述，或更明显的推　理》这篇标题很长的书。他嘲笑说，无穷小量是“已经　死去了的量的鬼魂幽灵”，怎么能说既是０又不是０　呢？贝克莱之激烈攻击微积分，主要是出于他极端恐　惧当时自然科学的发展所造成的对宗教信仰的日益增　长的威胁，但也正由于当时的微积分理论没有一个牢固　切几何量，也迫使毕氏学派承认这一悖论并提出单　收稿日期：２００７—０２—２７　作者简介：史西专（１９７６一），男，河南南阳人。硕士，讲师。　维普资讯 http://www.cqvip.com 史西专：浅谈数学中的无限思想　ｌ０７　的基础，致使来自各方面的非难和攻击似乎言之有理。　就跟踪前进。既然运动的实质是联结与过渡，所以该　动点必然会达到０点，而在这一时刻也就在人们思想　里立即呈现了（完成了）一切ｎ的概念。这是思维运动　里的一个飞跃，它正好对应地反映了运动中的一个阶　历史上，曾称贝克莱如上之论述为贝克莱悖论　，而且　迫使数学家不能不认真对待这一悖论，借以解除数学的　第二次危机。柯西详细而又系统地发展极限论，戴德金　（Ｄｅｄｅｋｉｎｄ）在实数理论的基础上证明极限论的基本定　理，还有康托与维尔斯特拉斯都加入了为微积分理论寻　段性飞跃，即动点坐标从非零数值变为零的那个飞跃。　康托引进最小的超穷序列数∞时已十分明确：自　然数序列的形成过程包含着两个阶段：一是延伸（进　展），二是穷竭。只有经过延伸到穷竭，才彻底扬弃有　限性，完成真无限过程。仔细说来，上述过程的真无限　找牢固基础的工作，发展了极限理论。　普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述数　学史上的两次危机已经解决。但在事实上，建立严格　的分析理论是以实数理论为基础的，而要建立严格的　实数理论，又必须以集合论为基础；而集合论的诞生与　发展，却又偏偏出现了一系列的悖论，如著名的罗素悖　论、康托悖论等，由此而构成了更大的危机。在今天，　人们恰当地把集合论悖论的出现及其所引起的争论局　面，称之为第三次数学危机　。　这样人们就不得不重新审视“无限”这个包含着　矛盾的概念。人们早就发现，对待无限或无限过程可　以有两种截然不同的、在概念上互相排斥的理解方式，　一是把“无限”看成为永远在延伸着的（即不断在创造　着的完成不了的）进程。例如不断延伸的自然数列１，　２，３，…，ｎ，ｎ＋ｌ，…就具有这样的性质。二是把无限　对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。例如把　自然数全体理解为一个真无限集合ｆ　ｌ，２，３，…，ｎ，…｝。　显然，这两种理解方式足彼此排斥的。因为前者把无　限理解为永远不能完成的进程，而后者则把无限理解　为可以完成的过程。可见，承认不承认无限能否完成　或形成整体，这是问题的关键所在。其实，在认识论上　最根本的关键问题还在于承认不承认人脑的思维能够　模写运动和反映“飞跃”。　在数学哲学上，把进程式的无限称为潜无限或假　无限，把过程式的无限或完成了的无限称之为实无限　或真无限。　现代的反映论者是承认人脑的思维运动能够反映　客观存在的飞跃过程的。根据这样的观点，也就自然　能够接受自然数序列做成无穷集合的概念。事实上，　为了从直观上掌握自然数序列的整体性概念，可以设　想在坐标轴上一个动点从坐标１处向原点０处移动，　而当动点达到０时，也就通过了无穷点集（数集）　｛　，÷，÷，…，　，…）　中的一切点，又因为　与自然数ｎ做成一一对应，所以　一切自然数这个概念也就被确定了下来。在上述思维　形式中，实际上思维在模写运动：在动点滑到０的过程　中，该动点逐次走过坐标点　（ｎ＝１，２，３，…），心像也　性是由“飞跃”形成的。因此，自然数序列的过程结构　理应表示成下列形式：　｛ｌ，２，３，（…）。，ｎ，（…）　｝　在这个表示法中，ｎ代表任意自然数，（…）　表示着自　然数的不断有限延伸，即量变阶段；而（…）　表示着那　扬弃了有限性重复发生现象的飞跃阶段，即质变阶段。　由上已知，自然数的真无限过程是由飞跃阶段　（…）　来完成的，所以（…）　中已经蕴含了真无限性。　可是其中的成员（自然数）按照康托的观点看来又都　是有限的序号数，有限序号数增长到无限就否定了序　数自身的有限性，可见（…）　中之有“无限多的有限序　号数”这一概念本身就隐含着矛盾。按照恩格斯《反　杜林论》里的话来说，无限性是矛盾，而且是满含矛盾。　无限性只能由有限的量来构成，这已是一种矛盾，可是　事实上就是如此　”　。　二、空间概念的发展与无限思想　空间概念的发展，也经历了从有限到无限的过程。　人们最初只有三维空间的概念，经历了很长时间才突　破到四维空间，接着就产生了ｎ维空间的概念，这些都　是有限维空间。随着空间概念向各个数学分支的渗　透，在泛函分析中建立了函数空间，即把点集论推广到　函数的集合中去而导致了无限维空间的产生。无限维　空间的典型实例是希尔伯特空间——无限维欧几里得　空间，这种空间的元素的坐标是函数展成正交函数的　级数的系数，空间中任意两元素　（ｔ）、Ｙ（ｔ）之间的距离　ｓ＝￣／．　［　（ｔ）一Ｙ（ｔ）］　ｄｔ正好对应着有限维欧氏空间　厂　——————一　两点问的距离ｓ＝　／∑（　一Ｙ　）。。这里，欧氏空间中　两点　、Ｙ的坐标分别是ｎ个，而希尔伯特空间中两点　（ｔ）、Ｙ（ｔ）的坐标数是无限多　。　三、现代数学基础的三大学派与无限思想　对于什么是数学、什么是数学的基础，以及对于数　学方法、数学概念、数学命题、数学理论等奠基性的数　学基础问题，存在着不同的观点与看法。人们从不同　的哲学观点出发，发表对数学中具有普遍性和本质性　的问题的看法，在历史上就形成了不同的数学基础学　维普资讯 http://www.cqvip.com １０８　黄河科技大学学报　派。２０世纪上半叶，在数学基础中，论战得最多、影响　最大的有三大学派，即逻辑主义、直觉主义和形式公理　主义三大学派。在这里我们只谈一谈这三大学派的无　限思想，即他们的无穷观。　逻辑主义派的主要代表人物是罗素。逻辑主义派　形式公理主义学派的创始人是希尔伯特。形式公　理主义学派认为，数学是研究推理或形式推理的，就是　从一定的形式前提（公理）出发，按照演绎推理的规　则，把一定的语句作为数学定理推导出来。因此，他们　认为数学实际上就是一个形式系统，即一个符号形式　的系统，数学是一种纯粹的符号游戏，对这种符号游戏　的唯一要求是从形式前提（形式公理）出发推导不出　矛盾。就“无穷观”问题而言，形式公理主义派的观点　认为古典数学中那些包含着“绝对无穷”（实无限）概　念的命题确实是“超越人们直观性证据之外”的东西。　的主要宗旨是把数学划归为逻辑，也就是说：第一，数　学的概念可以从逻辑的概念出发，经由明显的定义而　得出；第二，数学的定理可以从逻辑的命题出发，经由　逻辑的演绎推理而得出。因此，全部数学都可以从基　本的逻辑概念和逻辑规则推导出来，这样一来，数学也　就成了逻辑的分支。就无限观而言，逻辑主义派是实　但是，他们并不同意直觉主义者由于这样的理由而放　弃古典数学，包括康托集合论。既然肯定了实无限概　念，也就承认了超穷集合的概念。例如，他们承认全体　自然数做成一个完成了的无穷集合。因此，无论就有　限论域或无限论域而言，他们都主张经典逻辑里的“排　中律”是普遍有效的。希尔伯特甚至说过：“数学家使　用的排中律就像天文学家手中的望远镜那样重要，是　万万不能丢弃的。”　从历史上亚里士多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ）第一次明确地只　无限论者，即确认实无限性研究对象在数学领域中的　合理性。普遍认为罗素及其追随者明显地承认无限性　对象的存在性。但由于罗素为排除集合论的悖论而发　展他的分支类型论，从而在罗素系统中的实无限性对　象就在不同的类和级中表现为一定的层次结构，这是　符合反映论的见解的　。　直觉主义派的主要代表人物是荷兰数学家布罗瓦　（Ｂｒｏｕｗｅｒ）。直觉主义派的根本出发点是关于数学概　念和方法的“可信性”考虑。因此，认识论上的可信性　就唯一地决定了直觉主义的前提。直觉主义派的著名　口号是：“存在必须被构造”，亦即数学中的概念和方　法都必须是构造性的。直觉主义认为“逻辑不是发现　承认潜无限而反对实无限，到１９６０年美国数理逻辑学　家鲁滨逊（Ａ．Ｒｏｂｉｎｓｏｎ）在他创立的非标准分析中确　立了无穷小量和无穷大量的合法地位，随着人们对“无　限”的认识，数学也在一步步深化。可以相信，随着人　们对“无限”的进一步认识，不仅数学而且其他学科也　会得到进一步的发展。也许，人们对“无限”的认识也　是一个无限的过程。　真理的绝对可靠的工具”　，并认为在真正的数学证　明中，不能使用“排中律”，因为排中律和其他经典逻　辑规律是从有穷集抽象出来的，因此不能无限制地使　用到无穷集上去，同样，也不能在数学中使用反证法。　就无限观而言，根据直觉主义的基本观点，势必导致对　［参考文献］　［１］欧阳耿．数学中实无穷与潜无穷的几个问题［Ｊ］．吉安师专学报　（自然科学版），１９９８，１９（６）：２６—２８．　实无限概念的排斥。因为从生成的观点来看，任何一　个无穷集合或实无限对象都是不可构造的。若以简单　的自然数集为例讨论的话，按照能行性的要求必然否　定自然数全体这个概念，因为任何有穷多个步骤都不　能把所有的自然数构造出来，更谈不上汇成整体。由　此可见，在无穷观的问题上，直觉主义派是十分彻底地　采纳了潜无限论者的观点。　［２］夏明德．数学大观园［Ｍ］．上海：上海科学普及出版社，１９９４．　［３］徐利治．数学方法论选讲［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，　２０００．　［４］王汝发．从“空间”的由来演化看数学哲学的基本问题［Ｊ］．哈尔　滨工业大学学报（社会科学版），２０００，２（３）：７２—７６．　Ａ　Ｓｉｍｐｌｅ　Ｔａｌｋ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｔｈｏｕｇｈｔ　ａｂｏｕｔ　Ｉｎｆｉｎｉｔｙ　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ＳＨＩ　Ｘｉ．ｚｈｕａｎ　（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｏｆｉｃｆｅ，Ｈｕａｎｇｈｅ　Ｓ＆Ｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５０００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｆｉｎｉｔｙ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｆｉｅｌｄ，ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ　ｉｎ　ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ　ｃｉｒｃｌｅ．Ｔｈｅ　ｔｈｒｅｅ　ｃｒｉｓｉｓｅｓ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ｗｅｒｅ　ｃａｕｓｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ　ｉｔｓｅｌｆ．Ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｈａｓ　ａｌｓｏ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｃｄ　ｆｒｏｍ　ｆｉｎｉｔｙ　ｔｏ　ｉｎｆｉｎｉ—　ｔｙ．Ｗｉｔｈ　ｒｅｇａｒｄ　ｔｏ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ，ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｒｅｅ　ｇｒｅａｔ　ｓｃｈｏｏｌｓ　ｏｆ　ｍｏｄｅｍ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ￣ｕｎｄａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｄｉｆｆｅｒ．　ｅｎｔ．Ｉｎ　ａ　ｗｏｒｄ，ｍａｎ’ｓ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ‘ｉｎｆｉｎｉｔｙ’ｉｓ　ａｌｓｏ　ａ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｃｏｕｒｓｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｃｒｉｓｉｓ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｐａｃｅ；ｒｅａｌ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ；ｉｍａｇｉｎａｒｙ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ；　ｌｏｇｉｃｉｓｍ；ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｍ；ｆｏｒｍａｌ　ａｘｉｏｍ　ｔｈｅｏｒｙ　［责任编辑窦继来］