2014艺术生高考数学复习学案(二)

§37 平面向量 1 (1)

【考点及要求】

1．解掌握平面向量的概念； 2．握平面向量的线性运算． 【基础知识】

1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）； 2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；

3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）； 4．平面向量基本定理. 【基本训练】

1．判断下列命题是否正确：

⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ ） ⑵若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC； ⑶若a∥b，b∥c，则a∥c；

（ ） （ ）

⑷若AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （ ） ⑸若AB+BC+CA=0，则A、B、C三点共线；

（ ）

2．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE等于（ ）

1A．b+a

2

1B．ba

2

11C．a+b D．ab

223．设M为△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是 （ ）

A．AB+BC+AC C．AM+BM+CM

B．AM+MB+BC D．3AM+AC

4．已知C是线段AB上一点，BC=CA（＞0）．若OA=a，OB=b，请用a，b表示OC．

【典型例题讲练】

B

M C O

NA D 11例1、如图所示，OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD．试

33用a，b表示OM，ON，MN．

1

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

变式: 平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知→AM＝c，→AN＝d，试用c，d表示→AB和→AD.

例2设两个非零向量e1、e2不是平行向量

（1）如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1e2)，求证A、B、D三点共线； （2）试确定实数k的值，使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量．

变式: 已知OA、OB不共线，OP= aOA+bOB．求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1．

【课堂小结】

向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。 【课堂检测】

1．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，

A（1）与向量FE共线的有 ．

（2）与向量DF的模相等的有 ． （3）与向量ED相等的有 ．

BFDEC2．已知正方形ABCD边长为1，AB+BC+AC模等于（ ）

A．0

B．3

C．22 D．2

3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量→AB与→CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是→AB＝→DC； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

2

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

4．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设→EA＝a，→EB＝b，则向量BC等于 （ ） A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a

§38 平面向量 1 (2)

【典型例题讲练】

例3如图，→OA＝a，→OB＝b，→AP＝t→AB（t∈R)，当P是（1）→AB中点，（2）→AB的三等分点（离A近的一个）时，分别求→OP.

变式: 在△OAB中，C是AB边上一点，且

例4．某人在静水中游泳，速度为43 千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳. （1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 变式: 一艘船从A点出发以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

【课堂小结】

在理解向量加减法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则，并了解向量加减法在物理学中的应用。 【课堂检测】

1．四边形ABCD满足→AD＝→BC，且｜→AC｜＝｜→BD｜，则四边形ABCD是 . 2．化简：（→AD＋→MB）＋（→BC＋→CM）＝

3．若→AB＝5e1，→CD＝－7e1，且|→AD|＝|→BC|，则四边形ABCD是 （ ） A.平行四边形 C.菱形 【课后作业】

B.等腰梯形

D.梯形但两腰不相等

BC→ ＝λ(λ>0)，若→OA＝a，OB＝b，试用a，b表示→OC. CA1．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且→BC＝a，→CA＝b，给出下列命题：

3

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

1111

①→AB＝－ a－b ②→BE＝a＋ b ③→CF＝－ a＋ b ④→AD＋→BE＋→CF＝0.其中正确的命题

2222个数为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 2．若O为平行四边形ABCD的中心，→AB＝4e1，→BC＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ） A. →AO

B. →BO C. →CO

D. →DO

1

3．已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).

3

§39 平面向量 2 (1)

【考点及要求】

1. 理解平面向量的坐标表示；

2. 掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算； 3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式． 【基础知识】

1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立，即向量a 的坐标是________

2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________， a－b＝____________。

3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标. 4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________ 5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b x1 y2－x2 y1＝_______ 【基本训练】

1.设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向

线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( ) A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6） 2.平面上A（-2，1），（1，B4），（4，D-3），C点满足AC11CB，连DC并延长至E，使|CE|=|ED|，24则点E坐标为： ( ) A、（-8，） B、（,5381111） C、（0，1） D、（0，1）或（2，） 3333．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）

A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－1 4．已知向量a(3,4),b(sin,cos),且a∥b，则tan= A．

（ ）

3344 B． C． D． 43434

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【典型例题讲练】

例1、 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），

求顶点D的坐标。

变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CM ＝ 3CA，CN ＝ 2CB，求M，N的坐标和MN的坐标.

变式: 若向量AB ＝ i2j，BC ＝ imj，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，求使A，B，C三点共线的m值.

【课堂小结】

设：(x1, y1)、b(x2, y2)

（1）加减法：a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)). （2）数乘：若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

（3）a∥b (b0)abx1y2x2y10

注意：充要条件不能写成：x1y1或x1x2y2x2y1y2，但在解题中，当分母不为0时常使用；

【课堂检测】

1．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）

A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－1 2．已知向量a(3,4),b(sin,cos),且a∥b，则tan= A．

3344 B． C． D． 4343（ ）

3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB2BC= 4．已知a(3,2)，b(2,1)，若ab与ab平行，则λ= 5．已知ABCD中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D的坐标为____________

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§40 平面向量 2 (2)

【典型例题讲练】

例3已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及OP＝OAtAB.问：

(1) t 为何值时，P在x轴上? P在第二象限？ (2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t值；若不能；请说明理由.

变式: 已知a＝(3, -1), b＝(-1, 2), c＝(-1,0), 求与，使cab

例4．已知向量u＝(x，y)与向量v＝( y，2y-x)的对应关系用v ＝f(u)表示， (1) 证明对于任意向量a，b及常数m，n恒有f(manb)＝mf(a)nf(b)成立； (2) 设a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

变式引申: 求使f(c)＝(p，q) (p，q为常数)的向量c的坐标.

【课堂小结】

运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 【课堂检测】

1．若向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 2．已知三点P(1,1)、A(2,-4)、B(x,-9)在一条直线上，求x的值.

3．已知向量a=(2x－y+1,x+y－2), b=(2,－2),x、y为何值时，

(1)ab； (2) a//b

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【课后作业】

1．平面内给定三个向量a3,2,b1,2,c4,1，回答下列问题： （1）求满足ambnc的实数m,n； （2）若akc//2ba，求实数k；

2.(2005湖北)．已知向量a(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是 3.设OA=（3，1），OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，O为坐标原点，则满足OD+OA=OC的OD的坐标是＿＿＿＿

§41 平面向量 3 (1)

【考点及要求】

熟练掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题。 【基础知识】

1．知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则有a ² b ＝___________ ，其中夹角θ的取值范围是________。规定0²a＝___________；向量的数量积的结果是一个______。 2．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角. ①e²a＝a²e＝｜a｜cosθ0；②a⊥ba²b＝_____；③当a与b同向时，a²b＝______； 当a与b反向时，a²b＝_______；特别地，a²a＝_______或｜a｜＝_________。④cosθ＝____________；⑤｜a²b｜____｜a｜｜b｜（用不等号填空）。

3．平面向量数量积的坐标表示：

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a²b＝_____________；记a与b的夹角为θ，则cosθ＝_______________。其中｜a｜=_________。

4.两向量垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b___________. 【基本训练】

1. 判断正误，并简要说明理由.

①a²0＝0；②0²a＝0；③0－→AB＝→BA；④｜a²b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a²b≠0；⑥a²b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a²b)c＝a(b²c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.⑨a²b>0，则它们的夹角为锐角。 2. 已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则→BC²→CA=__________

3．已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，则a²b=_________

4．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ） （1）（a²b）²c－(c²a)²b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b| （3）(b²c)²a－(c²a)²b不与c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2 A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4） 5．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）²（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为 （ ） A.30° B.60° C.120° D.150°

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【典型例题讲练】

例2、 已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求

a²b.

变式：设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .

例2已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

变式: 已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a²b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

【课堂小结】

掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

【课堂检测】

1．△ABC中，→AB＝a，→BC＝b，且a²b＞0，则△ABC为 （ ） A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

2．已知等边△ABC的边长为1，且→BC＝a，→CA＝b，→AB＝c，则a²b＋b²c＋c²a等于 （ ） 3

A.－

2

3

B. C.0

2

9

D. 4

3．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为 （ ） A.60° B.90° C.45° D.30° 4．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ . 5．已知| i |＝| j |＝1，i²j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a²b＝ . 6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a²b＝ .

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§42 平面向量 3 (2)

【典型例题讲练】

例3已知a＝(1，3 )，b＝(3 ＋1，3 －1)，则a与b的夹角是多少?

变式: 已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.

例4．在△ABC中，→AB＝(1，1)，→AC＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.

变式1: 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？

→ (0

变式2:已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且→AP＝tAB≤t≤1)，则→OA²→OP的最大值是多少?

【课堂小结】

掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 【课堂检测】

1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ） A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对 2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a²b为 （ ） A.63 B.83 C.23 D.57 3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ）

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

A.－23

77 B. C.－

23

7

D.－

4

4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ） 10

A.（ ，+∞）

310

C.（－∞， ）

3

B.［

10

，+∞） 3

10

］ 3

D.（－∞，

5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ） A.－

13

13

B.

13

C.0 13

D.1

【课后作业】

1．已知向量c与向量a＝（3 ，－1）和b＝（1，3 ）的夹角相等，c的模为2 ，则

c＝ . 2．若a＝（3，4），b＝(1，2)且a²b＝10，则b在a上的投影为 . 3．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：

①|a|＝x12＋y12 ②b2＝x22＋y22 ③a²b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 . 4．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），

（1）求证：→AB⊥→AD ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.

5．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？

6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.

§43 平面向量 4 (1)

【考点及要求】

利用平面向量的概念及运算法则，尤其在掌握向量平行与垂直的性质的基础上，解决向量相关问题。 【基础知识】（1）平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________；

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（2）两个向量平行的充要条件

a∥b________________________________ （3）两个向量垂直的充要条件

a⊥b________________________________ 【基本训练】 1.选择题

已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A．a与b相等

B．如果a与b平行，那么a与b相等 C. a²b＝1 D．a2＝b2

2．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是

A.a⊥ba²b＝0 B.a²b＝｜a｜²｜b｜

C.a²b＝－b²a D.a²b＝－｜a｜²｜b｜ 3．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若→AB∥→BC，则x的值为

A.0 B.3 C.15 D.18 4．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)²(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为

A.30° B.60° C.120° D.150° 5．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为

A.－6 B.6 C.3 D.－3 6．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为

A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4 7．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是

A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j 8．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为

A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j

【典型例题讲练】

例1四边形ABCD中，→AB＝a，→BC＝b，→CD＝c，→DA＝d，且a²b＝b²c＝c²d＝d²a，试问四边形ABCD是什么图形?

变式：在△ABC中，→AB＝a，→BC＝b，且a²b＜0，则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不能确定 例2若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.

证明：a⊥b.

变式引申: .已知a＋b＝c，a－b＝d 求证：|a|＝|b|c⊥d

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂小结】

1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路. 【课堂检测】

1当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是

A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 2下面有五个命题，其中正确的命题序号为

①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤ 3下列四式中不能化简为PQ的是（ ） ．．

A.AB(PABQ) B.(ABPC)(BAQC) C.QCQPCQ D.PAABBQ

4．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)²(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为

A.30° B.60° C.120° D.150° 5．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为

A.－6 B.6 C.3 D.－3 6．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为

A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4 7．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是

A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j 8．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为

A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j 9．已知a2＝2a²b，b2＝2a²b，则a与b的夹角为

A.0° B.30° C.60° D.180°

§44 平面向量 4 (2)

【典型例题讲练】

例3圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：PAPBPCPD2PO.

变式: 已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例4．已知A(3,0),B(0,3),C(cos,sin). (1)若ACBC1,求sin2的值；

(2)若|OAOC|13,且(0,),求OB与OC 的夹角.

变式1: 平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C满足

OC=OAOB, 其中α、β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为

变式2: 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于m，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为

【课堂小结】

针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.在综合学习向量知识之后，解决问题的途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质. 【课堂检测】

1．设a(1cos,3), b(sin,3),且a∥b， 则锐角为 2．已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PAPBx2，则点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

3．已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),且kab与2ab相互垂直，则k值是 4．已知a,b是非零向量且满足(a2b)a,(b2a)b,则a与b的夹角是 【课后作业】

1．若A,B两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2cos,2sin,1),|AB|的取值范围是 A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

2．（选做）从点A(2,－1,7)沿向量a(8,9,12)方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为 A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)

3．平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C满足

OC=OAOB, 其中α、β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为 ( )

A.3x2y110 B.(x1)2(y2)25 C. 2xy0 D. x2y50

13

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§45 等差数列(1)

【考点及要求】

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系. 【基础知识】

1.数列：按照 ______.数列中的每一个数叫做数列的______.数列可以看成是定义域为 __的函数，其图像是 __ .

2.一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于____________，那么这个数列就叫做____________，这个常数叫做等差数列的____ _，其通项公式为 _____________或______________.

3.若a,b,c为等差数列，则称b为a与c的 ____ ，且b __ ；a,b,c成等差数列是2bac的 条件.

4.在等差数列an中，若mnpq，则aman_____________.

5.判断一个数列为等差数列的常用方法有： . 6.等差数列的求和公式为Sn___________或_____________；其推导方法为__________. 7.若数列{an}是等差数列，则从函数的观点看，an是关于n的_____次函数，其图象是直线上均匀排开的一群孤立的点，Sn是关于n的_______次函数，当a1____0，d____0时，Sn有最_____值；当a1____0，d____0时，Sn有最______值；当d_____0时，等差数列为常数数列. 8.数列{an}的项an与其前n和Sn的关系是：an=_________________. 【基本训练】

1.在数列{an}中，a12，2an12an1，则通项an___________，a101 . 2.在等差数列{an}中，首项a11，公差为d3，如果an2005，则n . 1，a2a54,an33，则n=______. 34.高斯求和：123100 .

3.等差数列{an}中，已知a15.在等差数列an中，若a111，d4，则前n项和Sn=_____________. 【典型例题讲练】

例1 在等差数列{an}中，已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为数.

练习 在等差数列{an}中， (1)已知a1533,a45153，求a61；

14

85，求这5个9(2)前三项是

151,,，求a11. x16xx2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例2 在等差数列{an}中， (1)已知a610,S55，求a8和S8；

练习

(1)已知a1030,a2050，若Sn242，(2)已知S848,S12168，求a1和d；

求n.

练习 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d=_________

【课堂小结】

【课堂检测】

1.已知{an}为等差数列，a33，前4项和S416，则a2 .

2.已知等差数列{an}中，a27,a415，则前10项的和S10＝________. 【课后作业】

1.在等差数列{an}中，已知S918,an430(n9),Sn240，求n. 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

Sa55,则9_________. a39S5(2)已知a163，求S31.

§46 等差数列(2)

【典型例题讲练】

例1 已知数列{an}中，Snn2，求通项an.

练习 已知数列{an}中，Snn2n1，求通项an.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例2 在等差数列an中，a125,S9S17,问此数列前几项的和最大？

练习 等差数列an的前n项和为Sn，若S160,S170，则当n=_______时，Sn最大.

111例3 已知,,成等差数列，求证：bc,ac,ab也成等差数列.

abcabc

练习 已知数列{an}中，a1， an2351(n2,nN*)，数列{bn}满足 an1bn1(nN*)，求证：数列{bn}是等差数列 an1

【课堂小结】 【课堂检测】

1.设等差数列an的前n项和Sn，已知a312,S120,S130.指出S1,S2,„，S12中哪一个值最大，并说明理由.

2.设{an}是等差数列，求证：bn

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a1a2an(nN*)为通项的数列{bn}是等差数列.

n2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课后作业】

1.在等差数列an中，a16a17a18a936，其前n项和为Sn .（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；（2）求Tn|a1||a2||an|.

2.在等差数列an中，7a55a90,且a9a5,则使数列前n项和Sn取最小值的n为_______.

3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S77,S1575,Tn为数列{求Tn.

§48 等比数列(2)

【典型例题讲练】

例1 已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*). (1)求a1，a2，a3； (2)求证：数列an是等比数列.

练习 数列{an}的前n项和为Sn，已知a11，an1数列.

17

Sn}的前n项和，n13Sn2Sn(nN)，求证：数列{n}是等比nn2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例2 若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列S1,S2,S4的公比； (2)若S24，求{an}的通项公式.

练习 设{an}是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110,且a1,a2,a4成等比数列.（1）求证：a1d；（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式.

【课堂检测】

已知正项等比数列{an}中,a18,设bnlog2an(nN).

(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)如果数列{bn}的前7项和S7是它的前n项和Sn的最大值，且S7S8,S7S6.求数列{an}的公比q的取值范围.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§53课题：一元二次不等式及其解法⑴

【考点及要求】

会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【基础知识】

一元二次不等式的解集情况如下表： 判别式b24ac 二次函数 yax2bxc(a0) 0 0 0 的图象 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根 ax2bxc0(a0)的解集 ax2bxc0(a0)的解集 【基本训练】 1．不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 ．

xa2．若关于x的不等式0的解集为(,1)(4,)，则实数a= ．

x1113．已知不等式ax22xc0的解集为x，则ac ．

324．若关于x的方程2kx22x9k0两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k的取值范围是 ．

【典型例题讲练】

例1 ． 解下列不等式：

⑴ x23x180 (2) 4x23x18 (3)

例2．已知不等式ax2bxc0的解集为,，且0，求不等式cx2bxa0的解集．

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2x11 (4) (x3)(x2)(x1)2(x4)0 x22013届高三艺术生数学一轮复习教学案

练习：已知不等式x2pxq0的解集为x|11x32求不等式qx2px10的解集． ，

【课堂小结】

1．解一元二次不等式的一般步骤 ；

2．一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的解之间的关系； 3．蕴含的数学思想有： ． 【课堂检测】：

2x11．不等式0的解集是______________________．

3x1x222．不等式组的解集是______________． 2log2(x1)13．x(x5)26(x5)2解集是______________________．

4．函数f(x)3ax12a在(1,1)上存在x0,使f(x0)0,则a的取值范围是．_ _______________5．解下列不等式：

⑴ 4x24x10 (2) x23x50

2x25x11 (3) (x3)(x2)(x1)(x4)0 (4) 2x3x22

§54课题：一元二次不等式及其解法⑵

【典型例题讲练】

例1．当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解是全体实数．

练习：已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa0．

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例2已知函数f(x)lg(x1),g(x)2lg(2xt)(tR) ⑴．当t1时，解不等式f(x)g(x)；

⑵．如果当x[0,1]时，f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围．

例3．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速xkm/h有如下关系：

112sxx，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹

20180车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h）

【课堂小结】1.解含参数的不等式时,一般需 ;

2.主要运用的数学思想是 ; 3.一元二次不等式的实际运用．

【课堂检测】

1． 已知不等式ax22ax42x24x对任意实数x不等式恒成立,求实数a的取值范围

是 ；

2．已知关于x的不等式ax23x64的解集为(,1)(b,), 求⑴求a,b的值；⑵解关于x的不等式ax2(acb)xbc0的解集．

【课后作业】

1．解不等式: (1) x22x

⑶ (2x23x1)(3x27x2)0 ⑷

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20 (2) 9x26x10 33x52 2x32013届高三艺术生数学一轮复习教学案

2．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)， ⑴若方程f(x)6a0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式； ⑵若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.

3．某种商品现在定价每件p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额是np元，设定价

上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍， ⑴．用x和y表示z；

⑵．设ykx(0k1)，利用k表示当售货总金额最大时x的值； ⑶．如果y

2x4x304．已知不等式组2的解集是不等式2x29xa0的解集的子集，则实数a的

x6x802x，求使售货金额有所增加的x值的范围； 3取值范围是 ．

5．已知不等式(m24m5)x24(m1)x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

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§55课题：基本不等式⑴ 【考点及要求】

1. 探索并了解基本不等式的证明过程；

2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【基础知识】

1．几个重要的不等式：

ab⑴a2b2 (a,bR)；⑵ (a0,b0)

22．a0,b0,a,b的乘积为定值p时，那么当且仅当 时，ab有最 值是 ；a,b的和为定值s时，那么当且仅当 时，ab有最 值是 【基本训练】

41．函数y23x(x0)的最大值为 x2． 已知x,y均为正数，且

111,，则xy的最小值是 xy3．已知ab1,Plgalgb,Q． __________________1ab(lgalgb),Rlg(),则P,Q,R的大小关系是224．设x,y为正实数,且xy(xy)1,则xy有最 值是 ； 【典型例题讲练】

例1．已知x,y,z是实数，a,b,c是正实数，

求证：

练习：①a,b,c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.

②a,b,c是实数，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)

例2．⑴设a,b,c都是正数, 且abc1，求证：

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bc2ac2ab2xyz2(xyyzzx) abc1119； abc2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

⑵已知a,b,c为不全相等的正数，求证：lg

练习：

已知a0,b0,ab1 求证：(1)

【课堂小结】 【课堂检测】 1．已知

abbccalglglgalgblgc． 222111118;(2)(1)(1)9. ababab232(x0,y0),则xy的最小值是___________． xy112．(1) 若正数x,y满足x2y1,求的最小值；

xy

(2) 若x,yR,且2x8yxy0.求xy的最小值．

3．已知a,b都是正数，求证：ab4ab48ab

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§56课题：基本不等式⑵ 【典型例题讲练】

例1已知a,b,c(0,1),求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于

1． 4练习：已知a0,b0,且ab2,求证:

1b1a中至少有一个小于2 ,ab

例2．已知直角三角形ABC的周长为定值l, 求这个三角形面积的最大值．

1练习：已知点P(x,y)在曲线y上运动，作PM垂直于x轴于点M，则△OPM（O为坐标原点）

x的周长的最小值是 ．

例3．某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元 (1)求该厂多少天购买一次面粉,,才能使平均每天所支付的总费用最少?

(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由．

练习:一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地,,若车速为v千米/小时,两车的

v距离不能小于()2千米,运完这批物资至少需要________小时．

10

【课堂小结】

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【课堂检测】

1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值是 ．

132．已知a0,b0,1，则a2b的最小值为 ．

abba3．不等式①x233x ②2 其中恒成立的是

ab4．设Ma143(2a3),Nx(433x)(0x),则M,N 最准确的大小关系是a23_____________．

5．已知在ABC中,ACB900,BC3,AC4,P是AB上的点,求点P到AC,BC的距离乘积的最大值．

【课后作业】

1．已知数列{an}的通项公式为an2．设x0,y0,xy4，则

yxxyn，则数列中最大项是 ． ,nN2n90取最小值时，x的值是 ．

111是,的等差中项,Rab3．已知a,b为正实数,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,则P,Q,R按从大到小的顺序为_____________________． 4．已知正数a,b满足abab3，求ab及ab的取值范围．

§57 不等关系及简单的线性规划问题⑴

【考点及要求】

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决； 【基础知识】

1．用 表示不等关系的式子叫做不等式． 2．不等式性质的单向性有：

传递性ab,bc ，可加性ab,cd ， 可乘性ab,c0 ，ab,c0 ，

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乘法的单调性ab0,cd0 ，

可乘方性ab0(nN) ，可开方性ab0(nN) ； 3．不等式性质的双向性有：

ab0 ，ab0 ，ab0 ， 对称性ab ， 加法单调性ab ；

4．二元一次不等式表示平面区域：在平面直角坐标系中，直线AxByC0(A,B不同时为0）将平面分成三个部分，直线上的点满足于 ，直线一边为 ，另一边为 ，如何判断不等式只需取一个 代入即可。

5．线性规划问题中的有关概念：⑴满足关于x,y的一次不等式（组）的条件叫 ；⑵欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的线性函数叫 ；⑶ 所表示的平面区域称为可行域；⑷使目标函数取得 或 的可行解叫 ；⑸在线性约束条件下，求线性目标函数的 或 问题叫 ； 6．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：⑴根据题意设出 ；⑵找出 ； ⑶确定 ；⑷画出 ；⑸利用线性目标函数 ；函数观察图形，找出 ，给出答案． 【基本训练】

1．a克糖水中有b(ab0)克糖，若再添上m(m0)克糖，则糖水变甜了，试根据此事实提

炼一个不等式 ．

2．由直线xy20,x2y10和2xy10围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 ． 3．已知三个不等式：

cd用其中两个不等式作为条件，余下的一ab0,bcad0,（其中0a,b,c,d均为实数）ab个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数为 ．

1xy44．已知变量x,y满足约束条件，若目标函数zaxy(a0)仅在点（3，1）

2xy2处取得最大值，则a的取值范围是 ． 【典型例题讲练】

例1．⑴若xy0,试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小．

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200711111200722221⑵已知Alog2006，试比较A与B的大小． ,Blog2006222233332007120071

例2．画出下列不等式或不等式组表示的平面区域．

x2y10 （1）5x2y40 （2）x2y10

1x23

练习：设集合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三边长},试作出A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）．

【课堂小结】1．比较大小的常用方法有： ；

2．画平面区域时，有等号画 ；没等号画 ；

【课堂检测】 1．若角,满足22,则2的取值范围是______________．

2．若xy0,xy20,y2,则z3xy的最大值是 ． 3．

421介于两个连续自然数之间，则这两个数是 ．

log210log310log710a,ab4．定义运算ab ，如121，则函数f(x)x2(1|x|)的最大值为 ．

b,ab5．设f(x)ax2bx,且1f(1)2,2f(1)4,求f(2)的取值范围

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§58课题：不等关系及简单的线性规划问题⑵ 【典型例题讲练】

y3|x|1例1．在坐标平面上，求不等式组 所表示的平面区域的面积．

yx1

xy60练习：画出不等式组xy0所表示的平面区域，并求平面区域的面积．

x3

xy20例2．已知x,y满足约束条件xy40 ，求（1）zx2y4的最大值；

2xy50(2)zx2y210y25的最小值；（3）z

2y1 的范围． x1xy5,3x2y12,y练习：设x,y满足约束条件则使得目标函数z的取值范围．

0x3,x30y4

例3.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲，乙两个项目。根据预测，甲，乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲,乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

练习：配置两种药剂都需要甲,乙两种原料,用料要求如下表所示(单位:克),如果药剂至少各配一剂,且药剂每剂售价分别为2元,3元,现在有原料甲20克,原料乙25克,那么可以获得的最大销售额是多少? 原料 甲 乙 A B 2 4 4 3 【课堂小结】

【课堂检测】

1．已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部及边界组成，

若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m= ． 2．若1a3,4b2,那么ab的取值范围是__________ 3．点（x，y）是在区域|x|+|y|≤1内的动点，则

y2的最大值为 ，最小值x5为 ．

3．某木器厂有生产圆桌和衣柜两种木料，第一种有72米3，第二种有56米3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示，每生产一张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才能使获得的利润最多？ 产品 木料（单位米3） 第一第二种 种 0．18 0．08 圆桌 衣0．09 0．28 柜 【课后作业】

xy51．如图阴影部分的点满足不等式组2xy6，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最

x0,y0大值的点的坐标是 ．

30

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

x4y32．设x,y满足约束条件3x5y25，分别求：

x1（1） z=6x+10y; (2)z=2x-y的最大值、最小值．

3．某工厂生产甲乙两种产品，已知生产甲种产品1吨需耗A种矿石10吨，B种矿石5吨，煤4吨，利润600元；生产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨，B种矿石4吨，煤9吨，利润1000元；工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨，B种矿石不超过200吨，煤不超过360吨；问如何安排生产才能使所获利润最大？．

4．已知函数f(x)x3x,(xR),

⑴指出f(x)在(,)上的奇偶性及单调性;

⑵若a,b,cR,且ab0,bc0,ca0,判断f(a)f(b)f(c)的符号

§59 不等式的综合应用⑴ 【考点及要求】

综合运用不等式的有关知识解决数学问题。 【基础知识】 【基本训练】

1．函数ylg(2x23x1)的定义域是_____________________ .

1x0,化简912x4x2x22x1= ． 2x3f(x)3．若f(x)为偶函数并在（0，+）上是减函数，f(2)=0，则0的解为

x2．若x满足

4．建造一个容积为18m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么池的最低造价为__________元． 5．若直线axby10(a0,b0)过圆x2y22x2y0的圆心,则

31

11的最小值为 ． ab2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【典型例题讲练】

例1．已知0x,y,z1且xyz2，求证：1xyyzzx

练习：已知abc0，求证：abbcca0．

a2b2(ab)2例2．已知a,b是正常数, ab,x,y(0,)，①求证：，并指出等号成立

xyxy4 3的条件；②利用①的结论求函数f(x)值．

291并指出取最小值时x的(x(0,))的最小值，

x12x2变式练习： 已知f(x)x3bx2cxd在(,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程

f(x)0的一个根为2，⑴求c的值；⑵求证：f(1)2

【课堂小结】

32

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课后作业】 1．函数y3xx2(x1)的最小值是 ． 

1x2．已知A={xx23x20}，B={xxt}.若A∪B=R，则实数t的取值范围是________________．

3．方程x22xlg2a2a0一根大于2另一根小于2，则实数a的取值范围是 ．

4 ．不等式loga4(x22x3)1在xR恒成立,则a的取值范围是 ． 5．若f(x)为奇函数并在(0,)上是增函数，若f(2)0，则xf(x)0的解集为______．

§60 不等式的综合应用⑵

【典型例题讲练】

1a2a43例1．求证：a0,a1

aa32

例2． 已知a,bR,a2b24,求证:3a28ab3b220

练习：设x,yR且x2y21,求证:x22xyy22

33

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例3．已知数列an是等差数列,其前n项的和为Sn,a37,S424 ⑴求数列an的通项公式；⑵设p,q是正整数,且pq,证明:Spq

练习：数列xn}由下列条件确定：x1a0,xn11a(xn),nN 2xn1(S2pS2q) 2 ⑴证明：对n2,总有xna；⑵证明：对n2,总有xnxn1；

【课堂小结】 【课堂检测】

1. 若Ax2x5，Bxa1x2a1，且AB，则a的取值范围为 ．

11m恒成立，则实数m取值范围为 ． abbcac3．已知x,y满足4x3y24,xy1，则xy的最小值是 .

2．设abc，且

4． 若直线2axby20(a,bR)始终平分圆x2y22x4y10的周长,则ab的取值范围是 ．

5．△ABC中三边长为a、b、c,若

111、、成等差数列，则b所对的角是_____角． abc【课后作业】

1．某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一: (1)按使用面积交纳,每平方米40元; (2)按建筑面积交纳, 每平方米30元;李华家的使用面积是60平方米.如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过

_________平方米．

2．若函数m,n,x,y满足m2n2a,x2y2b(ab)，求mxny的最大值．

3．若关于x的方程4xa2xa10有实数解,求实数a的取值范围．

34

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§61 导数的概念及导数的几何意义⑴

【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的

几何意义。

【基础知识】

1．一般地，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 ，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设P(x1,f(x1)),Q(x0,f(x0))，则割线PQ的斜率为 ，

设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0，∴kPQ ，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，

kPQf(x0x)f(x0)无限趋近点Q处切线 。

xf(x0x)f(x0)，当

x3．曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：k△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的 ，记为 ． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：

s(t0t)s(t0)，称为 ；

ts(t0t)s(t0)当t无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时

t的 ；速度的平均变化率：

v(t0t)v(t0)，当t无限趋近于0 时，

tv(t0t)v(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的 ．

t【基础练习】

1．已知函数f(x)ax2在区间[1,2]上的平均变化率为3,则f(x)在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ．

2．A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t1,t2]上,A,B两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 3．在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度与起跳的时间t的函数关系为

h(t)cbtat2(a0,b0),则 ( )

h(A.

bbbbbb)h(0)h()h()h()h(0)h()h()2a2a B. 2a2a aabbbbbb002aa2a2aa2a35

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

bh()h(0)bC. a0 D.运动员在0t这段时间内处于静止状态

ba0a【典型例题讲练】

例1．已知函数f(x)=2x+1,

⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率的特点；

练习：已知函数f(x)=x2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;

⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3]

【课堂检测】

1．求函数yf(x)

1在区间[1,1+△x]内的平均变化率 x2．试比较正弦函数y=sinx在区间0,和,上的平均变化率，并比较大小。

632

§62 导数的概念及导数的几何意义⑵

【典型例题讲练】

例2．自由落体运动的物体的位移s（单位:s）与时间t（单位：s）之间的关系是：s(t)=是重力加速度)，求该物体在时间段[t1，t2]内的平均速度；

1练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=gt2

2(1)求t=t0s时的瞬时速度；(2)求t=3s时的瞬时速度； (3)求t=3s时的瞬时加速度；

36

12

gt(g22013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例3．已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

练习:1． 曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________． 2．若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为 ． 3．曲线y2121x与yx32在交点处切线的夹角是____ __． 24124．已知函数f(x)2x3x2m（m为常数）图象上A处的切线与xy30的夹角为45，则

A点的横坐标为 . 5．曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________． 6．过曲线yx3x1上一点P的切线与直线y4x7平行，则P点的坐标为 ． 例4．求f(x)

练习：过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__ _ 【课堂小结】

【课堂检测】

1．求曲线yx33x21在点（1，－1）处的切线方程

2．已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M(1，f(1))处的切线方程为6xy70．求函数yf(x)的解析式；

3．已知曲线f(x)3x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由

37

1过点(1,1)的切线方程 2x2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂作业】

1．与直线y4x1平行的曲线yx3x2的切线方程是__ _ ___. 2．设曲线y=___.

3．若直线y=x是曲线yx33x2ax的切线，则α= . 4．求曲线yx(x1)(x2)在原点处的切线方程.

§63 导数的运算（1）

【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数yc,yx,yx2,y能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 【基础知识】

1．基本初等函数的求导公式：

；(x) ，（α为常数）；(ax) ，(a0,a1) (C) ，(logax) = ，(a0,a1)；

11和曲线y=在它们交点处的两切线的夹角为，则tan的值为_ _ 2xx1的导数；x注：当a=e时，(ex) ， (lnx) ，

(sinx) ， (cosx) ；

2．法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的 ，即

[u(x)v(x)]' ．

法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 ．

即cu(x) ．

法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(u(x)v(x)) ．

法则4 两个函数的商的导数，等于 ，即

u(x)v(x) (v(x)0)． 

【基础练习】

1．求下列函数导数．

（1）yx5 （2）y4x （3）yxxx

（4）ylog3x （5）y1(x0，a0，a，x1) 1logx()a38

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

（6）y=sin(

+x) (7) y=sin （8）y=cos(2π－x) （9）y=f(1) 23

【典型例题讲练】

例1 求下列函数的导数

（1）yx3sinx； （2）y(2x23)(3x2)；(两种方法)

x2（3）y5xsinx2xcosx9； （4）y=；.

sinx10 练习：(1)求y=

1x3在点x=3处的导数. (2) 求y=²cosx的导数. 2x3x4x3（3）．求y=2的导数. （4）．求y3xxlnx的导数.

xcosx

【课堂小结】 【课堂检测】

1．设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，且f'(0)6，则k ； 2．求下列函数的导数：

(1) y=x35x (2)y=

x2 23x(3)y= (4x3lnx)(cosxsinx) (4)y=

39

1

1cosx2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§64 导数的运算（2）

例2．求满足下列条件的函数f(x)

(1)f(x)是三次函数,且f(0)3,f'(0)0,f'(1)3,f'(2)0 (2)f'(x)是一次函数, x2f'(x)(2x1)f(x)1

练习：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

例3．已知点P在函数y=cosx的图象上（0≤x≤2π），在点P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围．

x5ax3(a3)xa2，且对xR,f(x)0， 练习：已知函数f(x)53求证：3a6

例4.若直线yxb为函数y1图象的切线,求b的值和切点坐标． x

练习：1．求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程；

2．求曲线y=x2过点(0,-1)处的切线方程；

3．已知直线yx1,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短； 【课堂小结】

40

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂检测】

1．已知函数f(x)ax33x22，f’(-1)=4，则a= ． 2．过抛物线yx2上的点M（,11）的切线的倾斜角是 ． 24a3．对正整数n，设曲线yxn(1x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列n的

n1前n项和的公式是 ．

14．曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ．

x5．已知曲线y=x和这条曲线上的一点P(2,2),求曲线y=x在点P处的切线方程. 【课堂作业】

1．若曲线y=x2－1与y=1－x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于 ． 2．求下列函数的导数：(1) y=lg(1+cos2x) (2) y=exlnx 3．设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值.

4．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切,求a、b、c的值.

§65 导数在研究函数性质中的应用⑴

【考点及要求】

熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。 【基础知识】

1．用导数的符号判别函数增减性的方法：若f(x)0，则函数f(x) 为 ，若

f(x)0，则函数f(x)为 ；

2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

⑴确定函数f(x)的 ；⑵求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切 ；

⑶把上面的各实根按由 的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

41

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

⑷确定f(x)在各个小区间内的符号，根据f(x)的 判断函数f(x)在每个相应小区间内的增减性；

3．函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有

f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值；

和 统称为极值；

4．求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法：

①求函数f(x)在(a,b)上的值；②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较，确定最值。 【基础练习】

1．若函数f(x)在区间(a,b)内是一个可导函数，则f(x)＞0是f(x)在区间(a,b)内递增的 条件．

2．如果函数f(x)=x4－8x2+c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c= ．

3．已知a0，函数f(x)x3ax在[1,)是单调递增函数，则a的最大 值是____________．

4．函数f(x)x3ax2bxa2在x1时, 有极值10, 那么a, b的值为 . 5．已知f(x)=ax3－6ax2+b在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a=___________． 【典型例题讲练】

例1．已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P(0,2), 且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70.

(1) 求函数yf(x)的解析式; (2) 求函数yf(x)的单调区间.

练习：1．已知函数f(x)x5ax3bx1，仅当x=－1及x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，求a、b的值。

x22x5（1）求函数f(x)的单调递增、递减区间； 2．设f(x)x23（2）当x∈[－1，2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围。

42

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂检测】

1. 函数f(x)x33x21是减函数的区间为 . 2. 函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a . 3. 函数y4x33x26x的单调递减区间为 , 极大值为 ,极小值为 .

4． 已知: f(x)2x36x2a(a为常数)在[2,2]上有最大值是3, 那么[2,2]在上的最小值是

5． (1) 函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图象

是如图所示的一条直线, 则yf(x)的图象的顶点在第 象限

(2) 如果函数f(x)x3bx(b为常数) 在区间(0, 1)内单调递增, 并且f(x)0的根都在区间[2, 2]内, 那么b的范围是 .

6．已知函数f(x)x33x29xa, (1) 求f(x)的单调递减区间; (2) 若f(x)在区间[2, 2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.

§66 导数在研究函数性质中的应用(2)

【典型例题讲练】

例2．已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2c的图象都过点P(2, 0)且在点P处有相同的切线.

(1) 求实数a,b,c的值;

(2) 设函数F(x)f(x)g(x), 求F(x)的单调区间, 并指出F(x)在该区间上的单调性.

练习：已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且f(x)－g(x)=－x3+2x2+3x+7，f(x)在x=1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间。

43

122013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例3．设a为实数,函数f(x)x3x2xa.

(1) 求f(x)的极值.

(2) 当a在什么范围内取值时, 曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.

练习：已知向量a(x2,x1),b(1x,t),若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数,求t的

取值范围.

【课堂小结】 【课堂检测】

1．函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a= ． 2．函数f(x)x33x21是减函数的区间为 ． 3．函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是 ． 4．已知函数yxf(x)的图象如右图所示（其中f'(x)是 函数f(x)的导函数），下面四个图象中yf(x)的图 象大致是（ ）

15．若函数y＝x 3－2x 2＋mx, 当x＝时, 函数取得极大值, 则m的值为 ．

36. 函数y＝4x33x26x的单调递减区间为 . 【课外作业】

1．已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)(x+5)，则f′(0)=_____________ 2．函数f(x)＝x42x25在区间[2, 3]上的最大值与最小值分别是 ．

y 1 x 1 2 -2 -1 O -1 44

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

33. 已知函数y＝－x 2－2x＋3在区间[a, 2]上的最大值为3, 则a等于 ．

44．设函数y=f(x)是一次函数，已知f(0)=1，f(1)=－3，则该函数的导数 f′(x)= ．

5．已知函数y=3x3+2x2－1在区间(m，0)上是减函数，则m的取值范围是_____________ 6. 已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点, 其中m,nR,m0, (1) 求m与n的关系式; (2) 求f(x)的单调区间;

(3) 当x[1,1]时, 函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围.

§67 导数在实际生活中的应用⑴

【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，

主要有：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值问题；

【典型例题讲练】

1．与几何有关的最值问题：

例1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？

变式1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？

变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价最低？

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

变式3：有一底半径为r（cm），高为h（cm）的倒立的圆锥容器，若以n(cm3)/s的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。

2．与物理学有关的最值问题； 例2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千

13米/小时）的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120).已知甲乙两地相距

12800080100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【课堂检测】：

1．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在缺皮的四角各截去一个面积相等的小正方形后把四边折起焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，截去的正方形的边长为_____________。

2．如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h所做成的盒子体积V(不计接缝). （1）写出体积V与高h的函数关系式；

（2）当a为多少时，体积V最大，最大值是多少？ h A E F B C

3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ O

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§68导数在实际生活中的应用⑵

【典型例题讲练】

3．与实际生活有关的最值问题：

例3．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）．如果C(x)＝106x30.003x25x1000，那么生产多少单位产品时，边际C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）．如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系是：C＝100＋4q，价格P与产量q的函数

1关系为P＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大？

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【课堂检测】：

1．若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是______________． 2．已知函数y=－x3－3x2+9x－1在[－3，a]上的最小值为－77，则a=________． 3．若a＞3，则方程x3－ax2+1=0，在[0，2]恰有________个实根．

4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数；y2=2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产__ __．

5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积V，那么其表面积最小时底面边长为 ． 6．用总长为14.8的钢条制做一个长方体容器的框架，如果制做的容器底面的一边比另一边长0.5m，则高为多少时容积最大？并求出它的最大容积．

【课堂作业】

1．函数f(x)=ax3+(a－1)x2+48(a－2)x+b的图象关于原点中心对称，则函数f(x)的单调区间为 ．

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2．过曲线C：y=x2－1(x＞0)上的点P作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点M、N，试确定点P的坐标，使△MON面积最小．

3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元

吨）之

1间的关系为P24200x2，且生产x吨的成本为R=50000200x（元），问该厂每月生产多

5少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

4．已知函数f(x)=x3(b1)x2cx(b、c为常数)

（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；

（2）若f(x)在x∈(－∞，x1)，(x2，+∞)上单调递增且x∈(x1，x2)上单调递减，又x2－x1＞1，求证：b2＞2(b+2c) ．

（3）在（2）的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小并加以证明。

1312

§69 直线方程(1)

【考点及要求】

1. 掌握直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系，斜率公式，倾斜角的范围。 2. 直线方程的几种形式。 【基础知识】 1.若一条直线斜率为

2，则它的倾斜角为______________ . 22.若直线l经过点（3，1）它的方向向量为a(2,2)，则直线的倾斜角为___________，斜率为__________，它的点斜式方程为________________，截距式方程为______________，斜截式方程为____________________，一般式方程为_______________________.

【基本训练】

31.已知直线l倾斜角变化范围为[,]，则其斜率变化范围是______________.

4448

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2.若直线斜率是

3，且过点(1,2)，则其方程为___________________________. 23.若直线过点(0,3),(4,0)，则其方程为 ________________________.

4.已知直线AxByC0，B0时，斜率是__________，B0时，斜率是__________，系数取_____________时，方程表示通过原点的直线 【典型例题】

例1 直线l的方向向量为(2,3)，直线l的倾斜角为，则tan2___________.

练习： 求直线xcos3y20的倾斜角的取值范围.

例2 已知两点A(2,3),B(3,1)，过点P(2,1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k及倾斜角的取值范围.

练习 如果直线l将圆x2y22x4y0平分，且不通过第四象限，则直线的斜率的取值范围是______________________.

【课堂小结】1.直线的倾斜角和斜率；2.直线方程的几种形式.

【课堂检测】

1.根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为

10； 10(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

2. ABC的三个顶点为A(4,0),B(3,1),C(3,4)，求:

(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程.

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§70直线方程(2) 【典型例题】

例3 已知直线过点P(5,4)，分别求满足下列条件的直线方程：

(1)倾斜角的正弦为；(2)与两坐标轴围成的三角形面积为5.

练习 一条直线被两直线l1:4xy60,l2:3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程.

例4 已知直线l:kxy12k0(kR).

（1）证明:直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.

练习 过点A(3,1)作直线l交x轴于点B，交直线l1:y2x于点C，若BC2AB，求直线l的方程.

【课堂小结】根据条件合理地选用直线方程的形式.

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452013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂检测】

1.过点P(1,2)引一直线，使其倾斜角为直线l:xy30的倾斜角的两倍，则该直线方程是_____________________.

2.若AC0,BC0，则直线AxByC0不通过第______象限. 3.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则

11的值等于________________. ab4.若直线(m2)x(2m)y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值是____________. 【课后作业】

1.已知ABC中，A(2,8),B(4,0),C(6,0)，则ABC的AC边上中线所在直线的方程为_________________________.

2.已知直线l经过点(3,1)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为_________________________.

3. 已知点A(3,4),B(33,8).(1)若PAPB，求证：动点P在一条直线上； (2)试求(1)中直线在x轴，y轴上的截距和倾斜角.

§71两条直线的位置关系(1)

【考点及要求】

1.两直线的平行与垂直，两点间的距离公式，点到直线的距离公式及简单应用，平行线间的距离；

2.两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合的思想。 【基础知识】

1.两直线2xyk0和4x2y10的位置关系是_________________.

2.已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线l与已知直线2xy10平行，则实数m的值为__________________. 【基本训练】

1.直线l1:xay60与直线l2:(a2)x3y2a0，当a___________时，l1∥l2；当

a_________时，l1l2；当a___________时，l1与l2相交；当a_________时，l1与l2重合.

2.过坐标原点且与点(3,1)的距离都等于1的两条直线的夹角为_________

3.若直线x3y70和kxy20与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k为__

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【典型例题】

例1 已知两直线l1:mx8yn0和l2:2xmy10，试确定m,n的值，使 (1)l1与l2相交于点P(m,1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为1.

变式 “m1” 是“直线(m2)x3my10与另外一条直线 2(m2)x(m2)y30相互垂直”的_______________________条件.

例2已知直线l:3xy10，在l上求一点P，使得：

(1)P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

变式. 过点P(3,0)作直线l，使它被相交直线2xy20和xy30所截得的线段恰好被

P点平分，求直线l的方程.

【课堂小结】1.两条直线平行与垂直的判断；2.两条直线的到角与夹角. 【课堂检测】

1.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足____________________. 2.若直线l1:ykxk2与l2:y2x4的交点在第一象限，求k取值范围.

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3.已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等，且过二直线l1:3xy10与l2:xy30的交点，求直线l的方程

§72两条直线的位置关系(2)

【典型例题】

例3 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1:xy10和l2:xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程.

变式 已知a(0,2)，直线l1:ax2y2a40和直线l2:2xa2y2a240与坐标轴正半轴围成一个四边形，要使此四边形的面积最小，求a的值

例4 已知定点P(2,1)和直线l:(13)x(12)y(25)0(R).求证:不论取何值，点P到直线l的距离不大于13.

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变式 圆C:(x1)2(y2)225,直线l:(2m1)x(m1)y7m40，其中mR， (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

【课堂小结】1.含参数的直线位置关系的判断；2.点到直线的距离公式. 【课堂检测】

1.点A(2,3)关于点M(4,1)的对称点是______，A关于直线x2y10的对称点是______ 2.直线y2x1关于点(2,1)对称的直线方程是__________，直线y2x1关于直线x10对称的直线方程是____________.

3若A(7,8),B(10,4),C(2,4),则ABC的面积为_____________.

【课后作业】

1..直角梯形ABCD上底AB方程为3xy20，点C(3,1)，则下底CD方程为_________________，直角腰BC方程为________________.

32..已知l的倾斜角为，且与点(1,2)的距离为32，则l的方程为_________________.

43.. 已知ABC的BC边上的高所在的直线方程为x2y10,A的平分线所在直线的方程为y0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标.

4.设ABC一内角平分线CD方程为2xy10，两顶点A(1,2),B(1,1)，求第三个顶点的坐标.

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§73 圆的方程

【考点及要求】了解确定圆的几何要素；掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件选择恰当的圆的方程，理解圆的标准方程与一般方程的关系，会进行相互转化。 【基础知识】

1.圆心为(3,4)，且过点(3,1)的圆的方程是____________________. 2.圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为___________. 【基本训练】

1.自点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线，则切线长为______________. 2.圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为_______. 3.方程x11y2表示的曲线是_____________________________. 4.若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a的值为_____________. 【典型例题】

例1 求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截下的弦长为27的圆的方程.

变式 已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x4y40相切，则圆的方程是___.

例2 一圆经过A(4,2),B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求此圆的方程.

变式 求圆心在直线y4x上，并且与直线l:xy10相切于点P(3,2)的圆方程.

【课堂小结】圆的两种形式的方程及其应用

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【课堂检测】

1 试写出满足下列条件的圆的方程： (1)圆心在原点，半径为3； (2)圆心在(3，0)，半径为4； (3)圆心在(2，3)，与x轴相切.

2. 求过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程.

3. 圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)关于直线xy0对称，则D,E满足的等式是____________________________.

4. 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1 . 在满足(1)、(2)得所有圆中，求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.

§74 对称问题

【考点及要求】掌握点和曲线关于轴对称，点对称的处理方法，以及有关三角形的高，中线叫平分线的处理方法。 【基础练习】

1.直线y3x4关于点P(2,1)对称的直线方程是_______________________.

2.直线2xy10关于x轴对称的直线方程为____________________，关于y轴对称的直线方程为_____________________，关于原点对称的直线方程为____________________. 3.圆(x3)2(y4)21关于点(1,2)对称的圆的方程是_____________________，关于直线

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xy0对称的圆的方程是____________________________.

4.曲线y24x关于点(1,3)对称的曲线方程是_____________________，关于直线x2对称的曲线方程是__________________________ . 【典型例题】

例1 求直线a:2xy40关于直线l:3x4y10对称的直线b的方程.

变式 试求与圆x2y24x2y40关于直线xy30成轴对称的圆的方程？

例3 已知圆x2y24x4y8k0关于直线xy20对称的圆是⊙C，且⊙C与直线

3x4y400相切，求实数k的值.

变式 已知点A是圆C:x2y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点也在圆C上，求实数a的值.

【课堂小结】1.点关于点，点关于直线对称问题；2.曲线关于直线的对称问题

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【课堂检测】

1.圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为________________

2. 求与曲线f(x,y)0关于点(1,2)对称的曲线方程？

【课后作业】

1.已知点A(m1,m1)与点B(m,m)关于直线l对称，则直线l的方程是_______________. 2.圆x2y2k2xyk0关于直线yx对称的充要条件是___________________. 3.已知直线l:3xy10，在l上求一点P，点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离差最大，则P的坐标为____________________.

4.已知ABC顶点A(3,1)，B和C的平分线所在的直线方程为x0和yx，求BC边所在直线的方程.

§75直线与圆、圆与圆的位置关系(1)

【考点及要求】掌握直线与圆，圆与圆的位置关系，能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交，相切，相离），能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离，外切，相交，内切，内含），能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 【基础知识】

1.点(5,6)与圆(x2)2(y3)21的位置关系为___________ 2.直线x2y100被圆x2y225截得的弦长为___________ 【基础练习】

1.圆x2y211的过点(2,7)的切线方程为 2.过点P(3,0)且与圆x2y28x2y120截得的最短弦所在的直线方程是

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3.直线l将圆x2y22x4y0平分，且l不通过第四象限，则l的斜率的取值范围是 【典型例题】

例1 已知直线l过点(2,0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，求直线l斜率k的取值范

围?

变式 能够使得圆x2y22x4y10上一个值为( )

A.2 B.5 C. 3 D.35

例2 过圆x2y2r2(r0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为M,N，证明直线

MN的方程是x0xy0yr2.

2xyc0距离等于1的c的

变式1 从原点向圆x2y212y270作两条切线，求该圆夹在两条切线间的劣弧长?

变式2 圆心为点(2,3)，且被直线2x3y80截得的弦长为43的圆的标准方程为

【课堂小结】1.直线与圆的三种位置关系；2.圆的切线方程；3.与圆的弦有关的问题 【课堂检测】

1.从点P(m,3)向圆(x2)2(y2)21引切线，则切线长的最小值为___________. 2.两个圆C1:x2y22x2y20与C2:x2y24x2y10的公切线有且_________条. 3 若坐标原点在圆(xm)2(ym)28的内部，则实数m的取值范围是_____

4 若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a,b)与圆x2y21的位置关系是 59

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§76直线与圆、圆与圆的位置关系(2) 【典型例题】

例1 若圆x2y22mx4y(m25)0与x2y22x2my(m23)0，当m为何值时：(1)两圆外离； (2)两圆外切； (3)两圆相交； (4)两圆内切； (5)两圆内含？

变式 已知圆(x2)2(y3)213和圆(x3)2y29交于A,B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是 .

例2 求经过两圆x2y2xy20与x2y25的交点，且圆心在直线3x4y10上的圆的方程.

变式 已知两个圆C1:x2y24,C2:x2y22x4y40， 直线l:x2y0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.

【课堂小结】1.两圆的位置关系；2.圆系问题. 【课堂检测】

1.圆2x22y23x2y0与圆3x23y2xy0的交点所在直线方程为 . 2.圆C1:x2y26x4y120和C2:x2y214x2y140的位置关系为__________. 3.已知圆C:(x5)2y2r2(r0)和直线l:3xy50，若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是___________.

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【课后作业】

1. 已知圆C:x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

2. 已知圆x2y216，A(2,0)，若P,Q是圆上的动点，且APAQ，求PQ中点的轨迹方程.

§77 椭圆(1)

【考点及要求】理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程。 掌握椭圆的几何性质，运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 【基础知识】

x2y21. 椭圆1的长轴位于_____轴，长轴长等于_____；短轴位于_____轴，短轴长等于

43_____；焦点在_____轴上，焦点坐标分别是________和________；离心率e=_____；左顶点

坐标是________；下顶点坐标是________；椭圆上点P(x0,y0)的横坐标的范围是___________，纵坐标的范围是___________；x0y0的取值范围是______________.

x2y22. 已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则AF2B169的周长为______________. 【基本训练】

1. ABC中，若B、C的坐标分别为(3,0)、(3,0)，且ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为___________________.

2. 若椭圆的长轴是短轴的3倍，且经过点A(3,0)，则椭圆标准方程为___________________. 3. 如果方程x2ky2k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_____________

x24. 椭圆y21的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当F1PF2为钝角时，则点P的横

4坐标x0__________________.

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【典型例题】

例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：

x2y2(1) 与椭圆1有相同焦点且过点(6,1)

95x2y2(2) 与椭圆1有相同离心率且过点(2,3).；

43

练习 已知三点P(5,2),F1(6,0),F2(6,0).(1)求以F1、F2为焦点且过点的椭圆的标准方程；

(2)设点P,F1,F2关于直线yx的对称点分别为P',F1',F2'，求以F1',F2'为焦点且过点P'的双曲线的标准方程.

例1 一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

练习 已知动圆M过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.

【课堂小结】 【课堂检测】

1求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3 (2) 经过点P(23,1)，Q(3,2).

62

2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

2. 平面内有两定点A、B及动点P.命题p：PAPB为定值，命题q：点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，那么p是q的（ ）

A.充分不必要条B.必要不充分条C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 件 件

x2y23设椭圆221(ab0)的焦点为F1、F2，长轴两端点为A1、A2.(1)P为椭圆上一点，

ab且F1PF260，求F1PF2的面积；(2)若椭圆上存在一点Q，使A1QA2120求椭圆离心率e的取值范围.

§78 椭圆(2)

y2x2例3 1上一点P到右准线的距离为10,那么P点到它的左焦点的距离是_____.

10036

x2y2练习 点P在椭圆1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横

259坐标是____________.

例2 若椭圆ax2by21与直线xy1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

x2y2变式 直线l过点M(1,1)，与椭圆1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线

43l的方程.

b2，(1)求；(2)若OAOB，求椭圆的方程. 2a

【课堂小结】

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【课堂检测】

1.椭圆x22y21的离心率是______________，准线方程是______________________

1x2y22.若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为,则m=______________.

22m3.椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为____________. 4.在ABC中,BC6,ABAC10, 则ABC面积的最大值为____________________. 5.已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点,则该椭圆的半长轴长的取值范围是______________.

x2y26.若直线ykx1和椭圆1恒有公共点，则实数m_____________________.

25mx2y27.F1，F2是椭圆C:1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为_______个.

848.椭圆x45cos（为参数）焦点坐标是_______________________.

y3sin【课后作业】

x2y21.已知m,n,mn成等差数列,m,n,mn成等比数列,则椭圆1的离心率为_______.

mnx2y22.椭圆221(ab0)的半焦距为c，直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则该

ab椭圆的离心率为_______________.

x2y23.椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1中点M在y轴上，那么点M123的纵坐标是___________

x24.椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，

4则PF2等于_________________

x2y25 .已知椭圆1，直线l：4x5y400，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离

259最小？若存在，求出最小距离.

x2y26. 已知A(2,3)，F是椭圆1的右焦点，点M在椭圆上移动，当MA2MF取最小

1612值时，求点M的坐标.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§79 双曲线

【考点及要求】理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程。 掌握双曲线的几何性质，运用双曲线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 【基础知识】

y2x21.双曲线1的_____轴在x轴上，_____轴在y轴上；实轴长等于_____，虚轴长等于

916____；焦点在____轴上，焦点坐标分别是_____________；顶点坐标是____________；准线方程是___________；渐近线方程是___________；离心率e=_______；若点P(x0,y0)是双曲线上的点，则x0________，y0_________________.

x2y22.双曲线1上一点到左焦点的距离是7，则这点到右焦点的距离是________.

9163.到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是_____________. 【基本训练】

y2x2x2y24.当8k17时，曲线1与1有相同的___________.

17k8k817y2x25.如果方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是_______________.

2kk16.若双曲线的实轴是虚轴的3倍，且经过点A(0,3)，则双曲线标准方程为_______________. 【典型例题】

例1求满足下列条件的双曲线的标准方程

(1) 顶点在x轴上，两个顶点间距离为8，离心率e；

x2y2(2) 与双曲线1有公共焦点,且过点(32,2)

16454

x2y2练习1：与双曲线1有共同的渐近线，且经过点A(3,23)的双曲线的一个焦点到一

916条渐近线的距离是_________..

练习2：设双曲线的准线平行于x轴，离心率为离为2，求此双曲线的标准方程.

65

5，且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距22013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例2：求与圆A：(x5)2y249和圆B：(x5)2y21都外切的圆的圆心P的轨迹方程.

练习 一动圆M与已知圆O1：(x4)2y22外切，与圆O2：(x4)2y22内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.

【课堂小结】 【课堂检测】

1.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1) 经过点P(7,62)，Q(27,3)

(2) 渐近线方程为2x3y0，且过点P(6,2).

x22．设F1、F2是双曲线y21的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF290,求F1PF2的

4面积.

§80 双曲线

x2例3 过双曲线y21的左焦点F的直线交双曲线于P1、P2两点，若P1P24，则这样的直

4线一共有_______条.

练习 过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线存在_____条.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

例4 设直线l过双曲线x2y21右焦点且与右支有两个交点，则直线l的倾斜角范围是____.

练习 双曲线x2y21的左焦点为F，点P为双曲线的左支下半支上的任一点（异于顶点），则直线PF的倾斜角范围是_____________.

【课堂小结】 【课堂检测】

y21双曲线xk(k0)的两条渐近线所成的锐角为_________.

322.双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离心率为_____________.

y2x23.在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3：2，则点M到左准

169线的距离是_________.

x2y24.设双曲线221(a0,b0)的半焦距为c，直线l过点(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线

ab3c，则双曲线的离心率为________. l的距离为4【课后作业】

11设双曲线焦点在x轴上,两条渐近线为yx,则该双曲线的离心率e__________

2y21的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若AB4,则满足条件的直2．过双曲线x22线l有_____条

3．若双曲线x2y21的右支上一点P(a,b)到直线yx的距离为

ab___________

2，则

4．直线l:yk(x2)与曲线x2y21(x0)相交于A,B两点,则直线l的倾斜角范围是

_______________

5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0), 右顶点为(3,0)，则双曲线C的方程是 6.已知等轴双曲线上有一点P到中心的距离为2,求点P到两个焦点距离之积。

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

§81 抛物线(1) 【考点及要求】

理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程，掌握抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程方程和几何性质处理一些简单的问题 【基本训练】

1.动点P到直线x40的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是_____________________.

2.以点(2,0)为焦点的抛物线的标准方程是_______________；以直线y为准线的抛物线的标准方程是________________；开口向左，以4作为通径长的抛物线的标准方程是__________________.

3.抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为____________. 4.若直线l过抛物线y24x的焦点与抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点的横坐标为2，则AB=__________.

5.汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm，则抛物线的性质可知当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光.为了获得平行光，灯泡应安装在距顶点________mm处（精确到1mm）. 【典型例题】

例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3,m)到焦点的距离是5，求抛物线的方程.

变式 在抛物线y22px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，求p的值.

例2 抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，C上动点P到直线l:3x4y120的最短距离为1，求抛物线C的方程.

变式 抛物线y22px的动弦AB长为a(a2p)，则弦AB的中点M到y轴的最小距离为________. 【课堂小结】

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122013届高三艺术生数学一轮复习教学案

【课堂检测】

1.试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程; (1)过点(3,2)； (2)焦点在直线x2y40上.

2..抛物线yax2的准线方程是y2，则a=_______.

x2y23..若双曲线21的一条准线与抛物线y28x的准线重合，则双曲线的离心率为

8b_______________.

4.过抛物线y2ax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于A,B两点，若线段AF,BF的长分别为

m,n则

mn________________ mn

§82 抛物线(2)

例3 一条遂道的横断面由抛物线的一部分和一个矩形的三边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否过此隧道？请说明理由.

5

2

6

变式 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是_____米.

例4 正方形ABCD中，一条边AB在直线yx4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

如图，南北方向的公路l,A地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北30方向23km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A,B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是_____________ l M

P B

A

Q

【课堂检测】

1.焦点在直线3x4y120上的抛物线的标准方程是__________________.

2.已知抛物线C1:y2x2与抛物线C2关于直线yx对称，则C2的准线方程是________.

3.抛物线y28x上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为3，则y0_____

x2y24.双曲线1(mn0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值

mn为________________.

【课堂小结 】

【课后作业】

1.已知点P为抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是

7A(,4),则PAPM的最小值是_____________________ 2

2.连接抛物线x24y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为__________.

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2013届高三艺术生数学一轮复习教学案

3.抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是__________.

4.设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则

FAFBFC=___________.

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