第五部分 函数图象中点的存在性问题

第五部分 函数图象中点的存在性问题

一、图形运动中的函数关系问题

例题1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的5动点．

（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；

（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

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博士教育 李老师 刘力达

练习、

1、如图，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sinEMP（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

12． 13

图1 图2 备用图

2

博士教育 李老师 刘力达

二、由面积产生的函数关系问题

例题1、如图，抛物线y123xx9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC． 22（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果3

保留π）．

博士教育 李老师 刘力达

5． 13探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________． 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0） （1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．

发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

练习1、如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cosABC

图1 图2

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________； （2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

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