2021上海新高二暑期数学讲与练 第8讲 锥体(讲义)练习版

第8讲 锥体

【知识梳理】

1.棱锥

定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

S注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧底（侧面与底面成的二面角为）

cos2.正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥；

基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

面积与体积：S表S底S侧，V1Sh。 3注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

（2） 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 （3） 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

3. 圆锥：将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形 成的几何体叫做圆锥；AB所在直线叫做圆锥的轴；点A叫做圆锥的顶点； 直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线；

圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．

【性质】根据圆锥的形成过程易知： ① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交

于圆锥的顶点；

② 每条母线与轴的夹角都相等.

4．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V棱锥圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V圆锥1Sh． 31Sh；如果底面积半径312rh． 31综上，锥体的体积公式为VSh．

3是r，用πr表示S，则V圆锥2

5．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为l，由此可得它的侧面积是S圆锥侧2

1Clrl． 2（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr+πrl．

【例题解析】

知识点一：棱锥

例1．设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC长

为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求： (1)顶点S到底面的距离；

(2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)； (3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示)；

例2．一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一

个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 A．正五棱锥 B．斜三棱柱 知识点二：体积有关计算

例1．

（2021·上海高二专题练习）正方体ABCDA1BC11D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，三棱锥QA1AP的体积记为V1，三棱锥CA1AP的体积记为V2，则以下结论正确的是 A．V1V2 C．V1V2

B．V1V2

（

）

C．不规则几何体 D．正三棱柱

D．V1与V2的大小关系不能确定

例2．（2021·上海高二专题练习）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法

所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A．2 B．62 C．

1 3D．22

例3．（上海高二期末）底面的半径为1且母线长为2的圆锥的体积为（ ）

A．

 6B．

 3C．

D．

4 3例4．（2019·上海市向明中学高二期中）若圆锥的底面积是9π，体积是12π，

则该圆锥的侧面积是________.

例5．（2019·上海市金山中学高二月考）三棱锥PABC中，有一个平行于底面

的平面截得一个△ABC截面，已知

SABC1V，则PABC________ SABC2VPABC例6．（2021·上海高二专题练习）若一个圆锥的全面积为，其侧面展开图扇形

的圆心角为60，则这个圆维的体积为________．

例7．（2021·上海高二专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是

PAAD2AB2，E是PB的中点. 矩形，PA平面ABCD，

（1）求三棱锥PABC的体积；

（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）

知识点三：表面积有关计算

例1．（2018·上海市宝山中学高二期中）若圆锥的母线长为10，底面半径为6，则

侧面展开图扇形的圆心角为_____

例2．（2021·上海高二专题练习）若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，

则这个圆锥的侧面积为___________

例3．（上海）若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面

积为________．

例4．（2021·上海高二专题练习）已知母线长为6cm的圆锥的侧面积是底面积的

3倍，则该圆锥的底面半径为________cm．

例5．（2018·上海市淞浦中学高二月考）正三棱锥OABC的底面边长为2，高

为1，则该三棱锥的表面积是____

例6．（2018·上海）一个高为

1的正三棱锥的底面正三角形的边长为3，则此正三2

棱锥的表面积为_______.

例7．（2018·上海中学）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧

面积为________.

例8．（2021·上海高二专题练习）正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为

Q，则它的侧面积为________．

例9．（2021·上海高二专题练习）将圆心角为

4，半径为1cm的扇形，卷成圆3锥形容器，求：

（1）这个容器的侧面积； （2）这个容器的容积.

例10．（2021·上海高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，

高为23，底面半径为2.

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）设OA､OB为该圆锥的底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，求直线

PM与直线OB所成的角的正切值.

例11．（2019·上海市第二中学高二期末）如图，已知四棱锥PABCD的底面

ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，PD1.

（1）求直线PB与平面PCD所成的角的大小； （2）求四棱锥PABCD的侧面积.

【过关检测】

一、单选题

1．（2019·上海交大附中高二期中）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A．22 3B．42 3C．22 D．42

2．（2021·上海高二专题练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为1:2，则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为（ ）． A．1:4 二、填空题

3．（2018·上海市淞浦中学高二月考）已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA8，则该四棱椎的体积是 ▲ .

4．（2018·上海市进才中学高二期末）边长为2的等边三角形ABC绕着BC旋转一周，所得到的几何体体积为______.

5．（2018·上海市淞浦中学高二月考）圆锥的底面半径是23，高是2，则圆锥的表面积是_____

6．（2018·上海市淞浦中学高二月考）圆锥的侧面展开图是面积为2的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是_____

7．（上海）底面半径为1、母线长为5的圆锥的体积等于______（结果保留π）． 三、解答题

8．（2019·上海市金山中学高二月考）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1BC11D1中，E、F分别为线段DD1、BD的中点.

B．1:2 C．1:(21)

D．(21):1

（1）求异面直线EF与BC所成的角； （2）求三棱锥CB1D1F的体积.

9．（2019·上海市延安中学高二期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为

4，PO23，OA、OB是底面半径，且：OAOB0，M为线段AB的中点，N

为线段PB的中点，如图所示：

（1）求圆锥的表面积；

（2）求异面直线PM和OB所成的角的大小，并求A、N两点在圆锥侧面上的最短距离.

10．（2021·上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，PO23，OA、

OB是底面半径，且OAOB0，M为线段AB的中点，如图所示.

（1）求圆锥的表面积；

（2）求异面直线PM与OB所成的角的大小.

11．（2018·上海市行知中学高二月考）如图已知四棱锥 P  ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 的长为 8，且垂直于底面，点 M . N 分别是 DC .AB 的中点．

求：（1）异面直线 PM 与 CN 所成角的正切值； （2）四棱锥 P  ABCD 的表面积.

12．（2018·上海市淞浦中学高二期中）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PD4，且PD底面ABCD.

求：（1）四棱锥PABCD的表面积； （2）二面角APBC的大小.

13．（上海华师大二附中高二期中）如图，在正三棱锥ABCD中，AB5，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．

（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求正三棱锥ABCD的表面积．