1991考研数三真题解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】esinxycosxy(ydx+xdy)

【解析】方法一：先求出两个偏导数

zz和,然后再写出全微分dz, xyz=esinxycosxyy=yesinxycosxyx, z=esinxycosxyx=xesinxycosxyy所以 dz=zzdx+dy=yesinxycosxydx+xesinxycosxydy xy =esinxycosxy(ydx+xdy).

方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.

dz=d(esinxy)=esinxyd(sinxy)=esinxycosxydxy=esinxycosxy(ydx+xdy).

(2)【答案】a=−1,b=−1,c=1

【解析】由于曲线f(x)与g(x)都通过点(−1,0),则

f(−1)=−1−a=0, g−1=b+c=0()又曲线f(x)与g(x)在点(−1,0)有公切线,则f(−1)=g(−1),即

f(−1)=(3x2+a)(3)【答案】x=−(n+1)；−e−(n+1)x=−1=3+a=g(−1)=2bxx=−1=−2b,

亦即3+a=−2b,解之得 a=−1,b=−1,c=1.

(n)k(k)(n−k)可知, =Cnuvk=0n【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式(uv) f(n)012(x)=Cnx(ex)(n)+Cnx(ex)(n−1)+Cnx(ex)(n−2)+n(n)x+Cnxe

=xe+ne+0+对函数g(x)=f(n)xx+0=(x+n)ex.

(x)求导,并令g(x)=0,得

g(x)=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0,

解之得驻点x=−(n+1),且g(x)0,x−(n+1),函数g(x)严格单调递减；

g(x)0,x−(n+1),函数g(x)严格单调递增；(n)故x=−(n+1)是函数g(x)=f(x)的极小值点,极小值为

g(−n−1)=f(n)(−n−1)=(−n−1+n)e−n−1=−e−n−1.

0(4)【答案】−1AB−1 00BAX10X3X2E=X400, E【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有

AX3=E,AX=0,4由对应元素或块相等,即

BX=0,1BX2=E.0从A和B均为可逆矩阵知X3=A,X4=0,X1=0,X2=B.故应填−1A−1−1B−1. 0(5)【答案】

x P{X=x} −1 1 3 0.4 0.4 0.2 【解析】因为随机变量X的分布函数F(x)在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以在F(x)的连续点,P{X=x}=0,只有在F(x)的间断点处X取值的概率才大于零,且

P{X=x}=P{Xx}−P{Xx}=F(x)−F(x−0),则

P{X=−1}=F(−1)−F(−1−0)=0.4, P{X=1}=F(1)−F(1−0)=0.8−0.4=0.4, P{X=3}=F(3)−F(3−0)=1−0.8=0.2.

因此X的概率分布为

x P{X=x} −1 1 3 0.4 0.4 0.2

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)

【解析】由重要极限lim(1+)=e可知,

x→1xx1x1−x(−1)=e−1,

x→x→xx1−x1x(−1) lim(1+)=lim(1+)=e−1.

x→x→xx极限 lim(1−)=lim[1+(−)]1limln(1+)xlimxln(1+)ln(1+)x1xxxxx→0+x→0+而极限 lim(1, +)=lime=e=ex→0+x→0+x11令t=1,则 xx→0xln(1+)=lim lim+1xln(1+t)1洛lim=0,

t→+t→+1+tt1limxln(1+)1x0xx→0+所以 lim(1+)=e=e=1.

x→0+x故选项(A)正确.

(2)【答案】(D)

11n2【解析】因为(−1)a=a2,由2收敛及比较判别法可知(−1)an绝对收敛.

nn=1nn=1n2n2n即(D)正确.

另外,设an=1(n=1,2),则可知 2n121111(A) an= =, (C) an==12n2n2n2n=1n=1n=1n=1n=1n=12n都不正确.

设a2n−1=0,a2n=(3)【答案】(B).

【解析】由为A的特征值可知,存在非零向量X,使得AX=X.

两端同时乘以A*,有 A*(X)=A*AX,由公式AA=A得到AX=AX.于是

**1(n=1,2),则可知(B)不正确. 4nA*X=−1AX.

按特征值定义知−1A是伴随矩阵A*的特征值.故应选(B).

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AX=X成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.

(4)【答案】(D)

【解析】AB=AB,如果AB=,则AB=,即A与B互不相容；如果

AB,则AB,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确.

任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和. 又因AB=,从而

A−B=AB=A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容

等同于A、B相互独立而错选(C).

A,B不相容,P(A),P(B)均不为零,因此

P(AB)=P()=0,P(AB)P(A)P(B).

即(C)不正确. 用排除法应选(D).

事实上,P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(A). (5)【答案】(B)

【解析】由于E(XY)=E(X)E(Y),因此有

cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0,

D(X+Y)=D(X)+2cov(X,Y)+D(Y)=D(X)+D(Y).故应选(B).

【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：

1) E(XY)=E(X)E(Y)； 2) D(X+Y)=D(X)+D(Y)； 3) cov(X,Y)=0；

4) X和Y不相关,即X和Y的相关系数=0.

三、(本题满分5分)

【解析】方法一：这是 1型未定式极限.

1x1e+e+limx→0nx2x+ee=limx→0=elimnxex+e2x++enxxlnn=e1ex+e2x++enxlimx→0xn

ln(ex+e2x++enx)−lnnx→0x,

其中指数上的极限是

0型未定式,由洛必达法则,有 0

limx→0ln(ex+e2x+x+enx)−lnn

ex+2e2x+=limx2xx→0e+e+x2x+nenx1+2++nn(n+1)n+1===.

+enxn2n2n+1+e2=e. nx2x1xe+e+所以 limx→0nx方法二：由于 e+e+n+enx+ee+e+=1+nnx1xx2x+enx−1, 1xex+e2x+记y=nx−1,则当x→0时y→0,从而

1xyxe+e+limx→0n1y2x+e+y)=lim(1+y)=lim(1x→0x→0nx1x1yylimx→0x=e. yx1y. 而lim(1+y)=e,所以lim(1+y)y→0x→0y(ex−1)+(e2x−1)+又因 lim=limx→0xx→0nx+(enx−1)

1ex−1e2x−1+lim+ =limx→0x→0nxxenx−11+lim洛(1+2+x→0xn+n)=n+1. 2e+e+所以 limx→0n

四、(本题满分5分)

x2xn+1+e2=e. nx1x【解析】积分区域D如图阴影部分所示.

xyx+=1,得y=b由1−a. ab因此 I=2ydxdy=Da0dxb1−xa()20ydy=a01dxy220b1−xa()2b2=2x1−dx. 0aa4令t=1−x2,有x=a(1−t),dx=−2a(1−t)dt,故 a

bxb2I=1−dx=220a2a1401t42a(t−1)dt

15t6ab22452t. =ab(t−t)dt=ab−=056030

五、(本题满分5分)

y1+dyx2+y2x==,由此可见原方程是齐次微分方程. 【解析】将原方程化为

ydxxyx2dydu1+u2dydu=u+x==u+x,将其代入上式,得令y=ux,有, dxdxudxdx化简得x将u=du1dx1=,即udu=.积分得 u2=lnx+C. dxux2y22代入上式,得通解y=2x(lnx+C). x22由条件yx=e=2e,即4e=2e(lne+C)求得C=1. 所以y=2x(lnx+1)所求微分方程的特解.

六、(本题满分6分)

【解析】先求出曲线L1和L2的交点,然后利用定积分求出平面图形面积S1和S2,如图：

221x=,y=1−x(0x1)1+a由 得 

2y=a.y=ax (a0)1+a2所以 S=S1+S2=10ydx=(1−x2)dx

01213 =x−x=,

303S1=11+a01(1−x)−axdx=02211+a21−1+ax()dx

1+a3=x−x3011+a=2. 31+a

又因为S=2S1,所以

22,即1+a=2,解得a=3. =2331+a

七、(本题满分8分)

【解析】方法1：总收入函数为

R=p1q1+p2q2=24p1−0.2p12+10p2−0.05p22,

总利润函数为

L=R−C=(p1q1+p2q2)−35+40(q1+q2) =32p1−0.2p1+12p2−0.05p2−1395. 由极值的必要条件,得方程组

22Lp=32−0.4p1=0,1 L=12−0.1p=0,2p2即p1=80,p2=120.

因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当p1=80,p2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为

Lp=80,p12=120=（32p1−0.2p12+12p2−0.05p22−1395）p1=80,p2=120=605

方法2：两个市场的价格函数分别为

p1=120−5q1,p2=200−20q2,

总收入函数为

R=p1q1+p2q2=(120−5q1)q1+(200−20q2)q2,

总利润函数为

L=R−C=(120−5q1)q1+(200−20q2)q2−35+40(q1+q2) =80q1−5q1+160q2−20q2−35. 由极值的必要条件,得方程组

22Lq=80−10q1=0,1q1=8,q2=4. L=160−40q2=0,q2因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q1=8,q2=4,即p1=80,

p2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为Lq=8,q12=4=605.

八、(本题满分6分)

【解析】因为x(0,+),所以f(x)=(1+)0.

1xln(1+)1xxf(x)=(1+)=e,两边对x求导,得

x1xx1x(−)12xln(1+)11x11xxf(x)=e=eln(1+)+=(1+)ln(1+)−. 1xxx1+x1+x11令g(x)=ln(1+)−,为证函数f(x)为增函数,只需f(x)0在(0,+)上成

x1+x1xln(1+)x立,,即g(x)0,x(0,+). 方法一：利用单调性.

1−2111x−−1=−=由于 g(x)=ln(1+)−, 221x1+x(1+x)x(1+x)1+x且x(0,+),故g(x)=−10,所以函数g(x)在(0,+)上单调减少.

x(1+x)2又limg(x)=lim[ln(1+)−x→x→1x1]=0,于是有g(x)0,x(0,+).从而 1+x1f(x)=(1+)xg(x)0,x(0,+),

x于是函数f(x)在(0,+)单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 ln(1+)=ln(1xx+1)=ln(1+x)−lnx=u(x+1)−u(x), x所以在区间(x,x+1)存在一点,使得

u(x+1)−u(x)=u()(x+1−x)=u()=1x11,

即ln(1+)=.又因为0x1+x,所以

111,所以 1+xx1111ln(1+)=. 1+xxx

x故对一切x(0,+),有f(x)=(1+)[ln(1+)−1x1x1]0.函数f(x)在(0,+)单调1+x增加.

九、(本题满分7分)

【解析】设x11+x22+x33=,将分量代入得到方程组

(1+)x1+x2+x3=0,x1+(1+)x2+x3=, 2x+x+1+x=.()123对方程组的增广矩阵作初等行变换.

第一行分别乘以有(−1)、−(1+)加到第二行和第三行上,有

1101+1101+11+→−,

1022211+1−−2−0再第二行加到第三行上,所以有

1101+.

→−022−−300+2若0且+30,即0且−3,则r(A)=rA=3,方程组有唯一解,即

()可由1,2,3线性表示且表达式唯一.

若=0,则r(A)=rA=13,方程组有无穷多解,可由1,2,3线性表示,且表达式不唯一.

若=3,则r(A)=2,rA=3,方程组无解,从而不能由1,2,3线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A是mn矩阵,线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A=(Ab)的秩,即是r(A)=r(A)(或者说,b可由A的列向量1,2,亦等同于1,2,()(),n线表出,

,n与1,2,,n,b是等价向量组).

设A是mn矩阵,线性方程组Ax=b,则 (1) 有唯一解  r(A)=r(A)=n. (2) 有无穷多解 r(A)=r(A)n.

(3) 无解  r(A)+1=r(A).b不能由A的列向量1,2,,n线表出.

十、(本题满分6分)

【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.

1−1二次型f的矩阵为A=42,其顺序主子式为 −1241=1,2=1=4−2,3=A=−42−4+8. 4正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有

10,2=1=(2−)(2+)0,3=A=−4(−1)(+2)0. 4解出其交集为(−2,1),故(−2,1)时,f为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x1,x2,次的多项式)

f(x1,x2,,xn的二次齐次多项式(即每项都是二

,xn)=aijxixj, 其中aij=aji,

i=1j=1Tnn称为n元二次型,令x=(x1,x2,,xn),A=(aij),则二次型可用矩阵乘法表示为

f(x1,x2,,xn)=xTAx,

,xn)的矩阵.

T其中A是对称矩阵A=A,称A为二次型f(x1,x2,()

十一、(本题满分6分) 【解析】记A=(1,2,由于

,n),则1,2,,n线性无关的充分必要条件是A0.

1TTTAA=21,2,Tn从而取行列式,有D=AA=A由此可见1,2,TT1T11T2TT2212,n=TTn1n221TnT2nTnn,

A=A.

,n线性无关的充分必要条件是D0.

,m线性相关的充分必要条件是齐次方程组

【相关知识点】m个n维向量1,2,

(12有非零解.特别地,n个n维向量1,2,x1xm)2=0

xm,n线性相关的充分必要条件是行列式

1,2,,n=0.

十二、(本题满分5分)

【解析】首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率.

设事件Ai=“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i=1,2,3,且Ai相互独立.

1P(Ai)=PAi=.

2()事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i−1.所以有

PX=0=P(A1)=1,

2PX=1=PA1A2=PA1P(A2)=1()()22,

2323, .

PX=2=PA1A2A3=PA1PA2P(A3)=1 PX=3=PA1A2A3=PA1PA2PA3=1则X的概率分布为

x ()()()()()()()0 1 2 3 1111PX=x 2 3 3 2222注：此题易犯的一个错误是将PX=3计算为14,这是由于该街道仅有三个设有红绿信

2号灯的路口,X=3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问

题.

十三、(本题满分6分)

1, (x,y)D,【解析】二维均匀分布(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=SD

0, (x,y)D,SD是区域D的面积,SD=r2,所以(X,Y)的联合密度

12222,x+yr. f(x,y)=rx2+y2r20,由连续型随机变量边缘分布的定义,X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)为

f1(x)=+−1f(x,y)dy=2rr2−x2−r2−xdy=22r2−x2(xr), 2rf2(y)=+−f(x,y)dx=222r−y(yr). 2r+由一维连续型随机变量的数学期望的定义：

EX=+−xf(x)dx, Eg(X)=−g(x)f(x)dx.

若f(x)为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是故 EX=r−rf(x)dx=0.

2r2−rrxr2−x2dx, EY=2r2−rryr2−y2dy,

由于被积函数为奇函数,故 EX=EY=0.

cov(X,Y)=E(XY)−EXEY=xydxdy, 2rx2+y2r2因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为y的奇函数,所以积分式为0.

cov(X,Y)=0.由相关系数计算公式=cov(X,Y),于是X和Y的相关系数=0.

DXDY(2)由于f(x,y)f1(x)f2(y),可见随机变量X和Y不独立.

十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.

现题设给出概率密度函数f(x;),则似然函数

−

L(x1,x2,,xn;)=()ennxii=1nXii=1n−1,

lnL=nln()+lnXii=1−1−Xi.

i=1n(由于lnL是单调递增函数,L取最大与lnL取最大取到的是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).

lnLnn由对数似然方程 =−Xi=0,

i=1ˆ=得的最大似然估计值nXii=1nˆ=.所以得的最大似然估计量为 nXii=1n.

【相关知识点】似然函数的定义：

设x1,x2,...,xn是相应于样本X1,X2,...,Xn的一组观测值,则似然函数为：

L()=f(x1,x2,

,xn;)=f(xi;)=f(x1;)f(x2;)i=1nf(xn;).