专题01 椭圆及其性质-直击高考中的圆锥曲线问题(理数)

一、椭圆的定义

平面上到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作F1F22c. 定义式：PF1PF22a(2aF1F2).

要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程有两种形式：

x2y2（1）焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为221(a＞b＞0)，焦点为F1 (－c，0)，F2 (c，0)，焦距为

ab2c，且a2b2＋c2，如图1所示；

y2x2（2）焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为221(a＞b＞0)，焦点为F1 (0，－c)，F2 (0，c)，焦距为

ab2c，且a2b2＋c2，如图2所示．

图1 图2 图3

注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆．正数a，b，c恰好构

成一个直角三角形，其中a是斜边，所以a＞b，a＞c且a2b2c2，其中c是焦距的一半．对于图2中的椭圆，关系式a＞b，a＞c且a2b2c2也始终成立．

x2y2y2x2三、椭圆221，221(a＞b＞0)的几何性质比较

abab标准方程 x2y221(a＞b＞0) 2aby2x221(a＞b＞0) 2ab图形 范围 对称性 焦点 顶点 axa，byb bxb，aya 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 左焦点F1 (－c，0)，右焦点F2 (c，0) 下焦点F1 (0，－c)，上焦点F2 (0，c) A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0) 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴； 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，长半轴长为a，短半轴长为b 轴 离心率e e2cc(0e1) 2aa注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a与c，然后利用ec计算求得离心率；或者根据已a知条件建立关于a,b,c的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论

x2y21.设椭圆221(ab0)上任意一点P(x,y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；

ab当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． 2.已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.

技巧1 求椭圆的标准方程 求椭圆的方程有两种方法:

22

（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a,b的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：

第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.

x2y2y2x2第二步，设方程.根据上述判断设方程为221(ab0)或221(ab0).

abab第三步，找关系.根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系c2a2－b2）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny2＝1(m0，n0且mn).

【例1】已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的离心率为,右顶点到直线x=(c为椭圆的半焦距)的距离为2-,

则椭圆C的方程为

A．+y2=1

B．+=1

C．+y2=1 【答案】A

D．+=1

【解析】由题意知,技巧2 求椭圆的离心率

,解得

,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a,c，代入公式ec. a（2）只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2a2－c2转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a转化为关于e或e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

2

2

x2y2【例2】已知椭圆221(ab0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，

ab且满足AFBF，设ABF，且[ππ,]，则该椭圆的离心率e的取值范围为 126

B．[A．[313,] 226] 3

316,] 233] 2C．[31,【答案】C

D．[31,

x2y2x2y21．设ab0，k0且k1，则椭圆C1:221和椭圆C2:22k具有相同的

ababA．顶点 C．离心率 【答案】C

B．焦点 D．长轴和短轴

221xy2．若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m

22mA．3 C．

8 3

3 22D．

3B．

【答案】B

12m13x2y2 【解析】由题意知椭圆m．故选B．1焦点在x轴上，且离心率为，故e2222m2x23．已知△ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在

3BC边上，则△ABC的周长l是

A．23 C．43

B．6 D．12

【答案】C

【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F，由椭圆的方程知a3，则△ABC的周长

lABACBCABBFACCF4a43．故选C．

x2y24．若椭圆1上一点到两焦点的距离之和为m3，则此椭圆的离心率为

4mA．5 321 7 B．521或 3735或 79C． D．

【答案】A

【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x轴或是y轴）进行讨论，从而解决问题.

x2y2625．设椭圆221(ab0)的右焦点与抛物线y16x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方

ab3程为__________．

x2y21 【答案】

248【解析】由题意知抛物线y16x的焦点为（4,0），∴c4，

2∵ec46，∴a26，∴b2a2c28， aa3x2y2x2y2∴椭圆的方程为1．故答案为1

248248

x2y21．（2018新课标全国Ⅰ）已知椭圆C:21的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为

a4A．

1 32 2 B．

1 222 3C． D．【答案】C

【解析】由题可得c2，因为b24，所以a2b2c28，即a22，所以椭圆C的离心率

e2222，故选C． 22．（2018新课标全国Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且

PF2F160，则C的离心率为

A．13 2

B．23

C．31 2

D．31

【答案】D

F1PF290,PF2F160，【解析】在△F1PF2中，设PF2m，则2cF1F22m,PF13m，

又由椭圆定义可知2aPF1PF2(31)m，则ec2c2m31，故选D． a2a(31)mx2y23．（2017新课标全国III理）已知椭圆C：221(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段

abA1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为 A．6 32 3 B．3 31 3C． D．

【答案】A

x2y24．（2018新课标全国Ⅱ理）已知F1，F2是椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，

ab点P在过A且斜率为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为 6

2 31C．

3A．【答案】D

1 21D．

4B．

【解析】因为△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，所以PF2F1F22c，由AP的斜率为361123sinPAF可得tanPAF2，所以，cosPAF2，由正弦定理得2136131PF2sinPAF22c2113=，e，，所以所以a4c，AF2sinAPF2acsin(πPAF)531211423213213故选D．

113x2y25．B是椭圆C：（2017新课标全国I）设A，若C上存在点M满足∠AMB=120°，1长轴的两个端点，

3m则m的取值范围是 A．(0,1][9,) C．(0,1][4,) 【答案】A

【解析】当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则

B．(0,3][9,) D．(0,3][4,)

atan603，b即33，得0m1；当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，mamtan603，即3，得m9，故m的取值范围为(0,1][9,)，故选A． b3则

x26．（2018浙江）已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足AP2PB，则当

4m________________时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

今天错在哪里啦？

____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________