丰城市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
2． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065 C、56125 D、 60125
x2y23． 已知双曲线C:221(a0,b0)，F1,F2分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上
abPM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐 的一点，圆M为三角形PF1F2的内切圆，
近线平行且距离为
2，则双曲线C的离心率是（ ） 22 2
A．5 B．2 C．2 D．4． 若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（ ） A．（2，+∞）
B．（0，2）
C．（4，+∞）
D．（0，4）
5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A．720 B．270 C．390 D．300
6． 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β A.7
B.8
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
C. 9
D. 10
7． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
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【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 8． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 9． 已知函数
，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
10．设x，y满足线性约束条件的值为（ ）
，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
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A．2 B． C． D．3
11．设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ） A．（，1）
B．（﹣∞，）∪（1，+∞） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
12．已知直线m：3x4y110与圆C：3x4y40上任意(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：一点，则PAB的面积为（ ） A．23 B.
33 C. 33 D. 43 2二、填空题
13．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．下列命题：
①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5； ④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
15．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 16．（
72
﹣2）的展开式中，x的系数是 ．
17．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
18．（文科）与直线x3y10垂直的直线的倾斜角为___________．
三、解答题
19．AA1C1C是边长为4的正方形．AB=3，BC=5．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1C1C，
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值．
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20．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
2
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m＜4m，求实数m的取值范围．
21．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆
内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．
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22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在0,1上无零点，求a的最小值； 2（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
23．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．
24．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
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（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
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丰城市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：双曲线
﹣
=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
2． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
S底10,S后10,S右10,S左65，
因此该几何体表面积S3065，故选B． 3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知1,0到直线bxay0的距离为线，离心率为2.故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造a,b,c的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中a,b,c与椭圆中a,b,c的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出a,c的值,可得；（2）建立a,b,c的齐次关系式,将用a,c表示,令两边同除以或a化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
22b2，那么，得ab，则为等轴双曲2222ba4． 【答案】C
2
2
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【解析】解：令f（x）=x﹣mx+3， 则f（1）=1﹣m+3＜0， 解得：m∈（4，+∞），
若方程x﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，
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故选：C．
【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．
5． 【答案】C
各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型； 所求方案有：故选：C． 6． 【答案】D
+
+
=390．
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．
7． 【答案】A
【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n10，i1；n5，i2；n16，i3；n8，i4；n4，i5；n2，i6；n1，i7，到此循环终止，故选 A. 8． 【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．
9． 【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1， 若f[g（1）]=1， 则f（a﹣1）=1， 即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0， 解得a=1 10．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，
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由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时a=． 故选：B．
11．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|） 又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
22
即（2x﹣1）＜x，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1）， 故选：A．
12．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB的面积为
1|AB|d33，选C． 2二、填空题
13．【答案】 （﹣4，0] ．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
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当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立， 则满足即∴
， ，
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]． 故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
14．【答案】 ②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，
，但是
，因此不是单调递增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；
④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．【答案】1 【解析】
试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，
=5（a6+a5）＞0，
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需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，
abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1
16．【答案】﹣280 解：∵（由
7
﹣2）的展开式的通项为
=．
，得r=3．
．
∴x2的系数是故答案为：﹣280．
17．【答案】 2 ．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2
．
[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
18．【答案】【解析】
试题分析：依题意可知所求直线的斜率为3，故倾斜角为考点：直线方程与倾斜角．
3. 3三、解答题
19．【答案】
【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
222
∴AC+AB=BC，∴AB⊥AC．
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建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，． 设平面A1BC1的法向量为
则
，平面B1BC1的法向量为
=（x2，y2，z2）．
，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴
．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴
．
==
．
=
．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ∴∵∴∴
．
=
，∴
，， ，解得t=
．
=（0，3，﹣4），
，
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【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2， ∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴
，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5， ∵∃x0∈R，使得即
成立，
，
22
∴4m+m＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
21．【答案】
22
【解析】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x+y=1有公共点 ∴
≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，
命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1； ∵点（a，1）在椭圆∴
命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题 即p真q假，则
⇒a≥2或a≤﹣2． 内部，
，
故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
22．【答案】（1） f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f（x）在0,无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是,21 上2
3. e1【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增
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区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
11）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞220恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的
上恒成立不可能，
上无零点，
，f（x）＞0恒成立，即对
恒成立．
，
令再令则
从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使
，则
，
，故m（x）在
上为增函数，所以
，
上为减函数，于是
，
，
恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在0,1 上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2； 2（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，
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当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a≠2时，f′（x）=当x=
时，f′（x）=0．
，即
，x∈（0，e]
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故①
此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： x f′（x） f（x） （0，﹣ ↘ ） 0 最小值 （+ ↗ ，e] 又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，
，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=则h
，
，令h′（a）=0，得a=0或a=2，
故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当
所以，对任意
时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．
，有h（a）≤h（0）=0，
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即②对任意由③式解得：
恒成立． ．④
综合①④可知，当a的范围是,23 时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的e1xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立． 23．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴
．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400， ∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为
X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．
24．【答案】
由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1= 又g（4）=，∴k2= 从而f（x）=
，g（x）=
（x≥0）
，（k1，k2≠0；x≥0）
10400 0.1 【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元 y=f（x）+g（10﹣x）=令
，∴
，（0≤x≤10），
（0≤t≤
）
当t=，ymax≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
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