探究导数思想在三角函数性质中应用

４０　轴．　福建中学数学　２０１３年第ｌ２期　的思路．　对于本题的几种解法归纳延伸，可以得到如下　的结论：　Ｂ　若两条定长的线段互相平分，则其中一条线段　的一个端点到另一条线段的两个端点的长的平方和　为定值．在此基础上笔者编写了如下两个例题：　图２　Ｐ　ＪＱ　懈法４如图３，设ＢＣ中点为Ｄ，连接ＡＯ，并　延长ＡＯ至　，使ＡＯ＝ＯＥ，连接ＰＥ，ＱＥ，　①如图４，三角形ＡＢＣ的一边ＢＣ的中线ＡＤ长　为ｍ，在边ＢＣ上与Ｄ点等距离的两点Ｐ，Ｑ之间　的长度为　，则ＡＰ　＋　Ｑ　为定值．（易证ＡＰ　＋　Ｑ　２ｍ２＋　１　＝ＡＰ＋　Ｑ＝ＡＥ①，ＡＰ一　Ｑ＝Ｑｌ尸②，　①②平方相加可得：　２（ＡＰ。＋　９　）＝ＡＥ　＋ＪＤＱ　＝ｍ　＋２，ｚ　，　…ｎ２）．　２　②如图５，两个同心圆圆心为０，大圆的半径为　Ｒ，小圆的半径为ｒ（　＞ｒ），Ａ为大圆上任意一点，　ＪＤＱ为小圆的直径，则ＡＰ　＋　Ｑ　为定值．　（易证ＡＰ　＋　Ｑ　＝２（Ｒ　＋Ｆ２））．　ＡＰ　＋　Ｑ　＋ＪＤＱ　＝　ｆ一十６ｎ　（定值）．　解法５与方法四类似直接利用平行四边形中四　条边的平方和等于两条对角线的平方和的结论即可　得证．　分析这两种解法主要是利用了向量的运算和　平行四边形的性质，以及平行四边形中四条边的平　方和等于两条对角线的平方和的结论（见人教版必　修２的第１０５页）．　ｃ　图４　图５　由以上几种方法分析，在解决平面几何问题时，　我们可以通过解析法，建立坐标系和方程，由形化　数；也可以在解决解析几何问题时，利用平面几何　图形的性质，化数为形这样两种方法相互渗透，相　互弥补，数形结合，从而找出更加简单的解决问题　以上两道题目通过平面几何方法很容易得证，　当然也可以用解析几何的方法，通过建立直角坐标　系得到证明，因此对于教材上的一些例题或者练习　题多加思考，多做探究，也许就会有不小的收获．　探究导数思想在三角函数性质中应用　苏飞文　洪丽敏　１福建省南安侨光中学（３６２３　１４）　２福建省南安第一中学（３６２３００）　可能由于三角函数具有的特殊完美的性质，笔　入三角函数教学中．　者发现，老师或学生在三角函数解题中应用很少应　用到导数思想，特别是高三第一轮复习中，如果在　复习三角函数这个章节没有把导数这个思想加以融　合进去，笔者觉得是一种缺憾，不能让学生更加全　面理解导数这个工具的实质和三角函数性质的真正　内涵．在与南安一中洪丽敏老师的交流中，她也感　觉确实很多老师忽视把导数这个思想贯穿于三角函　数的教学中，鼓励笔者整理一下形成文字，抛砖引　玉，让更多老师深入思考把如何导数思想更完美融　我们知道导数在高中的应用主要有在不等式证　明、函数单调性的讨论、求曲线的切线、求函数最　值等方面的应用，而三角函数又具有单调性、周期　性、最值和极值等完美性质，能够很好的诠释导数　的工具性．下面笔者结合近几年高考复习，整理几　个例题说明导数思想在三角函数中应用，请给予批　评指正．　１三角函数的单调性问题　２０１３年第１２期　福建中学数学　４ｌ　我们知道正弦函数Ｙ＝ｓｉｎｘ的导数是Ｙ　＝ＣＯＳＸ，　也就是说明了Ｙ：ｓｉｎｘ的单调递增区间是余弦函数　Ｙ＝ＣＯＳＸ图象在　轴上方部分，Ｙ＝ｓｉｎｘ的单调递减　区间是余弦函数Ｙ＝ＣＯＳＸ图象在　轴下方部分，这样　学生就很容易写出Ｙ＝ｓｉｎｘ的单调区间，并更深刻理　解正弦函数与余弦函数的关系．　知识点１．１　Ｙ＝ｓｉｎｘ的单调递增区间是Ｙ＝ＣＯＳＸ　≥０的解集，Ｙ＝ｓｉｎｘ的单调递减区间是Ｙ＝ＣＯＳＸ　０　的解集．　知识点１．２　Ｙ＝ＣＯＳＸ的单调递增区间是Ｙ＝ｓｉｎｘ　≤０的解集，Ｙ＝ＣＯＳＸ的单调递减区间是Ｙ＝ｓｉｎｘ　０　的解集．　例１（２０１２年高考新课标卷・理９）已知缈＞０，　函数厂（　）＝ｓｉｎ（　十三）在（詈，兀）上单调递减．则　的　取值范围是（　）　Ａ．［　，　５］Ｂ１３］ｃ．　，　．（０，　］Ｄ．（。，２］　一般解法根据正弦函数Ｙ＝ｓｉｎｘ的单调递减区　间［２　７ｃ＋　，２ｋ兀＋　］，　由　０，２　＋三　＋　＜２　＋荨（　ｚ），　得到函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）的单调递减区间是　２ｋ兀＋　２ｋ丁ｃ＋　［—　，———尘］（　∈Ｚ），　又函数厂（　）＝ｓｉｎ（ｏｃｘ十　）在（三，兀）上单调递减，　２ｋ丁ｃ＋　２ｋ兀＋　・．．（　，兀）　［　，　】，　当　＝０时，解得专　・　应用导数解法函数／（　）：ｓｉｎ（　＋　）的导数为　八　）＝…ｓ　＋三），　要使厂（　）＝ｓｉｎ（　＋　）在（三，７ｃ）上单调递减，　￣，Ｊｌｆ　）＝　ｃ。ｓ（僦＋　０在（詈，兀）上恒成立，　则詈　ｘ＜ｃｏｘ＋　，　即　＋２　ｃｏＸ　等＋２　，　．．．　＋　＋　（Ｊ｝ｉ∈ｚ），　４ｃｏ　∞４ｃｏ　ＣＯ　当七＝０时，　４≤　ｏｃ４ｃｏ，　又兰＜　＜兀，所以有　兰，　≥兀，　解得　１５，　，即　∞　．　点评通过上面两种解法我们可以发现，应用导　数的解法显然更易刻画函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋５　－）的单　调性，把三角函数的单调性问题最终转化为恒成立，　使得解题行云流水，更方便理解和运算．　２三角函数的对称轴问题　根据正弦函数Ｙ＝ｓｉｎｘ的图象我们知道正弦函　数Ｙ＝ｓｉｎｘ的对称轴是在极大值和极小值的位置取　到，同理可得余弦函Ｙ＝ＣＯＳＸ数的对称轴．　知识点２．１　Ｙ＝ｓｉｎ（ｏｃｘ＋　）的对称轴是其导函数　Ｙ　＝ｃｏＣＯＳ（Ｏ）Ｘ＋　）：０即ＣＯＳ（ｃｏＸ＋　）＝０的根．　知识点２．２　Ｙ＝ｃｏｓ（ｃｏｘ＋　）的对称轴是其导函数　Ｙ　＝一ｃｏｓｉｎｃｏＸ＋　）＝０即ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）＝０的根．　例２（２０１２年高考湖北卷・理１７）已知向量　ａ＝（ＣＯＳｃｏＸ—ｓｉｎｃｏＸ，ｓｉｎｃｏＸ），６＝（－－ＣＯＳ　—ｓｉｎｃｏＸ，　２４３　ＣＯＳｃｏＸ），设函数ｆ（ｘ）＝ａ・６＋　∈Ｒ）的图象关于　直线　＝７ｃ对称，其中国，　为常数，且ｃｏ∈（妄，１）．　（Ｉ）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）略．　一般解法（Ｉ）由ｆ（ｘ）＝口・６＋Ａ＝２　ｓｉｎ（２ｃｏｘ一　）　＋　，由直线　＝７ｃ是ｆ（ｘ）图象的一条对称轴，　可得２　ｓｉｎ（２ｏｍ一　）＝±１，　・２ｃｏｎ一　＝ｋ兀＋　（　∈ｚ），即ｃｏ＝　ｋ＋　（七∈ｚ）．．．　６　２、　’　２　３　又　∈（　１，１），ｋ∈ｚ，．＿．ｋ＝１，故ｃｏ＝三．　・．．，（　）的最小正周期是　．　应用导数解法（Ｉ）由　（ｊｃ）－－ａ・ｂ＋Ａ＝２ｓｉｎ（２ｃｏｘ一　）　＋　，由直线　＝兀是ｆ（ｘ）图象的一条对称轴，　＝兀是　４２　福建中学数学　２０１３年第１２期　ｆ　（　）＝４ｃｏｓ（２ａ）ｘ一　）＝０的根，　０　・．．４ｃｏｓ（２ｏｒｅ一　）＝０，即２ａｍ一　＝　兀＋　，　Ｕ　０　上　１　所以可得　＝三＋ｖ。（ｋ∈ｚ）．　ｊ　１　又　∈（÷，１），ｋ∈ｚ，．‘．ｋ＝１，故∞：　．Ｏ　　・．．ｆ（ｘ）的最小正周期是　．　）　点评从导数这一角度去考虑三角函数对称轴　问题将给我们展示一种全新的视野，更加深刻理解　导数的几何意义．　３三角函数的对称中心问题　根据正弦函数Ｙ＝ｓｉｎＸ的图象我们知道正弦函　数Ｙ＝ｓｉｎｘ的对称中心是正弦函数图象与Ｘ轴交点的　位置取到，对称中心左右两边的凸凹性是相反的，　分布于Ｘ轴上下方，又（ＣＯＳ　）　＝一ｓｉｎＸ，所以Ｙ＝ｓｉｎ　的对称中心是Ｙ＝ＣＯＳＸ函数的极值点．同理可得余弦　函数Ｙ＝ＣＯＳＸ的对称中心．　知识点３．１　Ｙ＝ｓｉｎ（ｔｏｘ＋　）的对称中心横坐标是　Ｙ＝ＣＯＳ（Ｏ）Ｘ＋　）的极值点，Ｙ：ＣＯＳ（Ｏ）Ｘ＋　）的导函数　Ｙ　＝一（ｏｓｉｎ（ｏ）ｘ＋　）：０即ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）＝０的根．所以　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）的对称中心横坐标Ｉｆ　（ｘ）］　＝０根．　知识点３．２　Ｙ＝ＣＯＳ（（ＯＸ＋　）的对称中心横坐标是　Ｙ＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）的极值点，Ｙ＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）的导函数　Ｙ　＝（ＤＣＯＳ（（－ＯＸ＋　）＝０即ＣＯＳ（Ｏ）Ｘ＋　）＝０的根．所以　ｆ（ｘ）＝ＯＯＳ（Ｏ）Ｘ＋　）的对称中心横坐标［ｆ　（　）］　＝０根．　例３（２００９年高考全国卷Ｉ・理８）如果函数　的图象关于点　中心对称，那么ｌ　ｌ的最小值为　（　）　Ａ．６　０　Ｂ．６≤ｃ　Ｃ．　Ｄ．　３　２　一般解法‘．‘函数詈的图象关于点了２７Ｉ中心对　称　．２・等＋　＋三　・１３６ｒｅ（ｋ∈Ｚ）．　由此易得ｌ　ｌ　。　＝詈．故选Ａ．　应用导数解法’．’ｆ’（　）＝一６ｓｉｎ（２ｘ＋　），　又・．・『厂　（ｘ）］　＝－１２ｃｏｓ（２ｘ＋　），　由［ｆ　（　）］　＝０，得ｅｏｓ（２ｘ＋　）＝０，　即２ｘ＋　＝　兀十　（　∈ｚ），　又・．・函数　的图象关于点　中心对称，　・．．２‘等　ｋ３　兀＋三－．２　．　ｋ一１３６￣　～　ｚ（ｋ∈Ｚ），　由此易得』　＝　．故选Ａ．　点评形如／　＝Ａｓｉｎ（ｃａｒ＋Ｏ）＋Ｂ或ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ｃａｒ＋ｏ＂）　＋Ｂ的图象在对称中心左右两边的凸凹性是相反的，　故可以考虑由［ｆ　（　）］　来处理．　４三角函数的最（极）值问题　知识点４．１　ｆ（ｘ）＝Ａ　ｓｉｎ（ｃｏｘ＋　）的最（极）值是　其导函数＿厂　（　）＝０的根　＝ａ所对应的函数值ｆ（ａ）．　知识点４～．ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ｃｏｘ＋　）的最（极）值是　其导函数ｌ厂　（　）＝０的根Ｘ＝ａ所对应的函数值ｆ（ａ）．　例４（２０１１年高考北京卷・理１５）已知函数　ｆ（ｘ）＝４ｃｏｓｘｓｉｎ（ｘ＋　）一１．　（Ｉ）略；　（ＩＩ）求＿厂（ｘ）在区间ｌ一詈，　ＴＣ　ｌ上的最大值和最　小值．　一般解法（ＩＩ）由题意知＿厂（　＝２ｓ　２　＋　），　ｎ　．．一　．≤　。．．．一　２ｘ＋　．　６　４　６　６　３　当２　＋詈＝三，即　詈时，／　（　）取得最大值２；　当２　＋詈：一詈，即　＝一詈时，＿厂（　）取得最小值　一１．　应用导数解法’・・一詈≤　，　．一　．．２ｘ＋　．　６　６　３　由题意知＿厂（　）＝２　ｓｉｎ（２　＋　），　ｃｏｓ（２Ｈ　０，　詈＋　，　・＝　．．　时，－厂（　）取得最大值２；　２０１３年第ｌ２期　福建中学数学　４３　又Ｉ詈一ｃ一詈　ｌ＞ｌ詈一　Ｉ，　地位，　而三角函数又是描述周期现象的特殊函数，　具有非常完美的对称性质，可以很好刻画导数的几　由图象可知ｘ＝－ｇ　￣，＿厂（　）取得最小值＿１・　何意义和导数的思想，在三角函数的教学中我们应　该适时把导数的思想很好融入其中，让学生更好理　导数是高中数学的重要内容，导数方法的基础　解三角函数的图象性质和导数的真正意义．　工具性作用，凸现了它在整个教材和高考中的重要　再谈错题举例分析与反思　章才良　福建省泉州市泉港第五中学（３６２８００）　读了谢雪川老师的　错题举例分析与反思》这　所以所求切线方程为Ｙ一３＝５（ｘ一１），　篇论文后，笔者觉得在高中数学中，这种容易错的　整理即５ｘ—Ｙ一２＝０．　题有很多，故摘录以供参考．　错因分析上述解法忽视了“过某点的切线”　例１在等腰ＲｔＡＡＢＣ中，过直角顶点Ｃ在ＬＡＣＢ　与“在某点处的切线”的差别．求切线方程时，一　内部任作一条射线ＣＭ，与线段ＡＢ交于点　，求　定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处　ＡＭ小于ＡＣ的概率．　的切线方程，前者可能会有多个结果，而后者通常　错解记“ＡＭ小于ＡＣ”为事件Ｅ，由于点　随　只有一个结果，过曲线上一点的切线和在某点处的　机地落在线段ＡＢ上，故可以认为点　落在线段ＡＢ　切线是两个不同的概念．　上任一点是等可能的，可把线段ＡＢ看作区域Ｄ．在　正解设切线在曲线上的切点为（Ｘｏ，Ｘ　＋２　），　线段ＡＢ上截取ＡＣ　＝ＡＣ，当点　位于线段ＡＣ　上　而Ｙ　Ｉｘ＝ｘ＝ｏ　３ｘ　０　＋２　，时，ＡＭ＜ＡＣ，故线段ＡＣ　即为区域ｄ，于是Ｐ（Ｅ）　故切线方程为Ｙ—Ｘｏ　２ｘ。＝（３　＋２）（　—Ｘｏ）①，　：Ｐ（ＡＭ＜ＡＣ，、：　：　：　２　．　因为切线过点（１，３），　错因分析错误的主要原因是由于对概念理解　从而有３一　一２ｘｏ＝（３　＋２）（１－－Ｘ０），　不清，过直角顶点Ｃ在ＺＡＣＢ内部任作一条射线　整理得程（２Ｘｏ＋１）（Ｘｏ—１）　：０，　１　ＣＭ，与线段ＡＢ交于点Ｍ．当射线ＣＭ上的点　绕　所以Ｘｏ＝１或　＝一亡，　Ｃ点从　匀速旋转到　时，Ｍ在ＡＢ上的运动速度　于是代入①就不难得到切线方程为　先逐渐加快，过ＡＢ中点后逐渐变慢，所以这里的等　５ｘ—Ｙ一２＝０或１ｌｘ一４ｙ＋１＝０．　可能事件不是“在斜边ＡＢ上任取一点　”，而是“在　ＺＡＣＢ　内部任作一条射线ＣＭ”．　评注过某点的切线中，该点不一定是切点；在　正解记“ＡＭ小于ＡＣ”为事件Ｅ，等可能事件　某点处的切线中，该点则是切点．　是“在／＿ＡＣＢ内部任作一条射线ＣＭ”．所有等可能基　例３函数ｆ（ｘ）＝Ｘ　＋ａｘ　＋　＋ａ。在　＝１处有极　本事件所构成的区域Ｄ是ＬＡＣＢ，在ＡＢ上截取　值１０，求ａ，ｂ的值．　ＡＣ　＝ＡＣ，当ＡＭ小于ＡＣ时射线ＣＭ在／＿ＡＣＣ　内，　错解ｌ厂　（　）：３ｘ　＋２ａｘ＋ｂ，由题意知ｆ　（１）＝０，　则区域ｄ为ＺＡＣＣ　，所以ＡＭ小于ＡＣ的概率为　且．厂（１）＝１０，即２口＋ｂ＋３＝０，且ａ　＋ａ＋ｂ＋１＝１０，　尸ｆ　１：—ＬＡＣＣ＇６７　．５￣—：——：三解得ａ＝４，ｂ＝一１１，或ａ＝一３，ｂ＝３．．　、　ＣＢ　９０。４　错因分析错误的主要原因是对ｆ（Ｘｏ）为极值的　例２过曲线Ｙ＝Ｘ　＋２　上一．点（１，３）的切线　充要条件理解不清，把ｆ（Ｘｏ）为极值的必要条件当　方程式——．　做了充要条件．＿厂（　）为极值的充要条件是厂　（　）　错解’．’Ｙ　＝３ｘ　＋２，故Ｙ　ｌ　ｒ＝ｌ＝５，　＝０且－厂　（　）在　附近两侧的符号相反．