数学史融入函数概念教学的探索

◎闫丽丽　(嘉峪关市第一中学ꎬ甘肃　嘉峪关　７３５１００)

　　函数的概念是高中阶段数学的核心概念ꎬ函数的思想

和方法贯穿高中数学的始终.然而ꎬ函数概念因其高度概括性、符号的抽象性、表达形式的多样性、应用对象的多变性和思维水平的高要求成为高中数学的重点和难点ꎬ也是高一新生在数学学习中需要跨越的第一个障碍.这就对教师提出了更高的要求.只有深入地理解教学内容ꎬ全面体会教材的编写意图ꎬ针对学生的认知水平和思维发展规律ꎬ设计合理的教学情境ꎬ才能实现有效教学.在此ꎬ笔者将曾经的迷惑和探索的感悟与大家分享.

一、函数概念的发展历程之“迷”

每个数学概念的产生都有它现实或理论发展的需要ꎬ函数概念也是这样.致力于运动研究的科学家们ꎬ在天体位置、航海测量、炮弹射程等问题中ꎬ探究两个变量之间的关系ꎬ这正是函数产生和发展的背景.１６９２年德国数学家莱布尼兹首次使用“ｆｕｎｃｔｉｏｎ”一词ꎬ用函数表示随曲线的变化而改变的几何量ꎬ如坐标、切线等ꎻ１７１８年瑞士数学家约翰􀅰贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上ꎬ强调函数要用公式表示ꎻ１７５５年瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量ꎬ一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式”ꎬ这是解析式函数ꎬ有很大的局限.突破这一局限的是杰出的德国数学家狄利克雷.１８３７年狄利克雷提出:“如果对ｘ的每一个确定值ꎬｙ总有一个确定的值与之对应ꎬ那么ｙ是ｘ的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵ꎬ只要有一个法则ꎬ使得取值范围内的每一个ｘ值ꎬ有一个确定的ｙ和它对应就行ꎬ不管这个法则是公式、图像、表格还是其他形式.这与初中所学的函数定义已经接近.十九世纪末ꎬ随着集合概念的出现ꎬ函数概念进而用更加严谨的集合和对应语言表达ꎬ形成了高中学习的函数概念.综上所述ꎬ函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关ꎬ而且随着研究的深入ꎬ函数概念不断得到严谨化、精确化的表达ꎬ科技在进步ꎬ函数概念还在继续发展.

二、函数概念的理解之“迷”

学生初学时会有疑惑:为什么初中和高中所学的函数概念不一样呢?教师一般会回答:只是看问题的角度不同ꎬ初中阶段的概念是运动变化观点下的变量间的依赖关系ꎬ而高中阶段的概念是集合观点下的对应关系ꎬ它们的实质是一样的.

笔者对函数概念有了更深层地理解ꎬ是在学习了Ａ.Ｓｆａｒｄ提出的数学概念的二重性理论之后.对许多数学概念ꎬ若将其看作是一个静态的整体性的实体ꎬ那么它就具备对象的特点ꎬ若是将其看作是一种数学运算或变换ꎬ则体现了过程的特点.Ａ.Ｓｆａｒｄ认为数学概念具有两个侧面ꎬ从过程角度看是一种操作性概念ꎬ从对象角度看是一种结构性概念ꎬ二者在概念形成过程中是先操作后结构的ꎬ这是符合人类认知规律的ꎬ而最终在认知结构中是共存的ꎬ在不同的时机发挥不同的作用.函数概念正是这样具备过程与操作性和对象与结构性双重特征的概念ꎬ从过程侧面理解函数是从一个变量得到另一个变量的方法ꎬ从一个集合到另一个集合的对应ꎬ从对象侧面理解函数可以是有序数对的集合ꎬ两个数集间的关系.

三、教学情境设计之“迷”

新课改后的几版教材对函数概念的处理方式存在很大的差异ꎬ但是教师应该“用教材教ꎬ而不是教教材”.因此ꎬ面对众多的教学素材和多样的教学思路ꎬ教师应针对学生的

认知水平和思维能力的差异ꎬ提出不同的教学方案.现将笔者实践方案中的几个片段与大家分享.

片段１　映射概念

原大纲版教材采用的方式是奥苏伯尔的概念同化策略:先映射后函数ꎬ但因映射本身是一个相当抽象的概念ꎬ用它来构建函数概念ꎬ实现从一般到特殊的演绎ꎬ对学生思维能力要求较高.新课改后ꎬ只有湘教版采用这种方式ꎬ其他各版教材都采用了先函数后映射的方式.这种方式体现了概念的形成ꎬ与初中所学函数知识衔接自然ꎬ更符合一般学生的学习心理ꎬ也更接近学生从具体到抽象、从特殊到一般的思维习惯.函数是特殊的映射ꎬ可以把映射看作函数概念的推广ꎬ也可以用映射概念来帮助理解函数.映射可安排在第二课时完成ꎬ这样的安排凸显了函数的核心地位ꎬ淡化了映射ꎬ也符合课程目标.

片段２　情境引入

为了让学生能更好地理解抽象的函数概念ꎬ各版教材都采用利用丰富的背景实例创设问题情境的方式引入.在问题的引导下ꎬ归纳出函数的概念ꎬ引导学生感受函数概念的原发现过程ꎬ体会数学的应用价值ꎬ培养学生“用数学的眼光看问题”和“数学思维”.人教版和苏教版的三个实例都是选自运动(随时间变化炮弹高度)、自然界(臭氧层空洞面积的变化)和经济生活(恩格尔系数变化)ꎬ以解析法、图像法、列表法三种不同方式表示ꎬ既可以让学生感受函数的广泛应用ꎬ又可以使学生意识到对应关系不仅可以是明确的解析式ꎬ也可以是形象直观的曲线或表格ꎬ还可以是抽象的描述.

片段３　认识符号

函数定义中采用的符号对学生来说是陌生的ꎬ掌握好它有利于函数概念的理解.函数从对象整体的角度看是集合间的对应关系ꎬ表示为ｆ:Ａ→Ｂꎻ从过程的角度看是变量间的依赖关系ꎬ记为ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ表示“ｙ是ｘ的函数”.符号ｆ(ａ)与ｆ(ｘ)既有区别ꎬ又有联系.要掌握这些符号ꎬ可以先通过解析法表示的具体函数体会ꎬ再在例题中巩固ꎬ这样的学习任务与学生的思维最近发展区相适应ꎬ可以激发学生的学习热情和信心.

片段４　融入数学史

仔细对比研究会发现:学生学习函数的过程和函数概念的发展历程有着相似之处ꎬ都经过了四个阶段:从实际问题中发现变量间的依赖关系→用数学表达式描述变量间关系→发现更多样的对应关系→集合表示的对应关系.教师可以在课堂小结环节简要讲解“函数概念的发展历程”ꎬ引导学生体会过程的相似性和初中函数概念的局限性ꎬ使学生更深刻地理解概念的实质ꎻ将有关函数发展史的“阅读与思考”结合“实习作业”布置为周末小论文ꎬ开拓学生的数学视野ꎬ认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.通过这些活动ꎬ把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态ꎬ可以提高学生学习数学的兴趣和信心.

总之ꎬ教学设计应遵循激发动机和兴趣的情意原则:创设问题情境引导学习ꎬ激活思维ꎬ激发求知欲ꎻ铺设恰当的认知阶梯ꎬ呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务ꎬ激发学习热情.形成式概念的教学设计应遵循学生的学习过程与知识的发生发展过程有机整合的过程原则:还原概念的原发现过程ꎻ还原思维的发展过程ꎬ构建一条“从具体到抽象、从特殊到一般、由此及彼、由表及里、从片面到全面”的思维通道.

数学学习与研究　２０１９􀆰２２