2012届高考数学专题训练试题11

(限时60分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 4

1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，

5则m的值为( ) 133

A．－ B．－ C.

2221D. 2解析：cosα＝答案：D π4π22．如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( )

25422222A. B．－ 554242C. D．－ 55π2ππ24解析：sin(α＋)－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝424425222

×＝. 25

答案：A

23．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝3，则tanA·tanB的

3值为( )

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－8m41＝－⇒m＝. 2252－8m＋－3 www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 111

A. B. C. 4325

D. 3

解析：∵C＝120°，

∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC＝－tan120°＝3. tanA＋tanB又∵tan(A＋B)＝， 1－tanAtanB233∴3＝. 1－tanAtanB21∴1－tanAtanB＝，tanAtanB＝. 33答案：B 4．(精选考题·北京东城检测)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：由正弦定理及sinA＝3sinC，得a＝3c.再由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴b2＝c2，即b＝c，则A＝120°. 答案：D 5．已知sinβ＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tanα，则实数m的值为( )

1

A．2 B. C．3

21D. 3

解析：因为sinβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com β)＋α]，即sin

(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，也即(1－m)sin

tanα＋β1＋m

(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα，所以＝＝3，

tanα1－m1

所以m＝.

2答案：B AB6．锐角三角形ABC中，若C＝2B，则AC的范围是( ) A．(0,2) B．(2，2) C．(2，3) D．(3，2) 解析：设△ABC三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，ABcsinCsin2B则有AC＝b＝＝＝2cosB. sinBsinBππ又∵C＝2B＜，∴B＜. 24π又A＝π－(B＋C)＝π－3B＜， 2πππ∴B＞，即＜B＜， 664∴23＜cosB＜，2＜2cosB＜3. 22答案：C

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．(精选考题·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com π

解析：由题可知，sinB＋cosB＝2，所以2sin(B＋)＝2，

4π22ab所以B＝，根据正弦定理可知＝，可得＝，故

4sinAsinBsinAπ

sin4πA＝. 6

π答案： 68．已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB＋cosB)＋cosC＝0，则A＝________. 解析：∵cosA(sinB＋cosB)＋cosC＝0， ∴cosAsinB＋cosAcosB＋cos[π－(A＋B)]＝0， ∴cosAsinB＋cosAcosB－cos(A＋B)＝0， cosAsinB＋cosAcosB－cosAcosB＋sinAsinB＝0， 即cosAsinB＋sinAsinB＝0. 又∵sinB≠0，∴cosA＋sinA＝0， 3π又A是三角形的内角，∴A＝. 43π答案： 439．(精选考题·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，5π则tan(＋2α)＝________.

4

3

解析：由cos2α＝2cos2α－1＝－，且α为第三象限角，得cosα

51＋tan2α54π1

＝－，则tanα＝2，tan2α＝－，tan(＋2α)＝＝－. 53471－tan2α

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 1

答案：－

7

三、解答题(本大题共3个小题，共46分)

113

10．(本小题满分15分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β

714π

＜α＜.

2

(1)求tan2α的值； (2)求β. 1π解：(1)由cosα＝，0＜α＜，得 72sinα＝1－cosα＝∴tanα＝212431－＝， 77sinα437＝×＝43， cosα712×432tanα83于是tan2α＝＝＝－. 471－tan2α1－432ππ(2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜， 2213又∵cos(α－β)＝， 14∴sin(α－β)＝1－cos2α－β ＝ 13331－2＝， 141443

由β＝α－(α－β)，且sinα＝得

7cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 11343331＝×＋×＝， 7147142

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com ππ

又∵0＜β＜，所以β＝.

23

11．(本小题满分15分)(精选考题·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C所对边长分别为

a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc. (1)求sinA的值；

ππ2sinA＋sinB＋C＋44(2)求的值． 1－cos2Ab2＋c2－a222解：(1)由余弦定理得cos A＝＝. 2bc31又0＜A＜π，故sinA＝1－cos2A＝. 3ππ2sinA＋sinπ－A＋44(2)原式＝ 1－cos2Aππ2sinA＋sinA－44＝ 2sin2A2＝2222sinA＋cosAsinA－cosA2222 2sin2Asin2A－cos2A7＝＝－. 2sin2A212．(本小题满分16分)(精选考题·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 解：由题意知AB＝5(3＋3)海里，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30)°＝105°，

DBAB在△DAB中，由正弦定理得＝，

sin∠DABsin∠ADB∴DB＝

AB·sin∠DAB53＋3·sin45°

＝ sin105°sin∠ADB53＋3·sin45°＝ sin45°cos60°＋cos45°sin60°533＋1＝＝103(海里)， 3＋12又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝203(海里)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC 1＝300＋1200－2×103×203×＝900， 2∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝答：救援船到达D点需要1小时． 1．(精选考题·绵阳一诊)记a＝sin(cos精选考题°)，b＝sin(sin精选考题°)，c＝cos(sin精选考题°)，d＝cos(cos精选考题°)，则a、b、c、d中最大的是( )

A．a B．b C．c D．d

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30＝1(小时)． 30 www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 解析：注意到精选考题°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin精选考13π3题°＝－sin30°＝－，cos精选考题°＝－cos30°＝－，－＜－＜

2222π113π133

0，－＜－＜0,0＜＜＜，cos＞cos＞0，a＝sin(－)＝－

22222222311113sin＜0，b＝sin(－)＝－sin＜0，c＝cos(－)＝cos＞d＝cos(－)222222＝cos3＞0. 2答案：C 2．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则为( ) 3585A. B. C. D. 5358解析：由余弦定理可得25＋b2－10bcos120°＝49⇒b＝3，由正弦sinBb3定理得＝＝. sinCc5答案：A 3．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝5b，A＝2B，则cosB＝( ) 2555

A. B. C. 3455

D. 6

sinAsinB

解析：由正弦定理得a＝b， 5

又∵a＝b，A＝2B，

2

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sinB的值sinC www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com sin2BsinB∴＝b，b≠0，sinB≠0，

5b2∴2cosB5

＝1，∴cosB＝. 45

2

答案：B

4．(精选考题·江西高考)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝5333，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD. 1353π解：由cos∠ADC＝＞0知B＜. 52124由已知得cos B＝，sin∠ADC＝. 135从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－

4123533cos∠ADCsinB＝×－×＝. 51351365ADBD由正弦定理得＝， sinBsin∠BAD533×13BD·sinB所以AD＝＝＝25. 33sin∠BAD655．(精选考题·安徽高考)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别ππ是内角A，B，C所对边长，并且sinA＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B.

33

2(1)求角A的值；

AC＝12，a＝27，求b，c(其中bππ

解：(1)因为sinA＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B

33

2

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com ＝(

3131

cosB＋sinB)(cosB－sinB)＋sin2B 2222

313＝cos2B－sin2B＋sin2B＝， 444

3π所以sinA＝±.又A为锐角，所以A＝.

23(2)① 由② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA， 将③ 由③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10. 因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根． 解此方程并由c>b知c＝6，b＝4. πππ26．已知函数f(x)＝2sin(x－)cos(x－)＋23cos(x－)－3. 333(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值； π(2)若函数y＝f(2x)－a在区间[0，]上恰有两个零点x1，x2，求4tan(x1＋x2)的值． 2π2π

解：(1)f(x)＝sin(2x－)＋3[1＋cos(2x－)]－3

332π2ππ

＝sin(2x－)＋3cos(2x－)＝2sin(2x－)，

333

ππ5π

∴函数f(x)的最大值为2，此时2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝

3212

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由

AB·AC＝12可得cbcosA＝12.

(1)知A＝π3，所以cb＝24.

a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，

www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com ＋kπ，k∈Z.

π

(2)f(2x)＝2sin(4x－)，

3

πππ2π

令t＝4x－，∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，

3433

π

设t1，t2是函数y＝2sint－a的两个相应零点(即t1＝4x1－，t2＝

3π4x2－)， 3由函数y＝2sint的图象性质知t1＋t2＝π， ππ即4x1－＋4x2－＝π， 33ππ∴x1＋x2＝＋， 46ππtan＋tan1＋46ππ∴tan(x1＋x2)＝tan(＋)＝＝46ππ1－tan×tan461－

33＝2＋3. 33www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com