正方形一个经典问题及其变式

一个经典问题及其变式

一、基本结论

1如图，E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且角EAF=45度。求证:EF=BE+DF。

2如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE+DF=EF；求证：∠EAF=45°．

二、变式运用

3（2014绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ） ．

4如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°． （1）求证：BE+DF=EF；（2）若BE=3，DF=2，求AB的长．

5.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．

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6图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。

7如图,正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在BC,CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°.求△AEF的面积.

8(2015十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为( )

三、模型区别

9如图,点E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上一点,且AE平分∠BEF,连AF. （1）求证:∠EAF=45°(2)若点E为BC的中点,AB=6,求S△AEF.

10如图,已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于点F. 求证：BE=AE+CF

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四、提高运用

11如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

12在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB 试猜想当∠B与∠D满足什么条件时，可使得DE+BF=EF

13如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD成立；

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．

（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

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14（2014德州）

问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；

探索延伸：如图2若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．