1、若 为等差数列,且 则 ;
2、若 为等差数列, 当为奇数时, , ( 中间项),
当n为偶数时, 。
3、若 为等差数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等差数列。
4、等差数列 中,若 ,则 , 是其前 项之和,有如下性质,
一般地: ,由此式可以推出:
(1)若 ,则 ;
(2)若 则 ;
(3)若 则 ;
(4)若 ,则 。
5、有两个等差数列 、 ,若 ,则 。
6、若 为等差数列, 为公差,则 。
7、若 、 都是等差数列,公差分别为 、 ,若这两个数列有公共项,则公共项组成的新数列一般仍为等差数列。
8、等差数列 中, (d为公差)。
若公差非零的等差数列 中的三项 构成等比数列,则其公比为: 。
9、等差数列前项和公式 。
10、在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法来求解,分类如下:
(1)当 时,满足 的项数 ,使得 取最大值;
(2)当 时,满足 的项数 ,使得 取最小值;
说明: 存在最大值,只需 , 存在最小值,只需 。
11、若 为等比数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等比数列。( )。
12、若 为等比数列,且 则 ;
,
13、若 为等比数列, 、 、 成等差数列,则 、 、 成等比数列,其中 、 、
14、若 为等比数列,则 。
15、若 为等差数列,则 。
16、 ;
;
。
17、两个特殊的裂项: , 。
18、由递推公式求数列通项公式类型与方法归类:
类型(ⅰ) 方法:累加法
累加公式:
类型(ⅱ) 方法:累乘法
累乘公式:
类型(ⅲ) 方法:不动点法
配成 ,等比数列,其中 ;
类型(ⅳ) 方法有二
方法一:可配成 ,即类型(ⅲ),配成等比数列.
方法二:可变成 ,即类型(ⅰ),累加法.
类型(ⅴ) 方法:取对数法
等价变形为: ,即类型(ⅲ),配成等比数列.
类型(ⅵ) 方法:特征方程法
(1)若 ,原式可变成: ,先求等比,再累加求 .
(2)若 ,考察特征方程, ,设其两根为 ,分类讨论如下:
①若 ,可求
②若 ,可求 (其中a,b的值由 解出)
类型(ⅶ) 方法:不动点法
类型(ⅷ) 方法:不动点法 说明:"不动点法"可参考相关文献
特别地:选择或填空题中,若所求数列某项的项数较大,且求通项不容易,则该数列可能为周
期数列,可通过归纳求某项。
19、求数列前 项和类型与方法归类
(1)若 为等差数列, 为等比数列,则数列 前 项的和可用错位相减法求得。
(2)如果一个数列 ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,这样的数列可用倒序相加法求和。
形如下列题型:已知函数 为定值 ,
求 的值,就可用倒序相加法求和。
(3)若通项为 个连续自然数积的倒数,则一般可用裂项法求前 项的和。如 是公差为 的等差数列,则有 ,
(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时,如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列,此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)。
20、数列 是公差非零的等差数列的充要条件是: 是关于 的一次函数,或 是关于 的不含常数项的二次函数。(有时可设 ,若 ,则 是常数列)
21、等差数列 的前 项的算术平均值 是等差数列,等比数列前 项的几何平均值是等比数列。
22、一般地,若 为等差数列, 是 的前 项和,则 也是等差数列。
23、等差数列 中, , 且 ,则使前 项和 成立的最大自然数 是 。
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