二次函数知识点总结

二次函数知识点

一、二次函数概念：

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1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

222a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

a0 0，0 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，a0 2向下 y轴 y有最大值0． 2. yaxc的性质： 上加下减。

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

a0 0，c 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． a0 向下 y轴 3. yaxh的性质：

左加右减。 4.

2a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 a0 h，0 h，0 xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． a0 向下 X=h yaxhk的性质：

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 2a0 h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． 1

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三、二次函平移 1. 平移一切为了孩子美好的未来

X=h a0 向下 h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 数图象的步骤： k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，22y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴

yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵

yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或

ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数yaxhk与yaxbxc的比较

22从解析式上看，yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

22b4acb2b4acb2yax，其中h． ，k2a4a2a4a五、二次函数yaxbxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc化为顶点式ya(xh)k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与

2222c、c关于对称轴对称的点2h，c、以及0，y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与

六、二次函数yaxbxc的性质

2y轴的交点.

b4acb2b， 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为． 2a4a2a 2

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4acb2bbb当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值．

4a2a2a2ab4acb2bb， 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随x的增大而增大；当．当x2a4a2a2a4acb2bb． x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即

22b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，2b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x总结： 3. 常数项c

b在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右异” 2ay轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

⑴ 当c0时，抛物线与二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，

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才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；

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yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2. 关于y轴对称 yaxbxc关于

2222y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3. 关于原点对称

yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2222b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

22220，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，2b24acaxbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

a2② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

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1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

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2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2. 抛物线yaxbxc的图象与3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=2x2y=x2222y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 一元二次方程有两个相等的实数根 0 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. y=x22y= -x22y= -x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切为了孩子美好的未来

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

y=2x2y=2(x-4)2刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直

y=2(x-4)2-3y(m2)x2m2m2的图像经过原点， 则m的

角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数

ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（ ）

y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。 34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 32已知抛物线yaxbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

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例1 （1）二次函数yaxbxc的图像如图1，则点M(b,2一切为了孩子美好的未来

c)在（ ） a A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． （1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.

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例5、已知抛物线y=

125x2+x-．

2

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x12

x2)，交y轴负半轴于C点，

且满足3AO=OB．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1∴x2>O，x1∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO．

(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，

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∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标满足-1∠ACO． 例7、 “已知函数

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y12， xbxc的图象经过点A（c，－2）

2

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据

y12xbxc的图象经过点2A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得

122cbcc2, b3,122解得b3,

c2.所以所求二次函数解析式为（2）在解析式中令y=0，得

y12x3x2.图象如图所示。 212x3x20，解得x135,x235. 25,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0).

所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+令x=3代入解析式，得所以抛物线

5y,

2125x3x2的顶点坐标为(3,), 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。

2y函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

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（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则一切为了孩子美好的未来

15kb25, 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．

2kb20 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

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