一、选择题
1．下面四个实数，你认为是无理数的是（ ） A．
B．
C．3 C．﹣
D．0.3
2．下列四个数中，是负数的是（ ） A．|﹣2|
B．（﹣2）2
D．
3．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法： ①a是无理数；
C．①②④
②a可以用数轴上的一个点来表示； ③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（ ） A．①④
B．②③
D．①③④
的结果为（ ）
4．b在数轴上的位置如图所示，实数a、且|a|＞|b|，则化简
A．2a+b
B．﹣2a+b
=k
，
C．m＜n＜k C．b =15
，
=6
D．2a﹣b
，则下列有关于k、
5．k、m、n为三整数，若
m、n的大小关系，何者正确？（ ） A．k＜m=n 6．下列说法：
B．m=n＜k
D．m＜k＜n
①5是25的算术平方根； ②是
的一个平方根；
③（﹣4）2的平方根是﹣4；
④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1． 其中正确的个数有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．下列计算正确的是（ ）
A．C．
=
=
D．
×
=
B．
=﹣
8．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根 C．8的算术平方根
B．4的立方根 D．8的立方根
D．
9．下列各式正确的是（ ） A．C．
B．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[的值为（ ） A．3 二、填空题 11．﹣
B．4
C．5
D．6
]
的相反数是 ．
12．16的算术平方根是 ．
13．写出一个比﹣3大的无理数是 ． 14．化简
﹣
= ．
15．比较大小：2 π（填“＞”、“＜”或“=”）．
16．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 ． 17．若x，y为实数，且|x+2|+18．已知m=
=0，则（x+y）2014的值为 ．
）0．
，则m2﹣2m﹣2013= ．
﹣2|+÷（
；
三、解答题（共66分） 19．（2012﹣π）0﹣（）﹣1+|（2）1+（﹣）﹣1﹣
20．先化简，再求值：
，b=
；
．
（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣21．有这样一个问题：A、
（2）如果一个数与
22．计算： （1）（2）2（3）（
+÷﹣4
+×+3
；B、
与下列哪些数相乘，结果是有理数？
；D、
；C、
；E、0，问题的答案是（只需填字母）： ；
相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）． ﹣； ）÷2
． ；
23．甲同学用如图方法作出C点，表示数且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC （1）请说明甲同学这样做的理由；
，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，
的点A．
（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣
24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．
（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？
，2
．
（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，
25．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）
=
=
；
，
（二）===﹣1；
（三）==
=
： = ． = ． +
+…+
=﹣1．以上这种化简的方法叫
分母有理化．
（1）请用不同的方法化简①参照（二）式化简②参照（三）式化简（2）化简：
+
．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下面四个实数，你认为是无理数的是（ ） A．
【考点】无理数．
B．
C．3
D．0.3
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：、3、0.3是有理数， 是无理数， 故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
C．﹣
2．下列四个数中，是负数的是（ ） A．|﹣2|
B．（﹣2）2
D．
【考点】实数的运算；正数和负数．
【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、|﹣2|=2，是正数，故本选项错误； B、（﹣2）2=4，是正数，故本选项错误； C、﹣D、故选C．
＜0，是负数，故本选项正确；
=
=2，是正数，故本选项错误．
【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键．
3．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
C．①②④
②a可以用数轴上的一个点来表示； ③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（ ） A．①④
B．②③
D．①③④
【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．
，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关
【分析】先利用勾股定理求出a=3
系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a， ∴a=①a=3
=
=3
．
是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确； ③∵16＜18＜25，4＜
＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确． 所以说法正确的有①②④． 故选C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．
的结果为（ ）
4．b在数轴上的位置如图所示，实数a、且|a|＞|b|，则化简
A．2a+b
B．﹣2a+b
C．b
D．2a﹣b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0，b＞0， 原式=﹣a﹣[﹣（a+b）]=﹣a+a+b=b． 故选C．
【点评】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
=k
，
C．m＜n＜k =15
，
=6
，则下列有关于k、
5．k、m、n为三整数，若
m、n的大小关系，何者正确？（ ） A．k＜m=n
B．m=n＜k
D．m＜k＜n
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断． 【解答】解：
=3
，
=15
，
=6
，
可得：k=3，m=2，n=5， 则m＜k＜n． 故选：D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
6．下列说法：
①5是25的算术平方根； ②是
的一个平方根；
③（﹣4）2的平方根是﹣4；
④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1． 其中正确的个数有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【分析】根据平方根、算术平方根以及立方根逐一分析4条结论的正误，由此即可得出结论．【解答】解：①∵52=25， ∴5是25的算术平方根，①正确；
②∵∴是
=，
的一个平方根，②正确；
③∵（±4）2=（﹣4）2，
∴（﹣4）2的平方根是±4，③错误； ④∵02=03=0，12=13=1，
∴立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1，正确． 故选C．
【点评】本题考查了方根、算术平方根以及立方根，解题的关键是根据算术平方根与平方根的定义找出它们的区别．
=
B．
=
﹣
7．下列计算正确的是（ ） A．C．
=
=
D．
×
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可． 【解答】解：
=
=
×
，A错误；
，B错误；
是最简二次根式，C错误； =
，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根 C．8的算术平方根
B．4的立方根 D．8的立方根
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可．
【解答】解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3， 而
=2，
＜2，2＜
=2
＜3，
=2，
只有8的算术平方根符合题意． 故选C．
【点评】此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
D．
9．下列各式正确的是（ ） A．C．
【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的运算性质化简． 【解答】解：A、原式=
，错误；
B．
B、被开方数不同，不能合并，错误； C、运用了平方差公式，正确； D、原式=故选C．
=
，错误．
【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[的值为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
]
【考点】估算无理数的大小． 【分析】先求出【解答】解：∵3＜∴4＜
+1＜5，
+1的范围，再根据范围求出即可． ＜4，
∴[+1]=4，
+1的范围．
故选B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出 二、填空题 11．﹣
的相反数是
．
【考点】实数的性质．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣故答案为：
．
的相反数是
，
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
12．16的算术平方根是 4 ． 【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
13．写出一个比﹣3大的无理数是 如【考点】实数大小比较．
等（答案不唯一） ．
【分析】根据这个数即要比﹣3大又是无理数，解答出即可． 【解答】解：由题意可得，﹣故答案为：如
＞﹣3，并且﹣
是无理数．
等（答案不唯一）
【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
14．化简
﹣
= ﹣
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【解答】解：原式=2
﹣3
=﹣
．
【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
15．比较大小：2
＜ π（填“＞”、“＜”或“=”）．
【考点】实数大小比较． 【分析】首先利用计算器分别求2
【解答】解：因为2所以
＜π．
和π的近似值，然后利用近似值即可比较求解．
≈2.828，π≈3.414，
【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要采用了求近似值来比较两个无理数的大小．
．
16．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 【考点】平方根．
【分析】由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得x=﹣， 所以3x﹣2=﹣，5x+6=， ∴（
）2=
．
故答案为：
【点评】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．
17．若x，y为实数，且|x+2|+
=0，则（x+y）2014的值为 1 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y方程组，然后解方程组求出x、y的值，再代入原式求解即可．
，
【解答】解：由题意，得：
解得；
∴（x+y）2014=（﹣2+3）2014=1； 故答案为1．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
18．已知m=
，则m2﹣2m﹣2013= 0 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先分母有理化，再将m2﹣2m﹣2013变形为（m﹣1）2﹣2014，再代入计算即可求解．
【解答】解：m=则m2﹣2m﹣20130 =（m﹣1）2﹣2014 =（
=
+1，
+1﹣1）2﹣2014
=2014﹣2014 =0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
三、解答题（共66分） 19．（2012﹣π）0﹣（）﹣1+|（2）1+（﹣）﹣1﹣
﹣2|+÷（
；
）0．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算； （2）根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的意义计算． 【解答】解：（1）原式=1﹣3+2﹣=0；
）÷1
+
（2）原式=1﹣2﹣（2﹣=1﹣2﹣2+=
﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
，b=
；
．
20．先化简，再求值：
（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可； （2）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab） =a2﹣4b2﹣b2 =a2﹣5b2， 当a=
，b=
时，原式=（
）2﹣5×（
）2=﹣13；
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2， =4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5， 当x=
时，原式=﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．有这样一个问题：A、
；B、
与下列哪些数相乘，结果是有理数？
；D、
；C、
；E、0，问题的答案是（只需填字母）： A、
D、E ； （2）如果一个数与
相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解； （2）根据（1）的结果可以得到规律． 【解答】解：（1）A、D、E；
注：每填对一个得，每填错一个扣，但本小题总分最少0分．
=a（a为有理数），所以x=
a视同x=
）
（2）设这个数为x，则x（a为有理数）．
（注：无“a为有理数”扣；写x=
【点评】此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅读比较多，解题时要注意审题，正确理解题意． 22．计算： （1）（2）2（3）（
+÷﹣4
+×+3
﹣； ）÷2
． ；
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式=4=6
+
；
+5+﹣3
（2原式=2×××=
；
﹣2
+6
（3）原式=（=（=
+4+2．
）÷2
）÷2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
23．甲同学用如图方法作出C点，表示数且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC （1）请说明甲同学这样做的理由；
，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，
的点A．
（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得到点C表示的数；
的点． =
=
（2）由29=25+4，依据勾股定理即可做出表示﹣【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OB=∵OB=OC， ∴OC=
．
．
，
∴点C表示的数为（2）如图所示：
取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2． 由勾股定理可知：OC=∵OA=OC=
．
．
=
=
．
∴点A表示的数为﹣
【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．
（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？
，2
．
（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，
【考点】勾股定理；二次根式的应用．
=
，
【分析】（1）利用勾股定理得出AB，BC，AC的长，进而得出答案； （2）直接利用各边长结合勾股定理得出答案． 【解答】解：（1）如图①所示：AB=4，AC=
=3
，BC=
所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数；
（2）如图②所示：
【点评】此题主要考查了勾股定理以及二次根式的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
，
25．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）
=
=
；
（二）===﹣1；
（三）==
=
： = = +
﹣﹣
． ． +…+
=﹣1．以上这种化简的方法叫
分母有理化．
（1）请用不同的方法化简①参照（二）式化简②参照（三）式化简（2）化简：
+
．
【考点】分母有理化．
【分析】（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）① ②
=
=
=
﹣
；
=
=
﹣
；
（2）原式=
+
﹣
++…+
==．
故答案为：（1）①；②﹣
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．
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