第六章实数单元测试题
评卷人 得 分
一．选择题（每小题3分，共30分） 1．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③
是3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．A．4
的值为（ ） B．﹣4 C．±4 D．﹣16
，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次
3．下列各数中，3.14159，加1个），﹣π，
，
，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果±1是b的平方根，那么b2013等于（ ） A．±1 B．﹣1 C．±2013 D．1 5．已知A．24.72 6．若A．0
B．1
C．2
D．3
=﹣2，③
=2，④
=﹣
，⑤
=
=1.147，B．53.25
=2.472，C．11.47
D．114.7
=0.5325，则
的值是（ ）
，则2a+b﹣c等于（ ）
7．下列等式：①±4，⑥﹣A．4
=，②
=﹣2；正确的有（ ）个． C．2
D．1
B．3
8．估计的值在（ ）
A．5到6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
9．已知实数a，b，c在数轴上的位置是：a在b的左边，b在0的左边，c在0的右边，则计算a+|b﹣a|+|b﹣c|的结果是（ ）
第1页（共18页）
A．c B．2b+cC．2a﹣c D．﹣2b+c
的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
10．如图所示，数轴上表示3、则点A表示的数是 （ ）
A．
B． C． D．
评卷人 得 分
二．填空题（每小题3分，共30分） 11．
的平方根是 ．
|= ．
有意义，则x可以取的最小整数是 ．
12．|1﹣
13．要使式子
14．如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A′重合，则点A′表示的数为 ．
15．已知：16．将实数17．已知5+
，则x+17的算术平方根为 ．
，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为 ． 的整数部分为a，5﹣
的小数部分为b，则a+b的值为 ．
18．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是 ． 19．已知：2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 20．.我们知道
=555，
则计算：
第2页（共18页）
=5，付老师又用计算器求得：
=5555，
（2016个3，2016个4）= ．
=55、
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，共60分）
21．（本小题6分）把下列各数填入相应的大括号里．﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π， 0，
，0.03，﹣3，10，﹣0.
，﹣
正分数集合{ …}； 正数集合 { …}； 整数集合 { …}； 非正数集合{ …}； 有理数集合{ …}； 自然数集合{ …}． 22．（本小题12分）计算： ①|1﹣
|+|
﹣
|+|+）3+﹣|﹣5|+
﹣2|+|2﹣
|；
；
②（﹣2）3×③|
|﹣（
×（﹣）2﹣﹣|+
|﹣1；
．
④+（﹣1）2009+
23．（本小题6分）利用平方根、立方根的意义解方程 （1）4x2=25 （2）27x3+125=0． 24．（本小题6分）已知：整数部分和小数部分．
25．（本小题6分）国际比赛的足球场长在100米到110米之间，宽在64米到75米之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560平方米，问这个足球长是否能用作国际比赛吗？
26．（本小题6分）已知实数a、b与c的大小关系如图，化简：
第3页（共18页）
=0，求实数a，b的值，并求出的
﹣
+．
27．（本小题6分）先阅读然后解答提出的问题： 设a、b是有理数，且满足解：由题意得有理数，由于（﹣2）3=﹣8．
问题：设x、y都是有理数，且满足
，求x+y的值．
，求ba的值．
，因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是
是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以ba=
28．（本小题12分）如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）填空：
①A、B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近
于P点，求PM﹣BN的值．
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第六章实数单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③
是3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平方根的定义判断①； 根据实数的定义判断②； 根据立方根的定义判断③； 根据无理数的定义判断④； 根据算术平方根的定义判断⑤．
【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故判断错误；
②实数包括无理数和有理数，故判断正确； ③
是3的立方根，故判断正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故判断错误； ⑤2的算术平方根是故选B．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握． 2．A．4
的值为（ ） B．﹣4 C．±4 D．﹣16
，故判断正确．
【分析】先求出被开方数，再根据算术平方根的定义进行解答． 【解答】解：故选B．
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=﹣=﹣4．
【点评】本题主要考查了算术平方根的计算，先求出被开方数是解题的关键．
3．下列各数中，3.14159，加1个），﹣π，
，
，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次
，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数． 【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个． 故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．如果±1是b的平方根，那么b2013等于（ ） A．±1 B．﹣1 C．±2013 D．1
【分析】根据1的平方根是±1确定出b=1，然后根据有理数的乘方进行计算即可得解．
【解答】解：∵±1是b的平方根， ∴b=1，
∴b2013=12013=1． 故选D．
【点评】本题考查了平方根的定义，有理数的乘方，是基础题，确定出b的值是解题的关键． 5．已知A．24.72
=1.147，B．53.25
=2.472，C．11.47
D．114.7
=0.5325，则
的值是（ ）
【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答． 【解答】解：故选C．
【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变
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==1.147×10=11.47．
化规律． 6．若A．0
B．1
C．2
D．3
，则2a+b﹣c等于（ ）
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
则2a+b﹣c=﹣4+1+3=0． 故选A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．下列等式：①±4，⑥﹣A．4
=，②
=﹣2，③
=2，④
=﹣
，⑤
=
=﹣2；正确的有（ ）个． C．2
D．1
B．3
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根． 【解答】解：
=，故①正确．
=4，故⑥正确． 其他②③④⑤是正确的． 故选A．
【点评】本题考查立方根和平方根的概念，然后根据概念求解． 8．估计
的值在（ ）
A．5到6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
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【分析】先求出的范围，再求出
＜3，
+1的范围即可．
【解答】解：∵2＜∴3＜∴
+1＜4，
+1在3和4之间．
故选C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出关键．
9．已知实数a，b，c在数轴上的位置是：a在b的左边，b在0的左边，c在0的右边，则计算a+|b﹣a|+|b﹣c|的结果是（ ） A．c
B．2b+cC．2a﹣c
D．﹣2b+c
的范围是解此题的
【分析】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：a＜b，则b﹣a＞0，c＞b，则b﹣c＜0．
【解答】解：根据题意可知：a＜b，则b﹣a＞0，c＞b，则b﹣c＜0， 原式=a+（b﹣c）+（c﹣b）=a+b﹣a+c﹣b=c． 故选A．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系和利用绝对值的性质化简．
10．如图所示，数轴上表示3、则点A表示的数是 （ ）
的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
A． B． C． D．
【分析】点C是AB的中点，设C表示的数是c，则的值．
【解答】解：点C是AB的中点，设C表示的数是c，则﹣
．
﹣3=3﹣c，即可求得c
﹣3=3﹣c，解得：c=6
故选C．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，正确理解c与3和
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之间的关系
是关键．
二．填空题（共10小题） 11．
的平方根是 ± ．
【分析】由=3，再根据平方根定义求解即可．
=3， ．
【解答】解：∵∴
的平方根是±
故答案为：±．
【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键． 12．|1﹣
|= ﹣1 ．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：|﹣故答案为：
|=
﹣1．
﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
13．要使式子【分析】由于式子
有意义，则x可以取的最小整数是 2 ．
是一个二次根式，所以被开方数是一个非负数，由此即
可求出x的取值范围，然后可以求出x可以取的最小整数． 【解答】解：∵式子∴3x﹣5≥0， ∴x≥，
∴x可以取的最小整数是x=2．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，首先利用二次根式的定义求出字母的取值范围，然后利用x取整数的要求即可解决问题．
14．如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A′
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有意义，
重合，则点A′表示的数为 π﹣1 ．
【分析】先求得圆的周长，再用周长减去1即可得出点A′表示的数 【解答】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为π，
∴点A′所表示的数为π﹣1， 故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离的求法是大数减去小数．
15．已知：【分析】首先利用【解答】解：∵∴5x+32=﹣8， 解得：x=﹣8， ∴x+17=﹣8+17=9， ∵9的算术平方根为3， ∴x+17的算术平方根为 3， 故答案为3．
【点评】本题考查了立方根及算术平方根的意义，解题的关键是首先求得x的值，然后求x+17的算术平方根．
16．将实数﹣π ．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解答可得． 【解答】解：∵|﹣π|＞|﹣
|，
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，则x+17的算术平方根为 3 ．
求得x的值，然后在求x+17的算术平方根即可． ，
，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为 1＞0＞﹣＞
∴﹣π＜﹣则实数
，
，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为1＞0＞﹣
＞﹣π．
＞﹣π，
故答案为：1＞0＞﹣
【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
17．已知5+
． 【分析】先估算出a，b的值． 【解答】解：∵3＜∴8＜5+∴5+
＜4，
＜2，
的小数部分为b=5﹣
﹣1=4﹣
，
的取值范围，再求出5+
与5﹣
的取值范围，从而求
的整数部分为a，5﹣
的小数部分为b，则a+b的值为 12﹣
＜9，1＜5﹣
的整数部分为a=8，5﹣
=12﹣．
，
∴a+b=8+4﹣故答案为：12﹣
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数
的范围．
18．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是 ±10 ． 【分析】利用平方根，立方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：x﹣2=4，2x+y+7=27， 解得：x=6，y=8，
则x2+y2=100，100的平方根是±10， 故答案为：±10
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19．已知：2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则这个正数是 4或100 ． 【分析】2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则它们互为相反数或相等，即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，
第11页（共18页）
则这两个式子一定互为相反数或相等． 即：（2a﹣4）+（3a﹣1）=0或2a﹣4=3a﹣1， 解得：a=1或a=﹣3，
则这个数是：（2a﹣4）2=4或（2a﹣4）2=100 故答案为：4或100．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
20．.我们知道
=555，
则计算：
=5，付老师又用计算器求得：
=5555，
（2016个3，2016个4）= 555…5（2016个5） ．
=55、
=555，=55、
【分析】利用计算器可计算
=5555…，观察得到3、4、5在每个等式中出现的次数相同，于是
有
【解答】解：∵∴
（2016个3，2016个4）=555…5（2016个5）．
=55、
=555，
=5555…，
（2016个3，2016个4）=555…5（2016个5）．
故答案为：555…5（2016个5）．
【点评】本题考查了计算器﹣数的开方：用计算器得到任何正数的算术平方根，计算器不同，按键的顺序可能不同．也考查了从特殊到一般解决规律型题目的方法．
三．解答题（共8小题）
21．把下列各数填入相应的大括号里．﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π， 0，
，0.03，﹣3，10，﹣0.
，3.1415，
，﹣
正分数集合{
，0.03 …}；
第12页（共18页）
正数集合 { 260，，3.1415，π，，0.03，10 …}；
整数集合 { 260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣ …}；
非正数集合{ ﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.﹣ …}；
有理数集合{ ﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，﹣3，10，﹣0.
，﹣ …}；
，0.03，
，
自然数集合{ 260，0，10． …}．
【分析】根据各自的定义判断即可得到结果． 【解答】解：正分数集合{，3.1415，正数集合 {260，，3.1415，π，
，0.03，…}；
，0.03，10，…}；
整数集合 { 260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣…}；
非正数集合{﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.﹣…}；
有理数集合{﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，3，10，﹣0.
，﹣ …}；
，0.03，﹣
，
自然数集合{260，0，10，…}． 故答案为：，3.1415，
，0.03；260，，3.1415，π，
，0.03，10；260，
﹣2009，﹣7，0，10，﹣；﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.
，﹣；﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，
，﹣；260，0，10．
，
0.03，﹣3，10，﹣0.
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
22．计算： ①|1﹣
|+|﹣|+|﹣2|+|2﹣|；
第13页（共18页）
②（﹣2）3×③|
|﹣（
+）3+﹣|﹣5|+
×（﹣）2﹣﹣|+
|﹣1；
．
；
④+（﹣1）2009+
【分析】①原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； ②原式利用乘方的意义，平方根及立方根定义计算即可得到结果；
③原式利用平方根，立方根，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； ④原式利用平方根，绝对值，以及乘方的意义计算即可得到结果． 【解答】解：①原式=
﹣1+
﹣
+2﹣
+
﹣2=
﹣1；
②原式=﹣8×4﹣4×﹣3=﹣32﹣1﹣3=﹣36； ③原式=﹣+2.5﹣﹣1=
；
④原式=﹣1+﹣5+﹣=﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．利用平方根、立方根的意义解方程 （1）4x2=25 （2）27x3+125=0．
【分析】（1）先求出x2的值，再根据平方根的定义解答； （2）先求出x3的值，再根据立方根的定义解答． 【解答】解：（1）方程两边都除以4得，x2=∵（±）2=∴x=±；
，
，
（2）移项并方程两边都除以27得，x3=﹣∵（﹣）3=﹣∴x=﹣．
，
，
第14页（共18页）
【点评】本题主要考查了利用平方根与立方根解方程，熟记平方根与立方根的定义是解题的关键．
24．已知：数部分．
【分析】根据分母不等于0，以及非负数的性质列式求出a、b的值，再根据根据被开方数估算无理数的大小即可得解．
【解答】解：根据题意得，3a﹣b=0，a2﹣49=0且a+7＞0， 解得a=7，b=21， ∵16＜21＜25， ∴
的整数部分是4，小数部分是
﹣4．
=0，求实数a，b的值，并求出
的整数部分和小
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
25．国际比赛的足球场长在100米到110米之间，宽在64米到75米之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560平方米，问这个足球长是否能用作国际比赛吗？
【分析】设该足球场的宽是xm，则长是1.5xm．根据面积列方程求解，看求得的解是否在规定的范围之内，进行判断．
【解答】解：设该足球场的宽是xm，则长是1.5xm．根据题意得 1.5x•x=7560，x2=5040，x≈±71（负值舍去）． 1.5x=106.5．
长和宽都在规定的范围内，所以该足球场能用作国际比赛．
【点评】此题只要分别求得足球场的长和宽，看是否在规定范围内，就可得到结论．还要能够正确估算．
26．已知实数a、b与c的大小关系如图，化简：
第15页（共18页）
﹣+．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及b、c的绝对值的大小，然后判断出a﹣b，2a﹣c，﹣b+c的正负情况，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，|b|＜|c|， 所以，a﹣b＜0，2a﹣c＜0，﹣b+c＞0， 所以，
﹣
+
，
=b﹣a+2a﹣c﹣b+c， =a．
【点评】本题考查了二次根式的性质，负情况是解题的关键．
27．先阅读然后解答提出的问题： 设a、b是有理数，且满足解：由题意得有理数，由于（﹣2）3=﹣8．
问题：设x、y都是有理数，且满足
，求x+y的值．
，求ba的值．
，因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是
是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以ba=
=|a|，根据数轴判断出a、b、c的正
【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2﹣2y﹣10）+出答案．
【解答】解：移项得：（x2﹣2y﹣10）+∵
是无理数，
（y﹣3）=0，
（y﹣3）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得
∴y﹣3=0，x2﹣2y﹣10=0， 解得：y=3，x=±4， 故x+y=7或﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，比较新颖．
28．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，
第16页（共18页）
以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）填空：
①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近
于P点，求PM﹣BN的值．
【分析】（1）①根据点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到PM﹣BN的值．
【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）=10，﹣2+×10=3， 故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t； 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|， 又PQ=AB=×10=5， ∴|5t﹣10|=5， 解得：t=1或3，
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∴当t=1或3时，PQ=AB；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点， ∴MP=AP=×3t=t，
BN=BP=（AP﹣AB）=×（3t﹣10）=2t﹣∴PM﹣BN=t﹣（2t﹣
）=5．
，
【点评】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．
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