2019年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．3倒数等于（ ） A．3
B．
C．﹣3
D．﹣
2．下列计算正确的是（ ） A．3a+2b＝5ab C．a6÷a2＝a3
B．3a﹣2a＝1 D．（﹣a3b）2＝a6b2
3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．通过估算，估计A．7～8之间 C．8.5～9.0之间
的大小应在（ ）
B．8.0～8.5之间 D．9～10之间
5．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm
6．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD′＝6+
，其中正确的有（ ）
A．2个
1
B．3个 C．4个
D．5个
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．若a、b为实数，且b＝
+4，则a+b＝ ．
8．将数12000000科学记数法表示为 ．
9．圆锥的母线长是6cm，侧面积是30πcm2，该圆锥底面圆的半径长等于 cm．
10．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有 个．
11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为 ． 13．化简：
＝ ．
14．已知一个等腰三角形的一个外角是110°，那么它的一个底角等于 ．
15．如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝ ．
16．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝4，那么此时AC的长为 ．
2
三．解答题（共11小题，满分102分） 17．计算：
﹣（2019﹣π）0﹣4cos45°+（﹣）﹣2
，其中x＝﹣1．
18．先化简，再求值：
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“汤圆”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅（A）、豆沙馅 （B）、菜馅（C）、三丁馅 （D）四种不同口味汤圆的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民人数是 人； （2）将图 ①②补充完整；（ 直接补填在图中） （3）求图②中表示“A”的圆心角的度数；
（4）若居民区有8000人，请估计爱吃D汤圆的人数．
21．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于4．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y＝﹣为1，双曲线y＝经过点B．
（1）求a的值及双曲线y＝的解析式；
3
上，AB∥y轴，且点B的纵坐标
（2）经过点B的直线与双曲线y＝的另一个交点为点C，且△ABC的面积为①求直线BC的解析式；
②过点B作BD∥x轴交直线y＝﹣
．
于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边
为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
4
25．如图，以BC为直径的⊙O交的边AB于E，点D在⊙O上，且DE∥BC，连BD并延长交CA于F，∠CBF＝∠A．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BD＝2BE，则DE长为 （直接写答案）．
26．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF． （1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
27．如图，抛物线
（1）求抛物线的解析式；
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；
（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5
6
2019年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【解答】解：3倒数等于， 故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义．
2．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项错误； B、3a﹣2a＝a，故此选项错误； C、a6÷a2＝a4，故此选项错误； D、（﹣a3b）2＝a6b2，正确． 故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【解答】解：A、左视图为
，俯视图为
，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；
B、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图相同，故此选项符合题意；
C、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；
D、左视图为故选：B．
，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和俯视图的画法．
4．【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【解答】解：∵64＜76＜81， ∴8
7
9，排除A和D，
又∵8.52＝72.25＜76． 故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．【分析】连接EC，根据圆周角定理得到∠E＝∠B，∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接EC，
由圆周角定理得，∠E＝∠B，∠ACE＝90°， ∵∠B＝∠EAC， ∴∠E＝∠EAC， ∴CE＝CA， ∴AC＝故选：B．
AE＝5
（cm），
【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．6．【分析】连结DD′，根据旋转的性质得AD＝AD′，∠DAD′＝60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′＝5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB＝AC，∠BAC＝60°，则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于S四边形ADCD′＝S△ADD′+S△D′DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断． 【解答】解：连结DD′，如图，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′， ∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°， ∴△ADD′为等边三角形， ∴DD′＝5，所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合， ∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；
8
∴D′C＝DB＝4， ∵DC＝3， 在△DD′C中， ∵32+42＝52，
∴DC2+D′C2＝DD′2， ∴△DD′C为直角三角形， ∴∠DCD′＝90°， ∵△ADD′为等边三角形， ∴∠ADD′＝60°，
∴∠ADC≠150°，所以②错误； ∵∠DCD′＝90°， ∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以④正确； ∵S△ADD′+S△D′DC ＝＝6+故选：B．
×52+×3×4
，所以⑤错误．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由被开方数是非负数，得
，
9
解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4， 当a＝1时，a+b＝1+4＝5， 当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3， 故答案为：5或3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：12 000 000＝1.2×107， 故答案是：1.2×107，
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9．【分析】利用圆锥的侧面积公式计算即可求出所求． 【解答】解：根据题意得：S＝πrl，即r＝则圆锥底面圆的半径长等于5cm， 故答案为：5
【点评】此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解本题的关键．
10．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【解答】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.25， ∴
＝，
＝
＝5，
解得：x＝15，
即白球的个数为15个， 故答案为：15．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 11．【分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠FEC＝62°，
10
由翻折可得：∠FEG＝∠FEC＝62°， ∴∠BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°， 故答案为：56°
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和翻折的性质解答．
12．【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值． 【解答】解：根据题意知，△＝b2﹣4＝0， 解得：b＝±2， 故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13．【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：原式＝故答案为：
．
＝
，
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．【分析】根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是110°，从而求出答案．
【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°， ②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°， 则底角为：（180°﹣70°）×＝55°， ∴底角为70°或55°． 故答案为：70°或55°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况． 15．【分析】根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+，再代值计算即可得出答案． 【解答】解：连接BE．
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF， ∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高， ∴△AME的面积＝△AMB的面积，
11
∴当AB＝n时，△AME的面积记为Sn＝n2， Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+， ∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝故答案为：．
＝
＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点是三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题的关键．
16．【分析】根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF＝AB＝2，再由勾股定理得到结果． 【解答】解：如图，连接EF， ∵AF、BE是中线， ∴EF是△CAB的中位线， 可得：EF＝×4＝2， ∵EF∥AB， ∴△PEF～△ABP， ∴
＝
＝
＝，
在Rt△ABP中， AB＝4，∠ABP＝30°， ∴AP＝2，PB＝2∴PF＝1，PE＝在Rt△APE中， ∴AE＝∴AC＝2故答案为：
， ，
．
， ，
12
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【解答】解：原式＝2＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
÷
＝
•
＝﹣
，
﹣1﹣2
+9
【解答】解：，
由①得：x≤0， 由②得：x＜﹣1，
∴不等式组的解集为x＜﹣1， 将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
20．【分析】（1）由B的人数除以占的百分比求出调查的人数即可；
13
（2）求出C的人数与百分比，A的百分比，补全两个图形即可； （3）由A的百分比乘以360即可得到结果； （4）由D的百分比乘以8000即可得到结果．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%＝600（人）； 故答案为：600；
（2）由题意得：C的人数为600﹣（180+60+240）＝600﹣480＝120（人），C的百分比为120÷600×100%＝20%；A的百分比为180÷600×100%＝30%；
（3）根据题意得：360°×30%＝108°， 图②中表示“A”的圆心角的度数108°； （4）8000×40%＝3200（人）， 即爱吃D汤圆的人数约为3200人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 21．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；
（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．
【解答】解：（1）如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，
所有两次摸出的小球标号相同的概率为
（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种， 所以其概率为
14
＝；
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到﹣a﹣＝，解得a＝2，则A（2，﹣），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入y＝中求出m的值即可得到反比例函数的解析式； （2）①设C（t，），根据三角形面积公式得到×（2﹣t）×（1+）＝坐标为（﹣1，﹣2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；
②先确定D（﹣1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC＝45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD＝90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，﹣）；若∠BDP＝90°，利用PD∥y轴，易得此时P（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）∵点A（a，∴﹣a﹣＝，解得a＝2， 则A（2，﹣），
∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1， ∴点B的坐标为（2，1）． ∵双曲线y＝经过点B（2，1）， ∴m＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝； （2）①设C（t，）， ∵A（2，﹣），B（2，1）， ∴×（2﹣t）×（1+）＝解得t＝﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得
，
，
）在直线y＝﹣
上，
，解得t＝﹣1，则点C的
15
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣1； ②当y＝1时，﹣
＝1，解得x＝﹣1，则D（﹣1，1），
∵直线BCy＝x﹣1为直线y＝x向下平移1个单位得到， ∴直线BC与x轴的夹角为45°， 而BD∥x轴， ∴∠DBC＝45°，
当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若∠BPD＝90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当x＝时，y＝x﹣1＝﹣，此时P（，﹣），
若∠BDP＝90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝x﹣1＝﹣2，此时P（﹣1，﹣2），综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣2）或（，
）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
23．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝70m．
16
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°， ∴CE＝
＝
＝10
（m）， ）m．
）m．
∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10
答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
（3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′＝BD′，∠OBD′＝∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．【解答】解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，
证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， 又∵OD＝OD′，OC＝OC′， ∴OB＝OD′＝OA＝OC′， ∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC， ∴∠BOD′＝∠AOC′， ∴△BOD′≌△AOC′， ∴BD′＝AC′， ∴∠OBD′＝∠OAC′， 设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO， 即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α， 综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，
17
（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC， 又∵OD＝OD′，OC＝OC′， ∴OC′＝OA，OD′＝OB， ∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC， ∴∠BOD′＝∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC， ∵AC＝kBD， ∴AC′＝kBD′， ∵△BOD′∽△AOC′， 设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α， 综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
【点评】本题主要考查了矩形、平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及角之间的关系，综合性强，难度较大．
25．【分析】（1）连接CE，构造直角，通过平行的性持，圆周角定理等进行角的代换，证明∠A+∠BCA＝90°可得出结论；
（2）先证明△BED与△BFA相似，得出BF与BA的比值为，再证明△BCF和△ACB相似，且相似比为，再次利用△BED与△BFA相似即可求出结果． 【解答】（1）证明：连接CE， ∵DE∥BC，
18
∴∠BDE＝∠CBF，
∵∠CBF＝∠A，∠BDE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠A， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBA+∠BCE＝90°， ∴∠CBA+∠A＝90°， ∴∠BCA＝90° ∴OC⊥CA， 又∵OC为半径， ∴CA是⊙O的切线．
（2）连接CD， 由（1）知∠BDE＝∠A， ∵∠DBE＝∠DBE， ∴△BDE∽△BAE， ∴
，
由（1）知∠CBF＝∠A， ∵∠BCF＝∠BCF， ∴△BCF∽△ACB， ∴∵BC＝4，
∴CF＝2，AC＝8，AF＝AC﹣CF＝6， ∵BF＝∴AB＝4
，
＝2
， ，
∵∠BDC＝∠BCF＝90°，∠CBF＝∠CBF， ∴△BCD∽△BFC， ∴∴
19
， ，
∴BD＝，
∵△BDE∽△BAE， ∴
，
∴，
∴DE＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的判定及三角形的相似．选对对应边的比是解本题的关键．
26．【分析】（1）先求出BC＝6，AB＝10，再判断出四边形DECF是矩形，即可用勾股定理求出EF； （2）先判断出四边形DHCG是矩形，进而判断出△EDH∽△FDG，即可得出结论； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴
，
∵AC＝8， ∴AB＝10，
∵D是AB边的中点， ∴
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°， ∴∴AE＝4， ∴CE＝8﹣4＝4，
∵在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，
20
，
，
∴DE＝3， ∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴DF＝EC＝4，
∵在Rt△EDF中，DF2+DE2＝EF2， ∴EF＝5 （2）不变 如图2，
过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G， 由（1）可得DH＝3，DG＝4， ∵DH⊥AC，DG⊥BC， ∴∠DHC＝∠DGC＝90° 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形DHCG是矩形， ∴∠HDG＝90°， ∵∠FDE＝90°，
∴∠HDG﹣∠HDF＝∠EDF﹣∠HDF， 即∠EDH＝∠FDG， 又∵∠DHE＝∠DGF＝90° ∴△EDH∽△FDG， ∴
，
∵∠FDE＝90°， ∴
，
（3）①当QF＝QC时， ∴∠QFC＝∠QCF， ∵∠EDF+∠ECF＝180°， ∴点D，E，C，F四点共圆，
∴∠ECQ＝∠DFE，∠DFE+∠QFC＝∠ECQ+∠QCF＝∠ACB＝90°，
21
即∠DFC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴∴
， ，
②当FQ＝FC时， ∴∠BCD＝∠CQF， ∵点D是AB的中点， ∴BD＝CD＝AB＝5， ∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCQ，∠BDC＝∠CFQ， ∴△FQC∽△DCB，
由①知，点D，E，C，F四点共圆， ∴∠DEF＝∠DCF， ∵∠DQE＝∠FQC， ∴△FQC∽△DEQ， 即：△FQC∽△DEQ∽△DCB ∵在Rt△EDF中，
∴设DE＝3k，则DF＝4k，EF＝5k， ∵∠DEF＝∠DCF＝∠CQF＝∠DQE， ∴DE＝DQ＝3k， ∴CQ＝5﹣3k， ∵△DEQ∽△DCB， ∴∴∴
， ， ，
，
∵△FQC∽△DCB， ∴
，
22
∴，
解得∴∴
，
， ，
③当CF＝CQ时，如图3， ∴∠BCD＝∠CQF， 由②知，CD＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵△EDQ∽△BDK，
在BC边上截取BK＝BD＝5，过点D作DH⊥BC于H， ∴DH＝AC＝4，BH＝BC＝3，由勾股定理得同②的方法得，△CFQ∽△EDQ， ∴设DE＝3m，则EQ＝3m，EF＝5m， ∴FQ＝2m， ∵△EDQ∽△BDK， ∴∴DQ＝
m，
m， ，
，
∴CQ＝FC＝5﹣∵△CQF∽△BDK， ∴
，
∴，
解得m＝∴∴
，
，
．
或
即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或
23
．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出相似三角形得出比例式建立方程求解． 27．【分析】（1）先根据已知条件得出A点及C点坐标，利用待定系数法即可求出此抛物线的解析式； （2）y＝0代入（1）中所求二次函数的解析式即可的出此函数与x轴的交点坐标，由OD平分∠BOC可知OE所在的直线为y＝x，再解此直线与抛物线组成的方程组即可求出E点坐标；
（3）①过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y＝2代入二次函数解析式即可求出P点坐标，进而可得出四边形OBEP是平行四边形；
QB、QE、BE，②设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、由QA＝QB可知△BEQ的周长等于BE+QA+QE，由A、E两点的坐标可得出直线AE的解析式，再根据抛物线的对称轴是x＝可求出Q点的坐标，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）． ∵OC＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）把y＝0代入y＝﹣x2+x+3， 解得x1＝﹣2，x2＝3
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解得
∴点B的坐标为（3，0）， ∴OB＝OC＝3 ∵OD⊥BC， ∴OD平分∠BOC ∴OE所在的直线为y＝x 解方程组
∵点E在第一象限内， ∴点E的坐标为（2，2）．
（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO， 把y＝2代入y＝﹣x2+x+3， 解得x1＝﹣1，x2＝2
∴点P的坐标为（﹣1，2）， ∵PE∥OB，且PE＝OB＝3， ∴四边形OBEP是平行四边形，
∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；
②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE， ∵QA＝QB，
∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE， 又∵BE的长是定值
∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，
由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y＝x+1， ∵抛物线的对称轴是x＝ ∴点Q的坐标为（，）
∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小．
得
，
，
25
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，平行四边形的判定定理，难度较大．
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