时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(8×5＝40分) 1．(2009·重庆，1)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 ( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案：B
|0－0＋1|2
解析：计算圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝≠0，圆半径r＝1.∵d＜r，
22
∴相交且不过圆心，故选B.
2．(2009·甘肃张掖一模)过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )
A．x＝0 B．y＝1 C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0 答案：C
xy
解析：(x－1)2＋y2＝4，圆心为(1,0)，由题意知直线过圆心，所以直线方程为＋＝1，即
11
x＋y－1＝0.
3．(2009·天津河西一模)圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圆心到直线x－y＋1＝0的距离是
( )
13232A. B. C. D. 2222答案：D
|1－(－1)＋1|3
解析：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆心为(1，－1)，半径r＝1，∴d＝＝2.
22
4．过点(3，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为 ( )
A．150° B．120° C．30° D．60° 答案：B
－2－1
解析：∵圆心为(0,1)，∴直线l的斜率k＝＝－3＝tanα，∴α＝120°.
3－0
5．直线y＝－2x＋1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0上的点的最近距离是
( )
454545A. B.＋1 C.－1 D．1
555答案：C
解析：∵圆心为(－2,1)，r＝1，
4
∴圆心到直线的距离为5，
5
44
∴dmin＝5－r＝5－1.
556．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点坐标是(1,2)，则直线PQ的方程是
( )
A．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋4＝0 答案：B
B．x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0
2
解析：令PQ的中点为M，∴kOM＝＝2，
1
1
∴kPQ＝－.又∵PQ的中点坐标是(1,2)，
2
1
∴直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，
2
即x＋2y－5＝0. 7．(2009·山东日照一模)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是 ( )
1111
A．(－∞，] B．(0，) C．(－，0) D．[－，＋∞)
4444
答案：A
解析：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，r＝2.由题意知直线过圆心，∴－2a－2b＋2
11
＝0，当a、 b都为正实数时，有a＋b＝1≥2ab.∴ab≤，∴ab≤. 24
1
当a、b异号时，ab＜0，综上可知，ab≤.
4
8．(2009·山东临沂一模)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆22
C：x＋y－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为
( )
21
A.2 B. C．22 D．2
2
答案：D
解析：由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PCB，
1
∴S△PCB(最小值)＝1＝rd′(d′为切线长)，∴d′min＝2.
2
|1＋4|
∴圆心到直线的最小距离为r2＋d′2＝2＝5.又∵k＞0，∴k＝2.
k＋1
二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·浙江宁波一模)若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为________．
3
答案：1＜a＜或a＜－3
2
解析：由题意可知，点A(a，a)在圆外， ∵圆心为C(a,0)，r＝3－2a，
3→
∴|AC|＞r，解得1＜a＜或a＜－3.
2
x＝3＋4cosθ，
10．圆C：(θ为参数)的圆心坐标为______________，和圆C关于直线x
y＝－2＋4sinθ
－y＝0对称的圆C′的普通方程是______________．
答案：(3，－2) (x＋2)2＋(y－3)2＝16 (或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)
x＝3＋4cosθ，x－3＝4cosθ，
解析：由⇒⇒(x－3)2＋(y＋2)2＝42＝16.
y＝－2＋4sinθ，y＋2＝4sinθ，
∴圆心坐标为(3，－2)，
圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16关于直线x－y＝0对称的圆方程为：(y－3)2＋(x＋2)2＝16.即x2＋y2＋4x－6y－3＝0.
11．已知圆的半径为10，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为42，则圆的方程为______________．
答案：10
解析：方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10. 由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a ①
由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为42，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得 2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
由弦长公式，得2(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝42， 化简，得a－b＝±2 ② 解①②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
3π
12．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A、B两点，若直线l的倾斜角为，
4
则弦AB的长为________；弦AB中点的轨迹方程为________．
答案：30 x2＋y2＋x－2y＝0
3π
解析：直线l的方程为y－2＝tan·(x＋1)
4
12
即x＋y－1＝0，圆心O到l的距离为d＝＝，则|AB|＝28－d2＝30.
22
y－2y
设弦AB的中点为M(x，y)，由kPM·kOM＝－1得×＝－1，即x2＋y2＋x－2y＝0.
x＋1x综上所述应填30；x2＋y2＋x－2y＝0. 三、解答题(4×10＝40分)
13．求经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上的圆的方程.
命题意图：根据已知条件综合利用知识求圆的方程.
分析：所求圆过已知两圆的交点，固而可考虑用圆系方程. 解法一：设所求圆为
x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，
2＋5λxy
即x2＋y2－＋－＝0，
1＋λ1＋λ1＋λ11
其圆心为2(1＋λ)，－2(1＋λ)，
代入3x＋4y－1＝0得 34
－－1＝0，
2(1＋λ)2(1＋λ)
3
解得λ＝－.
2
所以所求圆的方程为：x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
解法二：由两圆方程得：y＝x－3为过两圆交点的直线方程，两圆连心线方程为y＝－x. 3x＋4y－1＝0，x＝－1，解得 y＝－x.y＝1.
∴所求圆圆心坐标为(－1,1). y＝x－3，2⇒x2－3x＋2＝0. 2x＋y＝5，
设公共弦两端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则x1＋x2＝3，x1x2＝2，
∴|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋12)(9－8)＝2.
|AB|2|－1－1－3|2
∴r2＝＝13. 2＋2
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝13.
14．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0. (1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上； (3)若曲线C与x轴相切，求a的值． 证明：(1)曲线C的方程可变形为 (x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0， x2＋y2－20＝0x＝4由，解得， －4x＋2y＋20＝0y＝－2
点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)． (2)证明：原方程配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2， ∵a≠2时，5(a－2)2＞0，
∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是5|a－2|的圆．
x＝2a
设圆心坐标为(x，y)，则有，
y＝－a
11
消去a得y＝－x，故圆心必在直线y＝－x上．
22
5±5
(3)解：由题意得5|a－2|＝|a|，解得a＝.
2
15．平面上两点A(－2,0)，B(2,0)，在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上求一点P，使|PA|2＋|PB|2
的值最大，求P的坐标．
x＝3＋2cosθ，
解析：解法一：设
y＝4＋2sinθ，
则|PA|2＋|PB|2＝(3＋2cosθ＋2)2＋(4＋2sinθ)2＋(3＋2cosθ－2)2＋(4＋2sinθ)2 ＝24cosθ＋32sinθ＋66＝40sin(θ＋φ)＋66，
3
∴tanφ＝(φ为锐角)，
4
∴当sin(θ＋φ)＝1时，
4
(|PA|2＋|PB|2)max＝106，此时：tanθ＝.
3
θ为锐角：4
y＝4＋2·，5
3x＝3＋2·，
5
2128P(，)． 55
解法二：设P(x，y)，
|PA|2＋|PB|2＝2|PO|2＋8， ∴要求|PA|2＋|PB|2的最大值， 只要求|PO|的最大值． 而|PO|≤|CO|＋r＝5＋2＝7， ∴|PA|2＋|PB|2的最大值为2×72＋8＝106， 设PO与x轴成α角，
21
x＝7cosα＝，52128
此时：∴P(，)．
5528
y＝7sinα＝，5
16．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
解析：(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等， ∴当截距不为零时，设切线方程为x＋y＝a， 又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆半径2，即： |－1＋2－a|
＝2⇒a＝－1或a＝3. 2
当截距为零时，设y＝kx，
同理可得k＝2＋6或k＝2－6，
则所求切线的方程为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x. (2)∵切线PM与半径CM垂直， ∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，
2
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x21＋y1， ∴2x1－4y1＋3＝0，
∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0. ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
35
而|PO|的最小值为点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝.
10
92x2，1＋y1＝20∴由
2x1－4y1＋3＝0
3
x1＝－，10
1
可得3
y＝5.
33则所求P点坐标为(－，)．
105
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