集合的概念

——交流 探索 构建

荆门市东宝中学 宋林莉

高中数学新教材知识体系严密，认知结构合理。每一章节的学习既有学习新知识的要求，更重要的是有一定的数学思想方法渗透的要求。一位优秀的数学教师，不是将知识告诉学生，而是想尽办法引导学生发现、探索、实践，以达到“教是为了不教”的目的。

《集合的概念》作为高中数学课程的起始课，如何培养学生浓厚的学习兴趣，对学生今后学习产生深远影响；如何加强师生数学交流，探索研究促使问题自我解决，实现认知结构主动构建，使学生体验一定的数学思想与方法，为今后数学学习奠定良好的基础。我们做以下尝试：

《集合的概念》教学过程 一、创设情境

师：同学们领到新书后，大家都会翻来看看，当翻到数学课本第一章第一节“集合”两个字跃入眼帘

（板书课题——集合）

师：“集合”做为动词，同学们在体育课上听到的很多，常常是上课铃声刚过，体育老师清脆的哨声便响起，同时高喊：高一（×）班全体同学集合！听到口令，咱们班全体同学便会从四面八方集合到体育老师的身边，而不是咱们班的同学便主动走开，体育老师的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集合一起”。

（大屏幕显示：刚上体育课时学生集合站队的情景图片） 师：数学中的集合是动词性质下的概念吗？

（学生陷入深思，制造悬念，埋下伏笔，为“集合”概念引入铺石问路） 二、师生交流

师：同学们回忆一下，在初中代数不等式解法一节中提到：什么叫做不等式的解集？ （举手者众多，教师请一名学生回答）

生1：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

师：大家知道这个定义涉及到“集合”一词，在这里，集合是一个名词性概念，同学们想一想，在初中数学中，我们接触过哪些点或数的集合？

（学生情绪调动起来，思考活跃积极）

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生2：数的分类中，“正数的集合”，“负数的集合”

生3：不等式中，2x－1>3的解为x>2，所有大于2的实数组成这个不等式的解的集合 生4：圆是到定点的距离等于定长的点的集合

生5：角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合

生6：线段垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 „„

三、探索构建

师：可见“集合”一词在初中数学已被广泛使用，不难预见它在高中数学里将会更多地使用。“集合”一词实质上是名词性概念，并非体育老师口中“集合”的口令，而“高一（×）班全体同学”即是数学中集合的内涵。

再如：（1）所有的偶数

（2）所有的直角三角形 （3）图书馆里所有的书

（4）参与中国加入WTO谈判的中方成员 （大屏展示上述实例）

师：上述每一实例都可以构成一个集合，谁能给集合一个准确的定义呢？ 生7：具有共同特征的数、式、点、形、物等放在一起构成集合 师：还能精炼一些吗？

生8：有共同特征的事物集在一起形成集合

师：某些指定对象的全体构成集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

教师进一步指出：（1）（集合论介绍）：集合——数学大厦的根基：集合是描述性概念，无准确定义，如点、数、直线等一样，集合是什么通俗地说，它是一些元素组成的集体，20世纪以来研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。

（2）集合的表示法：“指定对象”被集在一起看成一个整体，用大括号括起来，常用大写的拉丁字母A、B、C„„来表示不同的集合。如：A=｛不等式x+2＞0的解｝B=｛校图书馆里所有的书｝C=｛高一（×）班全体同学｝

（3）集合与元素关系：从属关系∈ 师：谁能再举出几个集合例子？ 生10：（1）世界四大洋

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生11：（2）元素周期表上22种非金属元素 生12：（3）氧化还原反应和非氧化还原反应 生13：（4）纯净物、混合物

师：举例很好，大家想一想，“我校高一年级全体数学学得好的同学”是不是集合？ 生14：不是，因为“数学好”没有判定标准，它的对象不确定

师：对，再如“我校所有高个子的同学”，“高个子”没有判定标准，也不能构成集合 师：再如，举一形象例子：孙悟空护送唐憎西天取经路遇白骨精，用金箍棒画地一圈，将唐僧等人圈在里面，唐僧三人构成一个集合，白骨精不得入内，这是为什么？

（学生笑）：因为白骨精不是这个集合中的元素

师：集合中的元素是确定的，也就是说，给定一个集合，集合中的元素确定下来，这是集合的确定性。

（大屏展示）——集合论创史人，数学家——康托尔简介

康托尔（1845—1918），生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已成为全部数学的基础。

由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果成为“悖论”，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至辱骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。

真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸世纪的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。

四、巩固练习

【大屏展示】：（1）A＝｛1，3｝，问3，5哪个是A的元素？ （2）A＝｛2，2，4｝表示是否准确？

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（3）A＝｛太平洋，大西洋｝，B＝｛大西洋，太平洋｝是否表示为同一集合？ （学生分组讨论，互相交流，教师个别指导）

生12：例（1）3是集合A中的元素，5不是集合A中的元素； 例（2）表示不准确，应改为A＝｛2，4｝；

例（3）的A和B表示同一集合，A，B中的元素相同。 师：大家能看出集合应有哪些特征吗？

生13：由例（1）知，集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其中的元素必是确定的。

——确定性

生14：由例（2）知，集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。

——互异性

生15：由例（3）知，集合中的元素无先后顺序，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是可以交换的。

——无序性

师：大家归纳的很正确，我们把集合的确定性、互异性、无序性统称为集合的三个特征。大家还能举出一些反例吗？

生16：（1）｛参加运动会年龄较小的学生｝不是集合。

生17：（2）A＝｛1，1，1，2，4，6｝应表示为：A＝｛1，2，4，6｝。 生18：（3）A＝｛15的正约数｝＝｛1，3，5，15｝或｛1，15，3，5｝ „„

点评：“教是为了不教”，本节课采取“授人以鱼，不如授人以渔”的教学方法，将“数学交流”、“探索研究”、“认知构建”等数学观融为一体等方面作了一些有益的探讨：

（1）本节课能够很好地通过师生的“数学交流”，使学生能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学的意识促使学生主动参与，积极思考问题，促进学生产生良好的学习动机，激发学生兴趣。

（2）本节课能够使学生学会问题解决，引导学生“探索研究”提出问题，分析问题，解决问题，观察、类比、分析、归纳、抽象、概括，培养学生研究能力、自学能力、逻辑推理能力、切实提高学生的数学素质。

（3）本节课教师不仅帮助学生主动构建自己的知识体系，而且还调整和优化了学生的知识结构

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体系和认知结构体系，从而使学生形成最佳的“数学头脑”，能够“数学地思维”，以达到最市的数学境界。

思考与讨论：

1、“数学交流”中教师应如何把握好调控的尺度？

2、“问题解决”中教师的提问应如何把握好跨度，点拨如何体现最佳艺术？

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