2019年福建永春县一中高三数学(文)考前适应性训练试卷附答案详析

时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U=R，集合A=xx−2>0，B={x|x∈N}，则∁UA∩B=（A．{1,2}B．{0,1,2}C．{0,1}D．ϕ2．已知复数z1=3+4i，z2=+i，则z1⋅z2等于（43））A．425B．i34C．4−i3254D．−254i）3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为，则3m+4n=（A．25B．7C．5D．7π24．函数f(x)=3cosx−+cos(π−x)的单调增区间为（A．−5π6π3）+2kπ,+2kπ，k∈Z62π3πB．−π62π3+2kπ,+2kπ，k∈Z35π6πC．−+2kπ,+2kπ，k∈ZD．−+2kπ,+2kπ，k∈Z5．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（）A．成绩在󰀾큐0ǀĒ0枰分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000人C．考生竞赛成绩的平均分约큐0.5分D．考生竞赛成绩的中位数为큐5分）6．执行如图所示的程序框图，若输出的S=1022，则判断框内应填入的条件是（A．n>7?B．n>8?C．n>9?D．n>10?7．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过焦点F的直线交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|=|AF|=3，则直线的斜率为（）A．±lB．2C．±2D．2218．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0B．−aC．aD．3a9．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．22π3B．23π3C．25π3D．26π310．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A．y=xlnx+x−1B．y=xlnx−x+1C．y=+x−2D．y=−−x+2xx1111．平面四边形ABCD中，∠ABC=150°，3AB=2BC，AC=13，BD⊥AB，CD=3，则四边形ABCD的面积为（）A．73B．732C．3+1−x2+1D．3+2，g(x)=x2−x−2，设b为实数，若存在实数a，使得g(b)+f(a)=212．已知函数f(x)=xx+12,x,x<0≥0成立，则b的取值范围为（A．⋅[−1,2]B．−,2372）C．−,2372D．−,423二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x，y满足约束条件2x+y−1≥0，则z=x−3y的最大值是________.−2≤x−y≤514．已知直线与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线的方程为________.15．已知θ为锐角，且2sinθsinθ+=5cos2θ，则tanθ=________.4π16．长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=2，P是棱DD1上的动点，则ΔPA1C的面积最2小值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．记Sn为数列an的前n项和，若a1=19，Sn=nan+1+n(n+1).（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an，设数列bn的前n项和为Tn，求T20的值.18．如图，等边三角形PAC所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD//BC，AB=AD=DC=2，BC=4.（1）证明：AB⊥平面PAC；（2）求点D到平面PAB的距离.19．某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：（1）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？3（3）估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润.附：K=2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n(ad−bc)2

20．已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.2x2y2

2（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线交椭园C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为，求直线的方程.21．已知函数f(x)=alnx−x+1（其中a∈R）.（1）讨论函数f(x)的极值；（2）对任意x>0，f(x)≤a2−1成立，求实数a的取值范围.21选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程x=acosα在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为y=3asinα（a为参数，a>0）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为ρcosθ−=22.4π（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线的距离的最大值为32，求a的值.423．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x+2|+|x−1|.（1）在图的坐标系中画出y=f(x)的图象；（2）若y=f(x)的最小值为m，当正数a，b满足a2+b2=m，证明:a+b≥2ab.高三年考前适应性训练（文科）数学参考答案1．B因为A=xx−2>0=xx>2，又U=R，所以∁UA=xx≤2，因B={x|x∈N}，所以∁UA∩B=0,1,2.故选B2．A因为z2=4+i，所以z2=4−i，又z1=3+4i，所以z1⋅z2=(3+4i)(4−i)=4−3i+3i+4=2543339.故选A3．C因为向量m，n的夹角为，所以m•n=0，又m，n均为单位向量，所以3m+4n=9+16+24m•n=5.π2故选Cπ64．C因为f(x)=3cosx−+cos(π−x)=3sinx−cosx=2sin(x−)，由−+2kπ≤x−≤+2kπ,k∈Z可得−+2kπ≤x≤2623ππππ2π32π3+2kπ,k∈Z，+2kπ，k∈Z.故选C即函数f(x)=2sin(x−)的单调递增区间为−+2kπ,63ππ5．DA选项，由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4000×0.25=1000，即B正确；C选项，由频率分布直方图可得：平均分等于45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5，即C正确；D选项，因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67，故D错误.故选D56．C由程序框图可得：初始值为n=1,S=0，第一步：S=0+21=2<1022,n=2，需要继续循环；第二步：S=2+22<1022,n=3，需要继续循环；第三步：S=2+22<1022,n=3，需要进入循环；。。。。由此可知，该程序框图即是计算等比数列2n的前n项和，又数列2的前n项和为Sn=由Sn=2(1−2n)1−2n2(1−2n)1−2=2n+1−2，=2n+1−2=1022可得n=9；即该程序框图需要计算S=2+22+23+...+29，因此判断框中需要填入n>9?故选C7．C因为点A在抛物线y2=4x上，且|AP|=|AF|=3，点P在抛物线的准线上，由抛物线的定义可知，AP⊥直线，设A(x,y)，则AP=x+=x+1=3，解得x=2，所以y2=8，故A(2,±22)，2p故P(−1,±22)，又F(1,0)，所以直线的斜率为kPF=±22−2=±2.故选C8．B因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(−1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1−x)可得f(x+1)=f(1−x)=−f(x−1)，所以f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(−1)+f(0)=−f(1)=−a.故选B9．C由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的，和一个小球的组合而成，由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1，所以该几何体的体积为4×π×23+4×π×13=333414253π.故选Ce2110．BA中，由y=xlnx+x−1得y'=lnx+2，由y'=lnx+2=0得x=e21，所以当x>时，y'>0，即y=xlnx+x−1单调递增，不满足题意，所以A错误；B中，由y=xlnx−x+1得y'=lnx，由y'=lnx=0得x=1，所以当x>1时，y'>0，即y=xlnx−x+1单调递增；当00，因此tanθ=.65故答案为16．.23由题意，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=1，AD=1，AA1=2，所以A1(1,0,2)，C(0,1,0)，又P是棱DD1上的动点，所以，设P(0,0,z)(0≤z≤2)，所以PA1=1+(2−z)2=z2−4z+5，PC=z2+1，A1C=1+1+4=6，PA12+PC2−A1C2

2PA1PCz2−2z2PA1PC因此cos∠CPA1=所以sin∠CPA1=12=z2−2zPA1PC，，=2(z−1)2+321−=2z2−4z+5PA1PC因此SΔPA1C=PA1PCsin∠CPA1=2z2−4z+523≥23，当且仅当z=1时，取最小值.故答案为217．（1）当n≥2时，因为Sn=nan+1+n(n+1)①所以Sn−1=(n−1)an+n(n−1)②①-②得：an=nan+1−(n−1)an+2n即an+1−an=−2(n≥2)又S1=a2+2即a2−a1=−2所以数列an是以19为首项-2为公差的等差数列，所以an=19+(n−1)⋅(−2)=21−2n.8（2）由（1）知an=21−2n所以bn=an=|21−2n|因为当n≤10时an>0，当n>10时an<0所以bn=21−2n,n≤102n−21,n>10所以T20=b1+b2+⋯+b20=(19+17+⋯+1)+(1+3+⋯+19)=2(19+17+⋯+1)=2×(19+1)×102=20018．（1）证明：取BC中点M，连接AM则四边形AMCD为菱形，即有AM=MC=BC，21所以AB⊥AC，又AB⊂平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，∴AB⊥平面PAC；（2）由（1）可得PA=AC=23，所以∠ABC=60°，∠BAC=120°，取AC中点O，连接PO，则PO⊥AC，PO=3，又PO⊂平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC∴PO⊥平面ABCD；所以VD−PAB=VP−ABD=SABD⋅PO31=12由（1）有AB⊥平面PAC，得AB⊥PA∴SΔPAB=×2×23=23设点D到平面PAB的距离为d∴d=3211××2×2×sin120°×3=332由VD−PAB=SΔPAB⋅d31919．（1）由题意可知c=1，离心率a=所以b2=a2−c2=1所以椭圆C的方程为x22c22，所以a=2+y2=1，（2）由题意可以设直线的方程为x=my+1，+y2=1由2得m2+2y2+2my−1=0，x=my+1设Mx1,y1，Nx2,y2所以，y1+y2=−m2+22mx2

Δ=4m2+4m2+2=8m2+1>0，y1y2=−121m2+2.12所以ΔOMN的面积S=OF‖y2−y1=y2+y12−4y2y12m2+112m24=−2+2=2m+2m+2m2+2因为ΔOMN的面积为，所以m2m2+1+2=32.解得m=±1.所以直线的方程为x+y−1=0或x−y−1=0.20．（1）根据已知数据可建立列联表如下：K2==(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

n(ad−bc)2200×(20×65−35×80)255×145×100×100

=200×1500×15001800=≈5.643<6.63555×145×100×100319所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关（2）A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：x1=×(10×20+8×60+6×20)=8（（元）100

222获利方差为s21=100×(10−8)×20+(8−8)×60+(6−8)×20=1.61110B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：x2=1001×(10×35+8×40+6×25)=8.2（元）1222

获利方差为s22=100×(10−8.2)×35+(8−8.2)×40+(6−8.2)×25=2.362所以s2，则A生产线的获利更稳定.11140

=，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2000×40×10=5500（元）21．（1）f(x)的定义域为(0,+∞)又f'(x)=x−1②当a>0时，f'(x)=0得x=aa11①当a≤0时，在(0,+∞)上，f'(x)<0，f(x)是减函数；f(x)无极值；在(0,a)上f'(x)>0，f(x)是增函数；在(a,+∞)上，f'(x)<0，f(x)是减函数，所以当x=a时，f(x)有极大值f(a)=alna−a+1，无极小值，综合知：①当a≤0时，f(x)无极值；②当a>0时，f(x)有极大值f(a)=alna−a+1，无极小值；（2）由（1）知：①当a≤0，f(x)是增函数，又令b=e2<1，lnb<0f(b)−a2−1=a2−e2+1−a2−1=−e2>0，不成立；2

2

2

2

11aa13a②当a>0时，当x=a时，f(x)取得极大值也是最大值，所以f(x)max=f(a)=alna−a+1要使得对任意x>0，f(x)≤2a2−1成立，即：alna−a+1≤2a2−1在a∈(0,+∞)上恒成立，则alna+2−a−2a2≤0在a∈(0,+∞)上恒成立，令u(a)=alna+2−a−2a2(a>0)所以u'(a)=lna+1−1−a=lna−a令k(a)=u'(a)=lna−ak'(x)=−1=a11−aa313111=0，得a=1在(0,1)上，k'(a)>0，k(a)=u'(a)是增函数，在(1,+∞)上，k'(a)<0，k(a)=u'(a)是减函数，所以当a=1时，k(a)=u'(a)取得极大值也是最大值，∴u'(x)max=u'(1)=−1<011在(0,+∞)上，u'(a)<0，u(a)是减函数，又u(1)=0要使得u(a)≤0恒成立，则a≥1.所以实数a的取值范围为[1,+∞)22．（1）依题意得曲线C的普通方程为a2+3a2=1，因为ρcosθ−4=22所以ρcosθ+ρsinθ=4，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线的直角坐标方程为x+y=4即x+y−4=0，（2）设点P(acosα,3asinα)，则点P到直线的距离d=|acosα+3asinα−4|22asinα+22a+42πx2

y2

=因为a>0，所以当sinα+6=−1时，dmax=所以a=1ππ−46=32，−3x−1,x<−1,23．（1）f(x)=x+3,−1≤x≤1，y=f(x)的图像如图所示.3x+1,x>1.（2）由（1）知f(x)min=f(−1)=2，所以m=2.则a2+b2=2，又a2+b2≥2ab故ab≤1，a+b2−4a2b2=a2+b2+2ab−4a2b2=2+2ab−4a2b2=−2ab−12ab+1，∵0