一、填空题（本大题共14题，每小题2分，满分28分） 1．（2分）计算：25的平方根是 ． 2．（2分）求值：
3．（2分）比较大小：π 4．（2分）用幂的形式表示：
＝ ．
（填“＜”、“＝”、“＞”） ＝ ．
5．（2分）如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么这个三角形中最大的一个内角等于 度．
6．（2分）据统计，2018年首届进口博览会按一年计，累计意向成交额达到5.783×1010
元，5.783×1010有 个有效数字．
7．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣3）到y轴的距离为 ．
8． （2分）已知点M（a，b）是直角坐标平面内的点，若ab＞0，则点M在第 象限．9．6cm， （2分）如果等腰三角形的两边长分别为3cm、那么这个等腰三角形的周长为 ．10．（2分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝ 度．
11．（2分）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为3，那么△BCD的面积等于 ．
12．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
13．（2分）如图，平面内五点A、B、C、D、E连接成“五角星型”，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度．
14．（2分）如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△ABC1，使CC1∥AB，如果∠BAC＝70°，那么旋转角∠B1AB＝ 度．
二.选择题（本大题共6题，每小题2分，满分12分）（每题只有一个选项正确） 15．（2分）下列说法正确的是（ ） A．负数没有立方根
B．不带根号的数一定是有理数 C．无理数都是无限小数
D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
16． （2分）在数轴上表示实数a和b的点的位置如图所示，那么 下列各式成立的是（ ）
A．a＜b
B．a＞b
C．ab＞0
D．|a|＞|b|
17．（2分）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直
C．相交
D．可能垂直，也有可能平行
18．（2分）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A．含60°角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
19．（2分）如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（ ）
A．（0，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，0）
），M为坐标轴
20．（2分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，
上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．8
三、解答题（本大题共6题，满分60分） 21．（12分）计算： （1）（
+1）2﹣（
﹣1）2；
（2）（）﹣1﹣23×0.125+20190+|﹣1|；
（3）××；
22．（10分）如图，已知ABCD，∠A＝130°，∠C＝110°，求∠APC的度数 （1）填空，在空白处填上结果或者理由 解：过点P作PQ∥AB，（如图） 得∠A+∠1＝ °， 又因为∠A＝130°，（已知） 所以∠1＝ °．
因为PQ∥AB，AB∥CD， 所以PQ∥CD， 又因为∠C＝110°，（已知） 所以∠2＝ °，
所以∠APC＝∠1+∠2＝ ° （2）请用另一种解法求∠APC的度数．
23．（8分）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
24．（8分）如图，已知AD是△ABC的一条中线，延长AD至E，使得DE＝AD，连接BE．如果AB＝5，AC＝7，试求AD的取值范围．
25．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），A、B两点关于原点对称，将点A向左平移3个单位到达点C，设点D（﹣3，m），且BD＝3，
（1）求实数m的值；
（2）画出以点A、B、C、D为顶点的四边形，并求出这个四边形的面积．
26．（12分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F，
（1）∠DAC与∠EBC相等吗？为什么？
（2）如果∠BAC＝45°，请说明△AEF≌△BEC的理由；
（3）如果∠BAC＝45°，AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
2018-2019学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，每小题2分，满分28分） 1．（2分）计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案． 【解答】解：∵（±5）2＝25 ∴25的平方根±5． 故答案为：±5．
【点评】本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数． 2．（2分）求值：
＝ ﹣2019 ．
【分析】根据立方根的定义即可求出答案． 【解答】解：故答案为：﹣2019．
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
3．（2分）比较大小：π ＜ 【分析】求出π2和
（填“＜”、“＝”、“＞”） ＝﹣2019，
的平方的值比较即可．
【解答】解：∵π2＜10， ∴π＜
．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能正确比较两无理数的大小是解此题的关键．
4．（2分）用幂的形式表示：
＝
．
【分析】根据分数指数幂，即可解答． 【解答】解：
＝
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分数指数幂，解决本题的关键是熟记分数指数幂．
5．（2分）如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么这个三角形中最大的一个内角等于 90 度．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大角的度数． 【解答】解：设三个内角的度数分别为k，2k，3k． 则k+2k+3k＝180°， 解得k＝30°，
则2k＝60°，3k＝90°， 这个三角形最大的角等于90°． 故答案为：90．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．
6．（2分）据统计，2018年首届进口博览会按一年计，累计意向成交额达到5.783×1010
元，5.783×1010有 4 个有效数字．
【分析】用科学记数法表示一个数，是把一个数写成a×10n形式，其中a为整数，1≤|a|＜10，n为整数．用科学记数法表示的数，看a即可找出有效数字． 【解答】解：在5.783×1010中，a＝5.783， 所以5.783×1010有4个有效数字； 故答案为：4．
【点评】此题考查了近似数和有效数字，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值；对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 7．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣3）到y轴的距离为 2 ． 【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案． 【解答】解：点（﹣2，﹣3）到y轴的距离为|﹣2|＝2， 故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距
离是点的纵坐标的绝对值．
8．（2分）已知点M（a，b）是直角坐标平面内的点，若ab＞0，则点M在第 一、三 象限．
【分析】先根据有理数乘法法则得出ab＞0时有两种情况，再根据平面直角坐标系中各象限内的点的坐标符号特点即可求解．
【解答】解：∵点M（a，b）是直角坐标平面内的点，若ab＞0， ∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0．
当a＞0，b＞0时，M（a，b）在第一象限； 当a＜0，b＜0时，M（a，b）在第三象限； 故答案为一、三．
【点评】本题考查了有理数乘法法则及平面直角坐标系中各象限内的点的坐标符号特点，比较简单．
9．（2分）如果等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，那么这个等腰三角形的周长为 15cm ．
【分析】分3cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、6cm， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形，
②3cm是底边时，三角形的三边分别为3cm、6cm、6cm， 能组成三角形， 周长＝3+6+6＝15cm．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15cm． 故答案为：15cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．
10．（2分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝ 100 度．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数． 【解答】解：∵∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°， ∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．（2分）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为3，那么△BCD的面积等于 6 ．
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算． 【解答】解：∵a∥b，
∴△BCD的面积：△ABC的面积＝CD：AB＝2：1， ∴△BCD的面积＝3×2＝6． 故答案为：6．
【点评】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．
12．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°， ∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°， ∵DF＝DE， ∴∠E＝15°． 故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
13．（2分）如图，平面内五点A、B、C、D、E连接成“五角星型”，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，再根据三角形的内角和等于180°求解即可． 【解答】解：如图，∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2， ∵∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 故答案为：180．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质以及三角形的内角和定理，把五个角转换为一个三角形的三个内角的和是解题的关键． 14．（2分）如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△ABC1，使CC1∥AB，如果∠BAC＝70°，那么旋转角∠B1AB＝ 40 度．
【分析】根据旋转的性质可得出AC＝AC1，然后根据CC1∥AB，∠BAC＝70°，可得出∠AC1C的度数，进而根据等腰三角形的性质可得出答案． 【解答】解：由题意得：AC＝AC1， ∴△ACC1是等腰三角形， 又∵CC1∥AB，
∴AC1C＝∠BAC＝70°，
∴∠CAC1＝40°，即旋转角度∠B1AB的度数为40°． 故答案为：40．
【点评】本题考查旋转的性质与等腰三角形的性质，属于基础题，难度一般，解答本题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等．
二.选择题（本大题共6题，每小题2分，满分12分）（每题只有一个选项正确） 15．（2分）下列说法正确的是（ ） A．负数没有立方根
B．不带根号的数一定是有理数 C．无理数都是无限小数
D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
【分析】根据有理数的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即
可．
【解答】解：A、负数有立方根，错误； B、不带根号的数不一定是有理数，如π，错误； C、无理数都是无限不循环小数，正确； D、数轴上的点与实数一一对应，错误； 故选：C．
【点评】此题考查实数问题，关键是根据有理数的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系解答．
16． （2分）在数轴上表示实数a和b的点的位置如图所示，那么 下列各式成立的是（ ）
A．a＜b
B．a＞b
C．ab＞0
D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，且离原点的距离越远，则该点所对应的数的绝对值越大，进行分析．
【解答】解：A、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项错误； B、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项正确；
C、根据a在原点的右边，b在原点的左边，得b＜0＜a，则ab＜0，故本选项错误； D、根据b离原点的距离较远，则|b|＞|a|，故本选项错误． 故选：B．
【点评】此题考查了数轴上的点和实数之间的对应关系，同时能够根据点在数轴上的位置判断它们所对应的数之间的大小关系以及绝对值的大小关系．
17．（2分）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交
D．可能垂直，也有可能平行
【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可得出答案．
【解答】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是b∥c；
故选：A．
【点评】此题考查了两直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，是一道基础题．
18．（2分）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A．含60°角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS，ASA．AAS．SSS，对各个选项逐一分析即可．【解答】解：A、含60°角的两个直角三角形的边不一定对应相等，不符合直角三角形全等的判定定理，故本选项错误；
B、腰对应相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项错误；
C、边长为5厘米的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS，故本选项正确；
D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长不一定相等，所以不符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项错误． 故选：C．
SSS、SAS、【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（2分）如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（ ）
A．（0，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，0）
【分析】根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【解答】解：用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，则以点A为坐标原点，AB所在直线为y轴，向上为正方向，x轴是过点A的水平直线，向右为正方向．所以点C的坐标为（3，2） 故选：C．
【点评】考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．解题的关键是确定原点及x，y轴的位置和方向． 20．（2分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，
），M为坐标轴
上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．8
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：如图，满足条件的点M的个数为6．
分别为：（﹣2，0），（2，0），（0，2故选：C．
），（0，2），（0，﹣2），（0， ）．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观． 三、解答题（本大题共6题，满分60分） 21．（12分）计算： （1）（
+1）2﹣（
﹣1）2；
（2）（）﹣1﹣23×0.125+20190+|﹣1|；
（3）××；
【分析】（1）利用平方差公式进行展开即可 （2）分数的指数幂，零指数幂进行计算即可 （3）注意到该式可化为积的乘方进行计算． 【解答】解： （1）原式＝（＝2＝4
×2
+1+
﹣1）（
+1﹣
+1）
（2）原式＝2﹣8×+1+1 ＝3 （3）原式＝
＝
＝
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决 此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．22．（10分）如图，已知ABCD，∠A＝130°，∠C＝110°，求∠APC的度数 （1）填空，在空白处填上结果或者理由 解：过点P作PQ∥AB，（如图） 得∠A+∠1＝ 180 °， 又因为∠A＝130°，（已知） 所以∠1＝ 50 °． 因为PQ∥AB，AB∥CD，
所以PQ∥CD， ∠2+∠C＝180° 又因为∠C＝110°，（已知） 所以∠2＝ 70 °，
所以∠APC＝∠1+∠2＝ 120 ° （2）请用另一种解法求∠APC的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可解决问题． （2）连接AC．求出∠PAC+∠PCA＝60°，即可解决问题． 【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，（如图） 得∠A+∠1＝180°， 又因为∠A＝130°，（已知） 所以∠1＝50°． 因为PQ∥AB，AB∥CD， 所以PQ∥CD，∠2+∠C＝180° 又因为∠C＝110°，（已知） 所以∠2＝70°，
所以∠APC＝∠1+∠2＝120°
故答案为：180，50，∠2+∠C＝180°，70，120．
（2）连接AC．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠PAB+∠PCD＝130°+110°＝124°， ∴∠PAC+∠PCA＝240°﹣180°＝60°， ∴∠APC＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）＝60°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
【分析】根据AE是∠DAC的角平分线和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到AE与BC互相平行． 【解答】解：AE与BC平行，理由是： ∵AE是∠DAC的平分线， ∴∠DAC＝2∠DAE，
∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C， ∴∠DAC＝2∠B， ∴∠DAE＝∠B， ∴AE∥BC．
【点评】本题主要利用角平分线的定义，等边对等角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
24．（8分）如图，已知AD是△ABC的一条中线，延长AD至E，使得DE＝AD，连接BE．如果AB＝5，AC＝7，试求AD的取值范围．
【分析】根据SAS即可证明△BED≌△CAD．在△ABE利用三边关系定理即可解决． 【解答】解：∵AD是△ABC的一条中线， ∴BD＝CD，
在△BED和△CAD中，∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AC＝5， ∵AB＝7， ∴2＜AE＜12， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6．
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），A、B两点关于原点对称，将点A向左平移3个单位到达点C，设点D（﹣3，m），且BD＝3，
（1）求实数m的值；
（2）画出以点A、B、C、D为顶点的四边形，并求出这个四边形的面积．
【分析】（1）根据中心对称，平移的性质得到B、C点，根据B、D的坐标特征，即可求得m＝2或m＝﹣4；
（2）根据A、B、C、D的位置，按不同的字母顺序连接即可． 【解答】解：（1）∵点A（3，1），A、B两点关于原点对称， ∴B（﹣3，﹣1），
将点A向左平移3个单位到达点C，则C（0，1）， ∵点D（﹣3，m），且BD＝3， ∴m＝2或m＝﹣4；
（2）画出以点A、B、C、D为顶点的四边形如图所示：
此四边形的面积＝×5×6﹣×2×3＝12；
此四边形面积＝6×3﹣×6×1﹣×2×（3+6）＝6；
此四边形的面积＝6×3﹣×（3+6）×1﹣×6×2＝；
此四边形的面积＝×3×6﹣×3×3＝；
【点评】本题考查了平移作图、旋转作图及三角形的面积，难度一般，解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点，根据题意找到各点的对应点，然后按不同顺次连接．用到的知识点为：格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的
面积的差．
26．（12分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F，
（1）∠DAC与∠EBC相等吗？为什么？
（2）如果∠BAC＝45°，请说明△AEF≌△BEC的理由；
（3）如果∠BAC＝45°，AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADC＝90°，求得∠DAC＝90°﹣∠C，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠ABE＝180°﹣∠BEA﹣∠BAE＝45°，求得BE＝AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据已知条件得到BC＝2BD，由D是BC的中点，得到BD＝CD，于是得到结论．【解答】解：（1）相等， 理由：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， ∴∠DAC＝∠EBC；
（2）∵∠BEA＝90°，∠BAE＝45°， ∴∠ABE＝180°﹣∠BEA﹣∠BAE＝45°， ∴∠ABE＝∠BAE， ∴BE＝AE，
在△AEF与△BEC中，，
∴△AEF≌△BEC（AAS）； （3）由（2）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD， ∴BC＝2BD， ∴D是BC的中点， ∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC， ∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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