沾化二中2015届高三模拟考试

数学试题（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1．集合A{3,2a}，B{a,b}，若AB{2}，则AB（ ）

A．{1,2,3}

B．{0,1,3}

C．{0,1,2,3}

D．{1,2,3,4}

2.设i是虚数单位，复数i32i1i（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 3. 已知

,则

( )

A． B． C． D．

4.函数f(x)9xax3x的图像关于原点对称，g(x)lg(101)bx是偶函数，则

A.1 B.

C.

D.

5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表

可得回归直线方程yˆbxˆaˆ中的bˆ4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为

A．51个 B．50个 C．49个 D．48个

6.下列说法正确．．的是 A．命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0” B．命题 “已知x,yR，若xy3，则x2或y1”是真命题

C．“x22xax在x1,2上恒成立”“(x22x)min(ax)max在x1,2上恒成立” D．命题“若a1，则函数fxax22x1只有一个零点”的逆命题为真命题

7.已知函数f(x)xsinx(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，则当y1时，yx1 的取值范围是 （ ）

A． [1,3] B．[0,3] C．[1,4] D．[0,4444433] 8．设函数f(x)ln(1x)x ，记af(1),bf(3),cf(7)则 （ ） A.bac B.cba C.abc D.acb 9. 在

中，ABBC3，ABC60，

是边BC上的高，则ADAC的值等于（ ）

A．994 B．

4 C．274 D．9

10．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕底边

所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2,则V1:V2（ ） A．122 B．82

C．62

D．42

11.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝

4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时， f'(x)f(x)1x0，则函数g(x)f(x)x的零点个数为 （ ）

A.1 B.2 C.0 D.0或2 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13.

的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．

x2y214.设x,y满足约束条件exy0，则M(x,y)所在平面区域的面积为___________.

0x215.若正数a,b满足

111ab1，则a14b1的最小值为________. Fx2y216．已知b1,F2是双曲线a2b21(a0,b0)的左、右焦点，若点F2关于直线yax的对称点M也在

双曲线上，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题（共70分）

17. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a3cosAcsinC， （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a6，求bc的取值范围.

18.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行上网投票，结果如下 观众年龄 支持A 支持B 支持C 20岁以下 200 400 800 20岁以上（含20岁） 100 100 400

（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值.

（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E(X),D(X). 19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，

∠BCD= 120°,AB= PC =2,AP= BP=2 （I）求证：AB⊥PC：

（Ⅱ）求二面角B一PC—D的余弦值．

20.设各项均为正数的数列a的前n项和为S2nn，满足an14Sn4n1,nN,且a2,a5,a14恰好是等比数列bn的前三项．

（Ⅰ）求数列an、bn的通项公式；

（Ⅱ）记数列bn项和为T*3n的前n,若对任意的nN，(Tn2)k3n6恒成立，求实数k的取值范

围．

21．（本小题满分12分）

已知圆C:(x1)2y220点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P． （I）求动点P的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）设M(0,15)，N为抛物线C2:yx2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，

求△MPQ面积的最大值．

22.（本小题满分12分）.已知函数f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex（a为实数）．

(Ⅰ) 当a=5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程； (Ⅱ) 求f(x)在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

(Ⅲ) 若存在两不等实根x1x1，x2[e，e]，使方程g(x)2ef(x)成立，求实数a的取值范围．

24.已知函数f(x)xax2,

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集;

（2）若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

数学答案（理科）

1.【答案解析】A 解析：由AB{2}，得2a=2，所以a1,b2.即A{3,2}，B{1,2}，因此AB{1,2,3}

2.【答案】【解析】A 解析：复数i32i2i11iii1i1iii1i1． 3.【答案解析】C ∵cos（x- 36）=-3，∴cosx+cos（x- 3）=cosx+cosxcos3+sinxsin3 =3312cosx+2sinx=3（32cosx+2sinx）=3cos（x-6）=3×（-33）=-1故选C． x4.【答案】【解析】D 解析：∵

f(x)9a3x关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数， ∴

f(0)=0，\\a=1，∵g(x)lg(10x1)bx是偶函数，∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立，∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx，∴lg10x+110x=lg(10x+1)+2bx， ∴-x=2bx对一切x恒成立，∴b=-112，∴a+b=2，故选：D

5.【答案】C 解析：由题意知

x17.5,y39，代入回归直线方程得a109,10915449，故选C.

6.【答案解析】A、“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex≤0”；∴命题错误； B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题； x2C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（2xx）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误； D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时， a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B． 【思路点拨】B. A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假； B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假； 2在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（x2C、“x+2x≥ax2xx ）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”； D、写出原命题的逆命题再判定真假． 7.

k14.设PD:yk(x1)，由|2k1k|k211得k3131yPE14,k20.结合图形可知，4k4即4x134.选A.

8.【解析】 试题分析：已知f(x)ln(1x)x，得f，(x)x1x， 当x>0时，f，(x)x1x0， 所以

f(x)ln(1x)x在（0，+）上单调递减，

731f7f3f1，即cba，故选B.

9.【答案】C 解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；

根据已知条件可求以下几点坐标：A330,，D20,0，C32,0； uADuurACr33uuu∴333uuuruuur270,，2,2；∴ADAC4．故选C． 2uuur【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量AD，

uuuACruuuruACuur的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出AD．

10.【答案】【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，

就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积V41=323823 ，V2=

2128231213 ，∴V1：V2=3:2342 ，故选D ．.

【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半

径，由此求出结果．

12111.【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=(x2)4(x1， 2)214在 x=12和 x=-12 处的切线都是y=-14，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= 345，sinφ=5，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=4y2，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B． 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x=12 和 x=-12处的切线都是y=-14，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线． 12.【答案】C

13【答案】40

5解析：令x1则有1a2，得a1，所以二项式为x11x2xx所以其常数项为22C32523C540所以

答案为40.

14【答案】e22

【解析】

x2y2试题分析：画出exy0对应的平面区域，如图所示.

0x2

M(x,y)2所在平面区域的面积为exdxSx2121e2e00AOBe|021e22. 15.4,16【答案】5

18.【答案解析】（1）40（2）

2049 （1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人， ∴6n100200=200400600800100100400，解得n=40， （2）X=0，1，2 X 0 1 2 2 4 1 P 7 7 7 ∴E（X）=1×4+2×1=6，D（X）=2×(0-6)2+4×(1-6)217777777+7×(2-62207)=49． 【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值． （2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）． 19. （I）证明：取

AB的中点O，连接PO,CO，AC

QVAPB为等腰三角形 POAB………………………2分

又Q四边形

ABCD是菱形，BCD120

VACB是等边三角形 COAB…………………………4分

又COIPOO AB平面PCO，又PC平面PCO

ABPC ……………………………………6分

20.

解：

(Ⅱ) Tb1(1qn)3(13n)3n133n13n1q132， (232)k3n6对nN*恒成立， k2n43n对nN*恒成立，----9分，

21（Ⅰ）由已知可得，点P满足

PBPCAC252BC

1所以，动点P的轨迹C是一个椭圆，其中2a25，2c2 动点P的轨迹Cx2y211的方程为541. y2txt2（Ⅱ）设N(t,t2)，则PQ的方程为：yt22t(xt)y2txt2，联立方程组x2y2，消去y整理得：541(420t2)x220t3x5t4200，……6分 80(420t2有t4)0， 而PQ14t2x420t2t4x20t31x214t280420t2,

1x2420t25t4x201x2420t21点M到PQ的高为h5t214t2,由S1MPQ2|PQ|h代入化简得： 即S510(t210)21045101041305；当且仅当t210时，S130MPQMPQ可取最大值5. 1y4ex3ete0t122【解析】(I)

(II) 当

时f(x)minf(t)tlntef(x)11

minf(e)e (III) 4ae23e2x解析：(Ⅰ)当a5时g(x)(x5x3)e,g(1)e.

g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为

g(1)4e.

所以切线方程为:ye4e(x1),即y4ex3e.

(Ⅱ)

f(x)lnx1,

①当te时,在区间(t,t2)上f(x)为增函数,所以f(x)minf(t)tlnt ②当0t1e时,在区间(t,1e)上f(x)为减函数,在区间(1e,e)上f(x)为增函数,

所以f(x)11minf(e)e (Ⅲ) 由

g(x)2exf(x)，可得：2xlnxx2ax3，

ax2lnx3x, h(x)x2lnx3h(x)123(x3)(x1)令x, xx2x2 . h(11e)e3e2,h(1)4,h(e)312ee2 .h(e)h(e)42ee0. 实数a的取值范围为4ae23e . 24【答案解析】（1）{xx1或x4}（2）-3a0

（1）当

a3时，f(x)3x3x23

x22x3x33x2x3或3xx23或

x3x23x1或x4

（2）原命题

f(x)x4在[1,2]上恒成立xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立3a0

【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。