一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房．它的截面呈正六边形，既节约 空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为0.000073米，数字0.000073用科学记数法表示为（ ）A．73×10﹣6
B．0.73×10﹣4
C．7.3×10﹣4
D．7.3×10﹣5
2．如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．某校组织学生会主席竞选活动，学生投票要求：从进入决赛的四名选手中，选择且只选择1名选手进行投票．根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票数为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．140
4．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（ ）
A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
5．二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15°所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是（ ）
A．km B．km C．km D．km
6．列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（ ） A．672个
B．506个
C．505个
D．252个
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上匀速移动．设AP长为x，点D到直线PA的距离为y，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．△ABC的顶点都在小正方形的格点上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；分别
以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点D；画射线AD交BC于点P，设CP＝m．点Q为线段AB上的动点．则下列结论：①∠ACB＝90°；②若分别连接DM，DN，则DM＝DN；③当值为m．其中正确的有（ ）
＝
时，PQ⊥BC；④PQ的最小
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 9．在实数﹣3，﹣
，2中，最小的数是 ．
10．如图，∠CBD＝90°，AB∥EF．若∠ABC＝36°，则∠DFE是 °．
11．化简：＝ ．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．如图是某经营摄影器材公司的logo （公司的微标），它由六个全等的直角三角形拼成．根据所学知识求出∠ACB是 °．
14．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 ． 三、解答题（共9小题，满分70分） 15．计算：（﹣）﹣1﹣
+（6﹣tan72°）0+|1﹣
|．
16．如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．
17．根据教育部关于学生使用手机的要求，某校开展了“放下手机，手捧书香”的活动，鼓励学生加强课外阅读．为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间：
[数据收集]从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
0≤x＜40 课外阅读时间x（min）
等级 人数
D 3
40≤x＜80
C 5
80≤x＜120
B 8
120≤x＜160
A
[数据分析]补全下列表格中的统计量：
平均数 80
[结果运用]
（1）估计该校全体学生每周用于课外阅读时间属于什么等级？请用样本中的统计量分析说明；
（2）如果该校现有学生1500人，估计属于等级“B”的学生有多少名？
18．在目前疫情防控常态化背景下，某公司每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒．最初采用人工消毒，为提高效率改用机器人完成任务．机器人每分钟消毒面
中位数
众数
积是人工的2倍，并且比人工提前40分钟完成任务．求机器人每分钟消毒面积为多少平方米？
19．在光明中学元旦游园活动中，甲、乙、丙、丁四个同学玩“击鼓传花”的游戏，游戏规则是：开始由甲执花，第一次随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人． （1）求第一次传花时，花传到乙手中的概率；
（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求经过两次传花后，花回到甲手中的概率．
20．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
21．已知抛物线y＝ax2+2ax+4a2﹣5（a≠0）． （1）该抛物线的对称轴为直线x＝ ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M （n，y1），N （1，y2） 在该抛物线上，若y1＞y2，求n的取值范围． 22．五月我市周边的各种水果陆续成熟，吸引了广大市民前往观光采摘．果园经济带动了乡村采摘游，带动更多农户走向致富道路．郭家庄准备购买一批桑葚树和樱桃树共100棵，其中桑葚树不少于10棵．已知桑葚树的成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，现在要求这批树的成活率不低于80%．桑套树的单价y1和购买数量x1的函数关系分别如图1和图2所示．
（1）写出y1关于x1的函数关系式；
（2）请你帮该农庄作个预算，购买这批树最少需要多少钱？
23．如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，过点O作OE⊥AB于点E，取半径OC的中点F．连接EF，设∠CAB＝α． （1）如图2，若⊙O的半径为3，α＝30°时． ①求证：△OEF是等腰三角形． ②求图中阴影部分的面积．
（2）在（1）的条件下试确定经过点A、B、F三点的圆的圆心位置和半径大小． （3）连接DF，是否存在某个α的值，使得DF与EF相等？若存在，求出此时cosα的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房．它的截面呈正六边形，既节约 空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为0.000073米，数字0.000073用科学记数法表示为（ ）A．73×10﹣6
B．0.73×10﹣4
C．7.3×10﹣4
D．7.3×10﹣5
﹣
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：数字0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5． 故选：D．
2．如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出答案．
解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：A．
3．某校组织学生会主席竞选活动，学生投票要求：从进入决赛的四名选手中，选择且只选择1名选手进行投票．根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票数为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．140
【分析】根据A选手的票数和所占的百分比求出票数，再用总票数乘以C所占的百分比， 求出C选手的票数，最后再用总票数减去A、C、D选手的票数，即可求出B的得票数．解：调查总人数：140÷35%＝400（人）， C选手的票数：400×30%＝120（票），
B选手的得票：400﹣140﹣120﹣40＝100（票）； 故选：B．
4．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（ ）
A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
【分析】在Rt△A′OH中，利用正弦的定义可得出sin∠AOA′＝H＝4sin47°米．
，进而可得出A′
解：在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°， ∴sin∠AOA′＝
，
∴A′H＝OA′•sin∠AOA′＝4sin47°（米）． 故选：A．
5．二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15°所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节
气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是（ ）
A．km B．km C．km D．km
【分析】可得从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90°，根据扇形的弧长公式计算即可求解．
解：∵从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90°， ∴地球绕太阳公转的路程是故选：A．
6．列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（ ） A．672个
B．506个
C．505个
D．252个
＝
（km）．
【分析】前面5个数的个位数分别是8，4，2，6，8，从而发现这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，据此可解答． 解：∵81的个位数字是8， 82的个位数字是4， 83的个位数字是2， 84的个位数字是6， 85的个位数字是8， 86的个位数字是4， …
∴这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现， ∵2022÷4＝505…2， ∴第2021个数的个位数是8，
∴个数数字是8的个数为：505+1＝506（个）． 故选：B．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上匀速移动．设AP长为x，点D到直线PA的距离为y，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB＝∠PAD，再利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5， ∵∠APB+∠BAP＝90°， ∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠APB＝∠PAD， 又∵∠B＝∠DEA＝90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴∴y＝
，即，
，
纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D．
8．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．△ABC的顶点都在小正方形的格点上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；分别
以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点D；画射线AD交BC于点P，设CP＝m．点Q为线段AB上的动点．则下列结论：①∠ACB＝90°；②若分别连接DM，DN，则DM＝DN；③当值为m．其中正确的有（ ）
＝
时，PQ⊥BC；④PQ的最小
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，可求得BC2、AC2、AB2的值，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，可判断①；根据角平分线的作法，可判断②；根据相似三角形的判定可判断③；根据角平分线的性质可判断④；即可得出答案．
解：∵方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在小正方形的格点上， ∴BC2＝42+42＝32，AC2＝22+22＝8，AB2＝22+62＝40， ∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，故①正确；
∵以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点D， ∴由作法可知，AP是∠CAB的平分线，DM＝DN，故②正确； 当
＝
时，
∵∠CBA＝∠PBQ， ∴△CBA∽△PBQ， ∴∠QBP＝∠ACB＝90°， ∴PQ⊥BC，故③正确； ∵点Q为线段AB上的动点，
∴当PQ⊥AB时，PQ最小，
∵AP是∠CAB的角平分线，PC⊥AC， ∴PQ＝PC＝m，故④正确； 故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 9．在实数﹣3，﹣【分析】估算﹣解：∵﹣3＜﹣∴﹣3＜﹣
，2中，最小的数是 ﹣3 ． 的大小，再进行比较即可． ＜﹣2，
＜2，
，2中，最小的数是﹣3，
因此实数﹣3，﹣故答案为：﹣3．
10．如图，∠CBD＝90°，AB∥EF．若∠ABC＝36°，则∠DFE是 54 °．
【分析】由题意可求得∠ABF＝54°，再利用平行线的性质即可求得∠DFE的度数． 解：∵∠CBD＝90°，∠ABC＝36°， ∴∠ABF＝∠CBD﹣∠ABC＝54°， ∵AB∥EF，
∴∠∠DFE＝∠ABF＝54°． 故答案为：54． 11．化简：
＝
．
【分析】分子、分母分别因式分解，然后约分． 解：原式＝故答案是：12．函数y＝
．
的自变量x的取值范围是 x≥0 ．
＝
．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可得出答案．
解：根据题意得：x≥0，4x+1≠0， ∴x≥0， 故答案为：x≥0．
13．如图是某经营摄影器材公司的logo （公司的微标），它由六个全等的直角三角形拼成．根据所学知识求出∠ACB是 60 °．
【分析】如图，欲求∠ACB，需求∠CAB+∠ABC．由题意得∠DAC＝∠ABC，则需求∠DAC+∠CAB，即求∠DAB．由题意得六边形BADEFG为正六边形，得∠DAB＝120°，从而解决此题． 解：如图．
由题知：六边形BADEFG为正六边形． ∵正六边形的每个外角相等且等于60°． ∴正六边形的每个内角等于120°． ∴∠DAB＝120°．
∵正六边形BADEFG由6个全等的直角三角形拼成， ∴∠DAC＝∠ABC．
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝120°． ∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝60°． 故答案为：60．
14．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 （0，2﹣
）或（0，2+
） ．
【分析】由于点P的位置不确定，那么需要考虑两种情况：①点P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点下方，②点P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点上方；解题的方法大致相同，过圆心作直线AB的垂线，在构建的直角三角形中，根据圆的半径和相似三角形的判定与性质，即可确定圆心P的坐标．
解：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4． ∴A（0，2），B（4，0）． ∴OA＝2，OB＝4， ∴AB＝
＝2
，
当⊙P在y轴上从下向上运动时⊙P与直线AB有两种相切情况．
第一种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点下方与直线l相切时，过P1作P1D1⊥l于D1，
在Rt△D1P1A中，D1P1＝1． ∵Rt△D1P1A∽Rt△OBA， ∴
＝
，
∴＝，
∴AP1＝，
， ）；
∴OP1＝OA﹣AP1＝2﹣∴P1坐标为（0，2﹣
第二种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点上方与直线AB相切时，过
P2作P2D2⊥l轴于D2， 同上可得OP2＝OA+AP2＝2+∴P2点的坐标为（0，2+∴P点的坐标为（0，2﹣故答案为：（0，2﹣
，
）． ）或（0，2+
）．
）或（0，2+）．
三、解答题（共9小题，满分70分） 15．计算：（﹣）﹣1﹣
+（6﹣tan72°）0+|1﹣
|．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 解：原式＝﹣2﹣3＝﹣2
﹣2．
+1+
﹣1
16．如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．
【分析】证明△ACE≌△BCD即可得出AE＝BD． 【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
17．根据教育部关于学生使用手机的要求，某校开展了“放下手机，手捧书香”的活动，鼓励学生加强课外阅读．为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间：
[数据收集]从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
0≤x＜40 课外阅读时间x（min）
等级 人数
D 3
40≤x＜80
C 5
80≤x＜120
B 8
120≤x＜160
A 4
[数据分析]补全下列表格中的统计量：
平均数 80
[结果运用]
（1）估计该校全体学生每周用于课外阅读时间属于什么等级？请用样本中的统计量分析说明；
（2）如果该校现有学生1500人，估计属于等级“B”的学生有多少名？ 【分析】【数据收集】将所给数据重新整理，从而得出答案；
【数据分析】根据以上所整理数据，再根据中位数和众数的概念求解即可； 【结果运用】（1）根据平均数和众数的意义求解即可； （2）用总人数乘以样本中B等级人数所占比例即可． 解：【数据收集】A的人数＝20﹣3﹣5﹣8＝4， 故答案为：4；
【数据分析】这组数据的中位数为故答案为：81、81； 【结果运用】
（1）该校学生每周用于课外阅读时间的整体情况是B级， 因为平均数为80，中位数和众数均为81，
所以估计该校学生每周用于课外阅读时间的整体情况是B级；
＝81，众数为81， 中位数 81
众数 81
（2）（人），
答：该校等级为“B”的学生约有600人．
18．在目前疫情防控常态化背景下，某公司每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒．最初采用人工消毒，为提高效率改用机器人完成任务．机器人每分钟消毒面积是人工的2倍，并且比人工提前40分钟完成任务．求机器人每分钟消毒面积为多少平方米？
【分析】设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人每分钟消毒面积为2x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合机器人比人工操作可以提前40分钟完成消毒任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人每分钟消毒面积为2x平方米， 依题意得：解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意． 所以2x＝120．
答：机器人每分钟消毒面积为120平方米．
19．在光明中学元旦游园活动中，甲、乙、丙、丁四个同学玩“击鼓传花”的游戏，游戏规则是：开始由甲执花，第一次随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人． （1）求第一次传花时，花传到乙手中的概率；
（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求经过两次传花后，花回到甲手中的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率． 解：（1）∵甲第一次传花时，随机传给乙、丙、丁三人中的某一人， ∴恰好传给乙的概率是；
（2）如图所示：
﹣
＝40，
，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， 则两次传花后，花恰好回到甲手中的概率是＝． 20．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）由全等三角形的性质得BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，再由等腰三角形的性质得∠B＝∠AEB，则∠EAD＝∠AEB，得BC∥AD，即可得出结论；
（2）设∠B＝3x，则∠CAD＝2x，由平行四边形的性质得∠ADC＝∠B＝3x，∠ACB＝∠CAD＝2x，再由全等三角形的性质得∠ADE＝∠ACB＝2x，然后由∠ADC﹣∠AED＝∠EDC得3x﹣2x＝25°，解得x＝25°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD， ∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠EAD＝∠AEB， ∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：设∠B＝3x，则∠CAD＝2x， 由（1）得：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠B＝3x， ∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD＝2x， ∵△ABC≌△EAD， ∴∠ADE＝∠ACB＝2x，
∵∠ADC﹣∠AED＝∠EDC， ∴3x﹣2x＝25°， 解得：x＝25°，
∴∠ADE＝2x＝50°，∠EAD＝∠B＝3x＝75°， ∴∠AED＝180°﹣50°﹣75°＝55°． 21．已知抛物线y＝ax2+2ax+4a2﹣5（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为直线x＝ 直线x＝﹣1 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M （n，y1），N （1，y2） 在该抛物线上，若y1＞y2，求n的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值； （3）根据点N（1，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣3，y2），进而可得m的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+4a2﹣5． ∴对称轴为直线x＝﹣
＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1； （2）y＝ax2+2ax+4a2﹣5 ＝a（x+1）2+4a2﹣a﹣5， ∵抛物线顶点在x轴上， 即当x＝﹣1时，y＝0， ∴4a2﹣a﹣5＝0， 解得a＝﹣1或a＝．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+． （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（1，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣3，y2）． （ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则n＜﹣3或n＞1； （ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣3＜n＜1．
22．五月我市周边的各种水果陆续成熟，吸引了广大市民前往观光采摘．果园经济带动了乡村采摘游，带动更多农户走向致富道路．郭家庄准备购买一批桑葚树和樱桃树共100棵，
其中桑葚树不少于10棵．已知桑葚树的成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，现在要求这批树的成活率不低于80%．桑套树的单价y1和购买数量x1的函数关系分别如图1和图2所示．
（1）写出y1关于x1的函数关系式；
（2）请你帮该农庄作个预算，购买这批树最少需要多少钱？
【分析】（1）本题题函数是一个分段函数，当0＜x≤60时，是一个一次函数，可用待定系数法求得解析式，当60＜x≤100时，是一个常数函数y1＝60；
（2）设购桑葚树x棵，则购买樱桃树（100﹣x）棵，根据“桑葚不少于10棵；桑葚成活率为70%，樱桃树的成活率为90%，要求这批树的成活率不低于80%“列出不等式求得x的取值范围，再购树所需费用为W元，分情况：当10≤x＜40时；当40≤x≤50时．分别列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质，求得其最小值． 解：（1）当0＜x≤60时，设y1＝k1x+b1（k1≠0）， 把（0，180），（60，60）代入得，
，
解得，
∴y1＝﹣2x+180（0＜x≤60）； 当60＜x≤100时，y1＝60． 综上，y1＝
；
（2）设购桑葚树x棵，则购买樱桃树（100﹣x）棵，
由
∴10≤x≤50．
设购树所需费用为W元，
，得x≤50，
当40≤x≤50时，W＝（﹣2x+180）x+100（100﹣x）＝﹣2（x﹣20）2+10800， Wmin＝﹣2（50﹣20）2+10800＝9000（元）．
当10≤x＜40时，W＝（﹣2x+180）x+70（100﹣x）＝﹣2（x﹣27.5）2+2×27.52+7000，Wmin＝﹣2×（10﹣27.5）2+2×27.52+7000＝7900（元）， 综上所述，购买这批树所需费用最少为7900元．
23．如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，过点O作OE⊥AB于点E，取半径OC的中点F．连接EF，设∠CAB＝α． （1）如图2，若⊙O的半径为3，α＝30°时． ①求证：△OEF是等腰三角形． ②求图中阴影部分的面积．
（2）在（1）的条件下试确定经过点A、B、F三点的圆的圆心位置和半径大小． （3）连接DF，是否存在某个α的值，使得DF与EF相等？若存在，求出此时cosα的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据30°所对的直角边是斜边的一半，可求得OE等于OA的一半，又因为点F是OC的中点，多以OF＝OE；
②根据同弧对于的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，即∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，然后根据S阴影部分的面积；
（2）连接BC，根据（1）中可得△OCB是等边三角形，又因为点F是半径OC的中点，可得∠AFB＝90°，即可求证点E即为A、B、F三点的圆的圆心位置以及可以求得其半径大小；
弓形
＝S
扇形AOB
﹣S△AOB，S
阴影
＝S半圆﹣S
弓形
，即可求得
（3）过点F作FG⊥AB于点G，连接BF，求得α的值，即可求得cosα的值． 【解答】解（1）①证明：∵OE⊥AB，α＝30° ∴OE＝OA＝， ∵点F是半径OC的中点， ∴OF＝OC＝， ∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形；
②∵∠BAC和∠BOC所对的弧都是BC， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，AE＝∵OE⊥AB， ∴AB＝2AE＝3
，
， ；
AE＝3
，
∵S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝3π﹣∴S阴影＝S半圆﹣S弓形＝（2）如图，连接BC，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，即点E是AB的中点， 由（1）知∠BOC＝60°， ∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形， ∵点F是半径OC的中点， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点，
∴EF＝AE＝BE＝AB，
∴经过点A、B、F三点的圆的圆心是点E，半径AE＝AO•cos30°＝（3）存在，cosα＝
．
；
过点F作FG⊥AB于点G，连接BF，
∵FG∥OE， ∴
＝2，
∴AE＝2EG＝EB，
∴FG是EB的垂直平分线， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝FB， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴cosα＝
．
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