浙江省杭州市富阳区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（春•富阳区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．2x+1＝0
B．x2+1＝0
C．y2+x＝1
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A错误； B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正确； C、y2+x＝1是二元二次方程，故C错误； D、+x2＝1是分式方程，故D错误； 故选：B．
2．（3分）（春•富阳区期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故选项正确； B、不是中心对称图形，故选项错误； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，故选项错误． 故选：A．
3．（3分）（2017•台湾）下列哪一个选项中的等式成立（ ） A．
＝2
B．＝3
C．
＝4
【解答】解：∵
＝2，
∴选项A符合题意； ∵
＝3
，
∴选项B不符合题意；
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D．+x2＝1
）
D．
＝5
∵
＝16，
∴选项C不符合题意； ∵
＝25
，
∴选项D不符合题意． 故选：A．
4．（3分）（2013•黔西南州模拟）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° C．有一个内角大于60°
B．每个内角都小于60° D．每个内角都大于60°
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c． 假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°， 则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾． 所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°． 故选：B．
5．（3分）（春•富阳区期末）若一组数据是3，3，4，2，则这组数据的中位数是（ ） A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
【解答】解：把这组数据按照从小大到大的顺序排列为：2，3，3，4， ∴这组数据的中位数是故选：C．
6．（3分）（春•富阳区期末）若m，n均为整数，满足量关系中，正确的是（ ） A．m＝n 【解答】解：∵∴m＝3，n＝2， ∴2m＝3n． 故选：D．
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＝3．
＝m，＝15，下列关于m，n的数
B．3m＝2n ＝3
，
＝15
C．m＝2n ，
D．2m＝3n
7．（3分）（2017•温州一模）某超市今年1月份的营业额为50万元，从2月起营业额明显上升，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x，根据题意，可列方程（ ） A．50（1+x）＝66 C．50（1+2x）2＝66
B．50（1+x）2＝66 D．50（1+x）（1+2x）＝66
【解答】解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x， ∴2月份的营业额＝50×（1+x），
∴3月份的营业额＝50×（1+x）×（1+2x）， ∴可列方程为：50（1+x）（1+2x）＝66． 故选：D．
8．（3分）（春•富阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，有同学得出如下筝形的性质，你认为其中不正确的是（ ）
A．两组邻边分别相等 B．有一组对角相等
C．两条对角线相互垂直平分
D．一条对角线被另一条对角线垂直平分 【解答】解：A．两组邻边分别相等；正确； B．有一组对角相等；正确；
C．两条对角线相互垂直平分；不正确；
D．一条对角线被另一条对角线垂直平分；正确； 故选：C．
9．（3分）（春•富阳区期末）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
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A．﹣2＜k＜﹣1 【解答】解：如图，
分别取A、B、C、D四个点，
A（3，﹣1），B（3，y），C（2，b），D（2，﹣2）， 且点B和C在反比例函数的图象上， ∴k＝3y＝2b，
由图象可知：3y＜3×（﹣1）＝﹣3，2b＞2×（﹣2）＝﹣4， ∵﹣4＜k＜﹣3， 故选：C．
B．﹣3＜k＜﹣2
C．﹣4＜k＜﹣3
D．﹣5＜k＜﹣4
10．（3分）（春•富阳区期末）我们把b2±4ac＝0称为一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的共轭判别式，我们知道当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）有两个相等的实数根：x1＝x2＝
；那么其共轭判别式b2+4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的根x＝______，下
列选项中正确的是（ ） A．
B．
C．
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D．
【解答】解：∵b2+4ac＝0， ∴b2＝﹣4ac， ∴b2﹣4ac＝2b2≥0， ∴x＝故选：D．
二.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（春•富阳区期末）当x＝﹣2时，二次根式【解答】解：把x＝﹣2代入
＝
故答案是：2．
12．（4分）（春•富阳区期末）已知一元二次方程3x2+kx﹣2＝0的一个根为2，它的另外一个根是 ﹣ ． 【解答】解：根据根与系数关系，x1x2＝﹣， ∴2x2＝﹣， ∴x2＝﹣， 故答案为
． ＝2．
，得
的值是 2 ．
＝
＝
；
13．（4分）（春•富阳区期末）已知平行四边形周长为20，相邻两条边的长度比是3：2，这个平行四边形的最大面积是 24 ．
【解答】解：∵平行四边形周长为20，相邻两条边的长度比是3：2， ∴设相邻两条边的长度分别为2x、3x， 则2（2x+3x）＝20， 解得：x＝2， ∴2x＝4，3x＝6，
即相邻两条边的长度分别为4和6，
当平行四边形为矩形时，面积最大＝4×6＝24； 故答案为：24．
14．（4分）（2019•岳阳二模）如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 40° ．
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【解答】解：
∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°， 故答案为：40°．
15．（4分）（春•富阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，点D是BC边的中点，点E在AC边上，若∠DEC＝45°，那么DE的长是 ．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∴∠DFC＝∠A＝90°， ∴AB∥DF，
∵点D是BC边的中点， ∴BD＝DC， ∴AF＝CF， ∴DF＝AB＝1， ∵∠DEC＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DE＝
DF＝
．
，
故答案为：
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16．（4分）（2012•江干区一模）直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 ±1或±
．
【解答】解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A， ∴A（，a），D（2a，a）， 当直线在x轴的正半轴时， ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1． 当直线在x轴的负半轴时， 同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．
故答案为：±1或±
．
三.解答题（本题有7小题，共66分） 17．（6分）（春•富阳区期末）计算： （1）
（2）
【解答】解：（1）
＝
+4
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＝5 （2）＝＝
；
﹣．
18．（8分）（春•富阳区期末）解下列方程： （1）x2+3x＝0 （2）x2﹣4x+1＝0
【解答】解：（1）分解因式得：x（x+3）＝0， 可得x＝0或x+3＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣1， 配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3， 开方得：x﹣2＝±则x1＝2+
，
．
，x2＝2﹣
19．（8分）（2015•罗田县校级模拟）如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝（k≠0）图象的一个交点为M（﹣2，m）． （1）求该反比例函数的表达式； （2）求△OBM的面积．
【解答】解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y1＝﹣x﹣1的图象上， ∴代入得：m＝﹣（﹣2）﹣1＝1， ∴M的坐标是（﹣2，1），
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把M的坐标代入y2＝得：k＝﹣2， 即反比例函数的解析式是：
（2）y1＝﹣x﹣1， 当x＝0时，y1＝﹣1， 即B的坐标是（0，﹣1）， 所以OB＝1， ∵M（﹣2，1），
∴点M到OB的距离是2， ∴△MOB的面积是×1×2＝1．
20．（10分）（春•富阳区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在AC上，且AE＝CF． （1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）求证：四边形EGFH是平行四边形．
；
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH，
在△AGE与△CHF中，∴△AGE≌△CHF（SAS）； （2）∵△AGE≌△CHF， ∴∠EG＝FH，∠AEG＝∠HFC， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
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，
21．（10分）（2016•包头二模）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和告知给你代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写表格；
初中代表
队 高中代表
队
（2）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
85
80
100
平均数/分 中位数/分 众数/分
85
85
85
【解答】解：（1）初中代表队：平均数＝（75+80+85+85+100）÷5＝85（分），众数为85（分）； 高中代表队：中位数为80（分）； 故答案为：85，85，80； （2）
＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160， ∵
＜
，
∴初中队选手成绩较稳定．
22．（12分）（春•富阳区期末）如图，在线段AB的同侧作射线AC和BD，当AC∥BD时，若∠CAB与∠DBA的角平分线分别交射线BD，AC于点E，F，两条角平分线相交于点P，连接EF． （1）试判断四边形ABEF的形状并给予证明；
（2）若AB＝BF＝2，在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，问线段AG的长为多少时？以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．
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【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由是： ∵AE平分∠FAB，BF平分∠ABE，
∴∠FAP＝∠PAB＝∠FAB，∠PBA＝∠ABE， ∵AC∥BD，
∴∠FAB+∠ABE＝180°，∠FAP＝∠BEP， ∴∠PAB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB， ∴∠APB＝90°，AB＝BE， ∴AE⊥BF，
∵∠FAP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°， ∴∠AFP＝∠ABP， ∴AF＝AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）∵四边形ABEF是菱形， ∴AF＝AB， ∵AB＝BF＝2，
∴△ABF是等边三角形， ∴∠BAF＝60°， ∴∠FAP＝30°， ∴AP＝
，
∵以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形， ∴HG＝BF＝2， ∴PG＝PH＝1，
∵在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H， ∴点G在线段AP上或线段PE上， ∴AG＝
﹣1或
+1．
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∴线段AG的长为﹣1或+1，以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．
23．（12分）（春•富阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段AD上的一动点，点E是AB边上一动点，连结PC，PE．
（1）当E是边AB的中点时，是否存在点P，使∠EPC＝90°？若存在，求AP的长，若不存在，请说明理由；
（2）设BE＝a，若存在点P，使∠EPC＝90°，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵PE⊥PC， ∴∠APE+∠DPC＝90°， ∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°， ∴△APE∽△DCP， ∴
＝
，
设AP＝x，则DP＝6﹣x，又AE＝BE＝2， ∴x（6﹣x）＝2×4， 整理得x2﹣6x+8＝0， 解得，x1＝2，x2＝4， ∴PA＝2或4．
（2）设AP＝x，AE＝y， ∵△APE∽△DCP， ∴
＝
，即x（6﹣x）＝4y，
∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，
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∴当x＝3时，y的最大值为，
∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为4﹣＝， ∴a的取值范围为≤BE＜4
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