成都七中嘉祥外国语学校九年级数学下册第二单元《相似》检测题(有答案解析)

一、选择题

1．如图，已知点D，E是AB的三等分点，DF，EG将ABC分成三部分，且

DF//EG//BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1:S2:S3的值为（ ）

A．1:2:3 B．1:2:4 C．1:3:5 D．2:3:4

2．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）

A．5米 B．6米 C．8米 D．10米

3．如图，在RtABC中，ACB90,ACBC，点D、E在AB边上，

∣ABC的面积为（ ） DCE45，若AD3,BE4，则

A．20

下列结果错误的是( )

B．24 C．32 D．36

4．如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF3FC． 联结AE、AF、EF．那么

A．△ABE与ECF相似 B．△ABE与AEF相似 C．△ABE与ADF相似 D．AEF与ECF相似

5．如图，在ABC中，E为BC边上的一点，F为AC边上的一点，连接BF，AE，交于点D，若D为BF的中点，CF2AF，则BE:CE的值为（ ）

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3

6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）

A． B．

C． D．

7．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ） A．∠A=∠D，∠B=∠F C．

B．D．

BCAC且∠B=∠D EFDFABAC且∠A=∠D DEDFABBCAC DEEFDF8．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（ ）

A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm

9．如图，在ABC，ABACa，点D是边BC上的一点，且BDa，

ADDC1，则a等于（ ）

A．C．1

51 2B．D．2

51 210．下列相似图形不是位似图形的是（ ）

A． B．

C． D．

11．如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①AEDB；②DE//BC；③

ADAE；④ADBCDEAC，能满足ACABADEACB的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝25，若点O为△ABC三条高的交点，则OA的长度为（ ）

A．35 2B．25 3C．5 D．35 4二、填空题

13．如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC,点O，若S△DOE:S△COA1:25，则

AE、CD相交于

BE的值是________． CE

14．如图，在平行四边形ABCD中，E在AD上，

AE2，CE交BD于F，则ED1S△BCF:S△DCF__________．

15．如图，已知菱形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB、AD上的点，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，

GF＝_____． EG

16．如图，ABC中，BC1．若AD11AB，且D1E1//BC，照这样继续下去，311D1D2D1B，且D2E2//BC；D2D3D2B，且D3E3//BC；…；

331Dn1DnDn1B，且DnEn//BC则D101E101_________．

3

a的值为_______． a-b18．如图，D是ABC的边BC上一点，AB4，AD2，DACB．如果

17．已知5a=6b（a≠0），那么

△ABD的面积为6，那么△ACD的面积为_______．

19．目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=3米和b=4米，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为____________米

20．如图，P为△ABC的重心，连结AB并延长BC于点D，过点P作EF∥BC分别交AB，AB于点E，F．若△ABC的面积为36，则△AEF的面积为____．

三、解答题

21．已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．

22．如图，已知平行四边形ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．

（1）若AB3，BC4，CE2，求CG的长； （2）证明：AF2FGFE．

23．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2，点E是AD的中点，连接BE，且BE⊥AC交AC于点

F．

（1）求证：△EAB∽△ABC； （2）求AB，EF的长； （3）如图2，连接DF，BD，求

DF的值． BD

24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，AH⊥BC于H，交DG于点M，求正方形DEFG的面积．

25．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：PA＝PC； （2）求证：PC2＝PE•PF．

26．如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE//BC，

EF//AB．

（1）求证：ADE∽EFC；

SADE（2）如果AB6，AD4，求的值．

SEFC

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据题意易得ADFAEG1S3ABC，则有5S9ABCAD1AE2，．进而可求得AB3AB31S1S9ABC，S2ABC，S3，最后即可求出结果．

【详解】 ∵DF∥EG∥BC， ∴

ADFAEGABC，

∵D、E是AB的三等分点， ∴

AD1AE2，， AB3AB3∴S11S9ABC，SAEG4S9ABC．

∵S2SAEGS14S91SABC9ABC1S3ABC，

S3SABCSAEGS4SABC9ABC5S9ABCABC．

∴S1:S2:S3故选C． 【点睛】

1S91:SABC35:SABC91:3:5．

本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．

2．C

解析：C 【分析】

根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答． 【详解】

解：如图，假设没有墙，电线杆AB的影子落在E处，

∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例， ∴CD：DE=1：0.5=2：1， ∴AB：BE=2：1， ∵CD=2，BE=BD+DE， ∴BE=3+1=4， ∴AB：4=2：1，

∴AB=8，即电线杆AB的高为8米， 故选：C． 【点睛】

本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解．

3．D

解析：D 【分析】

设DEx，则AB7x，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】

设DEx，则AB7x，

DCECAEDBC45， △ACE△CDE△BDC． 设CDa,CEb，

则有以下等式：x:bb:3x，x:aa:4x，x:ab:AC， 整理得bxx3,axx4,xACab，

22x2x722222， xx3x4abxAC2解得x5， AB12， ACBC62，

21S△ABC626236，

2故选：D．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键．

4．C

解析：C 【分析】

根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项． 【详解】

解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：

AE121511595,EF,AF1， 42416416425525AF2，∴△AEF是直角三角形， 41616∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，

∴AEEF∠B=∠C=∠AEF=∠D，

ABECAEAD42,， BECFEFDF3∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似， ∴A、B、D正确，C错误， 故选C． 【点睛】

本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．

5．B

解析：B 【分析】

过点F作FG//BC交AE于点G，证明DFGDBE可得FGBE，再由FG//BC可

BEGFAF1，故可得结论． CECEAC3【详解】

解：过点F作FG//BC交AE于点G

证得

∵D是BF的中点， ∴DBDF ∵FG//BC

∴DFGDBE

FGDF1 ∴

BEDB∴FGBE 又∵FG//BC GFAF∴ ECAC∵CF2AF ∴AC3AF

BEGFAF1 ∴

CECEAC3故选：B． 【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．

6．C

解析：C 【分析】 根据题意易得BO图像即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴ACBD22，BOOD①当P在OB上时，即0x∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC，

2，然后得到EF与x的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数

1BD2， 22，

EFBP， ACOB∴EF2BP2x，

∴∵OP∴y2x，

12x22xx22x；

②当P在OD上时，即2x22， ∵EF∥AC， ∴△DEF∽△DAC， ∴

EFDP， ACOD即EF22x， 222∴EF222x， ∵BP=x， ∴OPx2， ∴y1x2222xx232x4， 2这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下， 故选C． 【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．

7．B

解析：B 【分析】

直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】

解：A、AD，BF，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出

△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；

BCAC，且BD，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； B、

EFDFABBCAC，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出C、

DEEFDF△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；

ABAC且AD，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相D、

DEDF似，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

8．A

解析：A 【分析】

根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．

【详解】

解：如图所示，∵DE∥BC，

∴△AED∽△ABC， ∴

AEDE， ACBC设屏幕上的图形高是x cm，则解得：x=21．

307， 90x答：屏幕上图形的高度为21cm， 故选：A． 【点睛】

本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

9．A

解析：A 【分析】

证明△ABC∽△DAC得【详解】

解：∵ABACa， ∴∠B=∠C

又∵ADDC1， ∴∠C=∠DAC ∴△ABC∽△DAC ∴∴

ABBC，然后列方程求解即可． DAACABBC DAACaa1 1a解得，a故选：A 【点睛】

1515或a（舍去）

22本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

10．D

解析：D 【分析】

根据位似变换的概念判断即可． 【详解】

解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形， A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形， 故选：D． 【点睛】

本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．

11．B

解析：B 【分析】

根据相似三角形的判定逐个判断即可得． 【详解】

AEDB①在ADE和△ACB中，，

AAADE②

ACB，则条件①能满足；

DE//BC，

ADEABC，则条件②不能满足；

ADAE③在ADE和△ACB中，ACAB，

AAADEACB，则条件③能满足；

ADDE， ACBC对应的夹角ADE与C不一定相等，

此时ADE和△ACB不一定相似，则条件④不能满足； 综上，能满足的条件有2个， 故选：B． 【点睛】

④由ADBCDEAC得：

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．

12．A

解析：A 【分析】

设BC边上的高为AD，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD∽△BAD，可得BD:AD=OD:BD，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求解OD的长．

【详解】

解：如图，设BC边上的高为AD，

∵点O为△ABC三条高的交点， ∴AD⊥BC，BO⊥AC，

∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°， ∴∠CAD+∠C=90°， ∴∠OBD=∠CAD，

∵AB=AC，∴D为BC的中点，∠BAD=∠CAD， ∴∠OBD=∠BAD，

∴△OBD∽△BAD，∴BD:AD=OD:BD ， ∵BC=25，∴BD=5， 在Rt△ABD中，AB=5，∴AD=∴

ABBD515， 22225225，

5:25OD:5，解得OD= ∴OA=AD−OD=25故选A． 【点睛】

135， 522本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．

二、填空题

13．【分析】先证明然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值继而可求的值最后可求的值【详解】解：又故答案是：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键

1解析：

4【分析】

先证明DOE∽COA，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出继而可求

DE的值，ACBEBE的值，最后可求的值． BCEC【详解】

DE//AC， DOE∽COA，

解：

又S△DOE:S△COA1:25，

DE1， AC5DE//AC，

△BDE∽△BAC， BEDE1， BCAC5BE1． EC41故答案是：．

4【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．

14．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定

解析：3 【分析】 证明DEF【详解】

在平行四边形ABCD中，ADBC，AD//BC， ∵

BCF，可得

BFCB3，结合三角形面积公式即可求得结果． DFED1AE2ED1，AEEDAD，∴

AD3ED1DFEDED1． BFBCAD3∵AD//BC，∴

SSBCFDGFBF3． DF故答案为：3． 【点睛】

本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．

15．【分析】过点E作EM∥BC交AC下点M点根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形则EM=AE=3由AF∥EM对应线段成比例即可得结论【详解】解：过

点E作EM∥BC交AC于点M∵四边形ABCD是菱形∴A

1解析：

3【分析】

过点E作EM∥BC交AC下点M点，根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形，则EM=AE=3，由AF∥EM，对应线段成比例即可得结论． 【详解】

解：过点E作EM∥BC交AC于点M，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝4，AD∥BC，

∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°， ∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3， ∵AF∥EM， ∴

GFAF1， GEEM31． 3故答案为：【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质是解题的关键．

16．【分析】由D1E1∥BC可得△AD1E1∽△ABC然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案

2101解析：1()

3【分析】

由D1E1∥BC，可得△AD1E1∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得

D1E1AD115，继而求得D1E1的长，又由D1D2= D1B，可得AD2= AB，继而求得D2E2

BCAB39的长，同理可求得D3E3的长，于是可得出规律，则可求得答案． 【详解】

解：∵D1E1∥BC， ∴△AD1E1∽△ABC，

∴

D1E1AD1， BCAB1AB， 3∵BC=1，AD1∴D1E1∵D1D2= ∴AD2=

1， 31D1B， 35AB， 9同理可得：D2E254211()2， 993D3E31921()3， 27323n∴DnEn1().

101∴D101E1011()．

23故答案为：1()【点睛】

23101．

此题考查了相似三角形的判定与性质．得到规律DnEn1().是关键．

23n17．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a表示出b是解题的关键

解析：6 【分析】

由等式可用a表示出b，代入求值即可． 【详解】 解：

∵5a=6b（a≠0）， ∴b=

5 a， 6aa16∴a-b51，

a-a66故答案为：6． 【点睛】

本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．

18．【分析】先证明△ACD∽△BCA再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4再结合△ABD的面积为6然后求出△ACD的面积即可【详解】解：∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA∴∴即 解析：2

【分析】

先证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，再结合△ABD的面积为6，然后求出△ACD的面积即可． 【详解】

解：∵DACB，∠C=∠C ∴△ACD∽△BCA ∴

AD1 AB2ACDABC2SACDSACD111 ,即，解得：SACD=2． SS6S4ABDACDACD24S∴S故答案为2． 【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方解答本题的关键．

19．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可

①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B分别计算即可【详解】解：如图在Rt△ABC中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△

解析：16或10+25或【分析】

分三种情形讨论即可，①AB=BE1，②AB=AE3，③E2A=E2B，分别计算即可． 【详解】 解：如图

40 3

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90，BC=3，AC=4 ∴ABBC2AC25 AC2CE1225 ①当BA=BE1=5时，CE1=2， ∴AE1∴△ABE1周长为（10+25）米 ②当AB=AE3=5时，CE3=BC=3，BE3=6， ∴△ABE3周长为16米．

③当E2A=E2B时，作E2H⊥AB，则BH=AH=2.5， ∵∠B=∠B，∠ACB=∠BHE2=90∘， ∴△BAC∽△BE2H，

BHBE2 BCAB25∴BE2=，

6∴

∴△ABE2周长为225405米． 6340米 3综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或10+25或故答案为：16或10+25或【点睛】

40 3本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想，注意漏解．

20．16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵P为△ABC重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重

解析：16 【分析】 先根据重心性质得质求解即可． 【详解】

解：∵P为△ABC重心，

APAP22，，再证明AEF∽ABC，最后根据相似三角形的性PDAD3APAP22， PDAD3∵EF//BC

∴AEF∽ABC AEAF2 ∴

ABAC322∴S△AEF()S△ABC16

3故答案为16． 【点睛】

∴

本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．

三、解答题

21．见解析． 【分析】

由题意可得△CDF≌△CBE，所以可得∠DCF＝∠BCE，进一步结合菱形的性质可得∠H＝∠BCE，再由∠B＝∠B即可得到所证结论成立． 【详解】

∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B， ∵DF＝BE，

∴△CDF≌△CBE（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠H＝∠BCE， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH． 【点睛】

本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键 ．

22．（1）CG=1；（2）见解析 【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；

（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明即可． 【详解】

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EGC∽△EAB，

CGECCG2，即， ABEB324解得，CG=1；

（2）证明：∴AB∥CD， ∴△DFG∽△BFA，

∴

FGDF， FAFB∴AD∥CB，

∴

∴△AFD∽△EFB， ∴∴

AFDF， FEFBFGAF， FAFE即AF2FGFE． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）AB【分析】

（1）根据矩形的性质得出EABABC90和∠AEB＝∠BAC，即可证明结论；

2，EF33；（3） 33ABEA，即可求出AB的长，再由勾股定理求出BE的长，再BCAB由△AEF∽△CBF，即可求出EF的长；

（2）由（1）的结论，得（3）由△AFE∽△CFB得可求出结果． 【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴BAECBA90 ，AD∥BC，AD＝BC ，AB∥CD，AB＝CD，

EFAE1ED3EF，证明，则△DEF∽△BED，即BFCB2BE3ED∴BACCAE90， ∵BE⊥AC，

∴CAEAEB90， ∴∠AEB＝∠BAC， ∴△EAB∽△ABC；

（2）由（1）知△EAB∽△ABC， ∴

ABEA， BCAB∵AD＝2，点E是AD的中点， ∴AE＝1，BC＝2， ∴AB2AEBC2， ∴AB2，

在Rt△ABE中，BE∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴

AB2AE2213，

EFAE1， BFCB213； BE33∴EF（3）∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CFB， ∴

EFAE1， BFCB2∴BE3EF3， ∴

ED3EF， BE3ED∵∠DEB＝∠FED， ∴△DEF∽△BED， ∴∴

DFEF， BDEDDF3． BD3【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24．23.04 【分析】

根据正方形的性质得到DG∥BC，推出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可．

【详解】

解：设正方形DEFG的边长为x，DE＝DG＝x． ∵四边形DEFG为正方形 ∴DG∥BC，∠DEC＝90 ∴△ADG∽△ABC ∴

DGAMx BCAH121BC＝6，∠DEC＝∠AHC＝90 2又∵ AB＝AC＝10，BC＝12，AH⊥BC ∴ BH＝

在Rt△ABH中，根据勾股定理得 AH＝AB2BH2102628

∴AM＝AH－MH＝AH－DE＝8－x

AM8x AH8x8x∴，解得x＝4.8 128∴S正方形DEFG＝x2＝23.04 【点睛】

∴

本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．

25．（1）见解析；（2）见解析． 【分析】

（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB＝∠ADB，然后利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可

（2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE与△FPA相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论． 【详解】

（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴DA＝DC，∠CDB＝∠ADB， 在△ADP和△CDP中，

ADCDBDCCBD， DPDP∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC；

（2）∵△ADP≌△CDP， ∴∠PAD＝∠PCD， ∵四边形ABCD为菱形，

∴DC∥AB， ∴∠PCD＝∠PFA， ∴∠PAE＝∠PFA， 而∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴PA：PF＝PE：PA， ∴PA2＝PE•PF， ∵PA＝PC， ∴PC2＝PE•PF．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键． 26．（1）证明见解析；（2）4． 【分析】

（1）根据平行线的性质可得∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，即可得结论；

（2）根据线段的和差关系可得BD的长，由DE//BC，EF//AB可得四边形DBFE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】

（1）∵DE//BC，EF//AB， ∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△EFC． （2）∵AB＝6，AD＝4， ∴DB＝6－4＝2， ∵DE//BC，EF//AB，

∴四边形DBFE是平行四边形， ∴EF＝DB=2， ∵△ADE∽△EFC，

SADEAD24()()24． SEFCEF2【点睛】

本题考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的面积比等于相似比的平方；熟练掌握相关判断定理及性质是解题关键．