人大附中2021-2021高三理科数学月考答案

数学(理)试题答案

一、选择题 ACDA

ABCD

二、填空题

9. (1, 2]

;

10. e;

2

11.



4

; 12.

7 4

;

13. 1和0 ， (0, 4] ;

14.(1) 4,

 n

n为偶数 (2) f n   2n2 1

 n为奇数 2 2

注：13、14 题两个空的分值均为前 3 后 2。三、解答题

15.(本题满分 13 分)

4

解（Ⅰ）因为cos B  ,0  B   ,

5

423 所以sin B 1 cos2 B 1 ( )  ,

5 5

…………1 分

…………2 分





AB 由正弦定理知 AC  sin B sin C ，

6 2

2  5 2. AC  sin C 

所以 AB  3

sin B

5

…………5 分

（Ⅱ）在三角形 ABC 中 A  B  C   ，所以 A    (B  C). …………6 分

于是cosA  cos(B C)  cos(B  )   cos B cos  sin B sin ,

4 4 4

4 3

又cos B  ,sin B  , ，

5 5 4 故cos A   2 3 2 2 …………9 分

   5 2 5 2 10 因为0  A   ，

  

所以sin A 1  cos2 A  7 2

10

…………11 分

因此cos( A  )  cos Acos  sin Asin 6 6 6

2   3 7 2 1 7 2  6

   10 2 10 2 20 16.(本题满分 13 分)

  …………13 分

（Ⅰ）解： f 8=0.9.

…………3 分

0.4

（Ⅱ）证明：当 x  7 时， f (x 1)  f (x) 

(x  3)(x  4)

…………4 分

设 g x 



0.4 ,则 gx 

0.42x  7





----------- 5 分

x  3x  4

x  3x  4

…………6 分

当 x  7 时, (x  3)(x  4)  0 2x  7  0

0.42x  7 gx  

 x  3  x  4  0

故函数 f (x 1)  f (x) 单调递减，

…………7 分 …………8 分

当 x  7 时，掌握程度的增长量 f (x 1)  f (x) 总是下降.

a a

（Ⅲ）有题意可知0.115ln  0.85 ，整理得  e0.05

a  6 a  6 

e 0.05

6 21 6  126  121,127解得a 0.05

e1 

由此可知，该学科是乙学科. 17. （本题满分13 分）

…………10 分

…………12 分 …………13 分

2        解：（Ⅰ） f x  cos  2x    2sin   x  sin   x 

3 4 4

     





1 3        cos 2x  sin 2x  2sin  x cos  x 

 4   2 2 4 

   

1 3     cos 2x  sin 2x  sin  2x 

 2 

2 2  

1 3  cos 2x  sin 2x 2 2



 

…………………5 分 =  sin  2x  

6 

 5  3令2k   2x   2k  ，得k   x  k  ， …………6 分

2 6 2 3 6

 5  

所以， f x的单调递增区间是 k  , k  ，其中k  Z ；…………7 分

3 6 

（Ⅱ）令2x 

 k  ， k  Z ，

6

2 k2

3

对称轴方程为： x 

  , k  Z

…………………9 分

 5   

由 x   ,  ,得  x 6 ，

3  12 2 



…………10 分

 

当2x   时,  sin  2x    1

6 6 2 



 

当2x    时,  sin  2x   3 …………12 分

6  2 6 3 

  

函数 f x在区间  , 上的最大值为 3 ，最小值-1. …………13 分

12 2  2 

18.（本题满分 13 分）



 

3  

2x  x 1 2 

解：（1）定义域为x | x  0， f 'x   ， x

…………2 分

列表

x  3 3  0, 2  2  3  ,   2 - f 'x+ f x

0 极大值

3 3=   3ln 所以，当 x  3 时， f x 极大值

4 2 2

…………5 分

…………6 分

（2）要证：曲线 y  f x在直线 y  2x  2 的下方（含部分点在直线上）。

需证： f x  2x  2

令 g x  x x  2  3ln x ，则 g '(x) 

2

…………7 分

(2x  3)(x 1)

x

， …………9 分

列表

x 0,11 0 极大值 1, + g 'x- g x …………12 分

g xmin =g(1)  0

所以 g x  0

所以曲线 y  f x在直线 y  2x  2 的下方（含部分点在直线上）. …………13 分 19. (本题满分 14 分)

解：(Ⅰ)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4,

而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， 故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

(Ⅱ) 由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)． 所以，H(x)=kg(x)－f(x)=2kex(x＋1)－x2－4x－2， 则 H′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1), 当 k≤0 时，kex－1<0, 由 H′(x)>0 得：x<-2，由 H′(x)<0 得：x>-2,

…………1 分

…………2 分…………3 分 …………4 分 …………5 分…………6 分

𝑥＋2 > 0

𝑥＋2 < 0 ，解得：𝑥 < −ln𝑘, 或𝑥 > −2, 当𝑘 > 𝑒2时，由 H′(x)>0 得：{ , 或 { 𝑘𝑒𝑥－1 > 0 𝑘𝑒𝑥－1 < 0 由 H′(x)<0 得：−ln𝑘 < 𝑥 < −2,

当𝑘 = 𝑒2时，H′(x)≥0 恒成立,

…………7 分 …………8 分

𝑥＋2 > 0

𝑥＋2 < 0 ，解得：𝑥 < −2, 或𝑥 > 当0 < 𝑘 < 𝑒2时，由 H′(x)>0 得：{ , 或 { 𝑘𝑒𝑥－1 > 0 𝑘𝑒𝑥－1 < 0 −ln𝑘,

由 H′(x)<0 得：−2 < 𝑥 < −ln𝑘, …………9 分

所以，当 k≤0 时，函数 H(x)的单调递增区间为：（−∞， − 2）；单调递减区间为：（ − 2， + ∞）；

当𝑘 > 𝑒2时，函数 H(x)的单调递增区间为：（−∞， − ln𝑘）, （ − 2， + ∞）；

单调递减区间为：（ − ln𝑘， − 2）；

当𝑘 = 𝑒2时，函数 H(x)的单调递增区间为：（−∞， + ∞）； 当0 < 𝑘 < 𝑒2时，函数 H(x)的单调递增区间为：（−∞， − 2）, （ln𝑘， + ∞）；

单调递减区间为：（ − 2， − ln𝑘）；………10 分

(Ⅲ) 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1.由（Ⅱ）得 …………11 分 ①若 1≤ke2，则 F(－2)＝－2ke−2＋2＝－2e−2 (k－e2)<0，从而当 x≥－2 时，f(x)≤kg(x) 不可能恒成立．

综上，实数 k 的取值范围为 1≤k≤e2.

…………14 分

20. (本题满分 14 分)

解：（Ⅰ） fA (1)=1， fB (1)= -1， AB  {1, 6,10,16}. （Ⅱ）根据题意可知：对于集合C, X ，

………………3 分

①若a C 且 a

X ，则Card(C(X X ，则Card(C(X

{a})  Card(CX ) 1； {a})  Card(CX ) 1. …………5 分

②若a C 且 a

所以 要使Card(X A)  Card(X B) 的值最小，2，4，8 一定属于集合 X ；…………6 分

1，6，10，16 是否属于 X 不影响Card(X A)  Card(X B) 的值；集合 X 不能含有 A B

之外的元素.

…………7 分

所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， Card(X A)  Card(X B) 取到最小值4.

（Ⅲ）因为 AB  {x fA (x)  fB (x)  1}，

………………………8 分

所 以 AB  BA . 由定义可知： fAB (x)  fA (x)  fB (x) .

…………9 分

所以 对任意元素 x ， f( AB)C (x)  fAB (x)  fC (x)  fA (x)  fB (x)  fC (x) ，

fA( BC ) (x)  fA (x)  fBC (x)  fA (x)  fB (x)  fC (x) .

所以 f( AB)C (x)  fA(BC ) (x) .

所以 (AB)C  A(BC) . 由 (PA)(QB)  AB 知： (PQ)(AB)  AB . 所以 (PQ)(AB)(AB)  (AB)(AB) .

…………11 分

所以 PQ   .

所以 PQ   ，即 P

Q .

…………13 分

因为 P,Q  A B ，

所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为2 128.…………………………14 分

7