四川省成都市龙泉二中2018届高三上学期第三次月考数学(理)试卷(含答案)

数学（理）试题

（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）

注意事项：

1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；

第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（ ）

A．3﹣4i

B．3+4i

C．5﹣4i

D．5+4i

2222aaaa3n122．设数列an的前n项和Sn，若222…24n4，且an0，则S100等于

123n（ ）

A．5048 B．5050 C．10098 D．10100 3.与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

4．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）

A．96种 B．120种 C．480种 D．720种

5. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

1A.8 1C.6

1B.7 1D.5

6. 已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（ ） A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16

7．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ）

A．

B．

C．

D．

8.如图，等腰梯形ABCD中，AB4,BCCD2.若E,F分别是BC,AB上的点，且满足

uuuruuurBEAF，当AEDF0时，则有（ ） BCABA., B.,

11841348C．, D．318215, 28x9．已知函数fxex，gxlnxx，hxx1 的零点依次为a，b，c，则（ ）4xA．abc B． cba C．cab D．bac

10. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

11．如果定义在R上的函数fx满足：对于任意x1x2，都有x1fx1x2fx2x1fx2x2fx1，则称

fx为“H函数”．给出下列函数：

①yx3x1；②y3x2sinxcosx；③yex1；④fx“H函数”的个数有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF110，椭圆与双曲线的离心率分别为

lnxx1，其中0x1e1,e2，则e1e2的取值范围是（ ）

A．0, B．, C．, D．,

1511531315第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分

13．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 ．

214.若Sn是数列an的前n项的和，且Snn6n7，则数列an的最大项的值

为___________.

15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取________名学生.

16．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f 1

(x)＝(2)1－x，则

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； 1

④当x∈(3,4)时，f(x)＝(2)x－3.

其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cacosBbcosA0. （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求3sinAsinC

18.（本小题满分12分）

某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

的取值范围. 6②若xy≥8则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

19.（本小题满分12分）

在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，DEEF1，DCBF2，EAD30．

（Ⅰ）求证：AE平面CDEF；

（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30o．

20. （本小题满分12分）

如图所示，在ABC中，AB的中点为O,且

AEDGBF

COA1，点D在AB的延长线上，且BD1AB.2固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边

BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线

相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线.以AB所在直线为x轴， O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设动直线l交曲线于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求OEF面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

1232已知函数f(x)xlnxaxx3a4aa2(aR)存在两个极值点．

2（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设x1和x2分别是f(x)的两个极值点且x1x2，证明：x1x2e2．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为

3xt25

asin，直线l的参数方程为（t为参数）．

4yt5

（Ⅰ）若a2，M是直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值； （Ⅱ）若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径3倍，求a的值．

23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

11

(Ⅰ)若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件为3参考答案

1—5 CCBCD 6—10 BBBAC 11—12 AC

4

13. π 14. 12 15.32 [从高一年级抽取的学生人数为80×4＋3＋3＝32.] 16．①②④

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）2sinCsinAcosBsinBcosA0，sinC2cosB10.

QsinC0，B0,，cosB（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1，B. 233，3sinAsinC3sinAcosA 6， 22sinA.QA0,632sinA1,2，

65A,，6663sinAsinC的取值范围是1,2.

618.（本小题满分12分）

y)表示儿童参加活动先后记录的数，y)|x∈N，y∈N，解 (1)用数对(x，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应. 4＝16. 因为S中元素的个数是4×所以基本事件总数n＝16. 记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件数共5个， 即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 55

所以P(A)＝16，即小亮获得玩具的概率为16. (2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件数共6个.

即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4). 63

所以P(B)＝16＝8. 事件C包含的基本事件数共5个， 即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 535

所以P(C)＝16.因为8＞16，

所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率. 19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）四边形ABCD是正方形，

ADDC2.

在ADE中，sinAED1

AED90，即AEDE． ………………… 2分

021ADDE ，即

sinAEDsin300EsinAEDsinEADDGAFC在梯形ABFE中，过点E作EP//BF，交AB于点P. ∵EF//AB,∴EP=BF=2.，PB=EF=1，

P B∴AP=AB-PB=1

在RtADE中，可求AE3，AE2AP24,EP24 ∴AE2AP2EP2

∴AEAB..………………………………………… 4分 ∴AEEF. 又EFIDEE，

∴AE平面CDEF.……………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AEDC，又ADDC， ∴DC平面AED，又DC平面ABCD， ∴平面ABCD平面AED.…………………6分 如图，过D作平面ABCD的垂线DH， 以点D为坐标原点，DA,DC,DH所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

GAxBEzFDCy13则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(,1,),A(2,0,0)，

22uuuruuur33DB(2,2,0)，AF(,1,)．……………7分

22uuuruuuruuur[0,1]设DGDB(2,2,0)，，则AG(22,2,0). uuuvuuuv设平面FAG的一个法向量n1(x,y,z),则n1AF,n1AG，

uuuvnAF0,3xy+3z0，1uuuv即2令x3 ，得 2nAG0,(22)x+2y0，1n1(3,3(1)，25).……………………………………………………………9分

1,0). ………………………………………8分 易知平面EAD的一个法向量n2(0，3(1)n1n23由已知得cos30，

222n1n2233(1)(25)o化简得92610，

． ……………………………………………………………………………11分

uuuv1uuuv∴当点G满足DGDB时，平面EAD与平面FAG所成角的

313大小为30o.………12分 20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意得AB2,BD1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2， 则

T1CT2MAADAT1,BDBT2,CT1CT2

所以ADBDAT1BT2ACCT1BT2

OBDACCT1CT2ACBCAB2BD4AB2 …………………2分

所以点C轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程

x2y2为1y0. …………………4分

43（Ⅱ）【法一】 由于曲线

要挖去长轴两个顶点，所以直线OE,OF斜率存在且不为0，所以可设直线

1OE:ykx,OF:yx,Ex1,y1,Fx2,y2 …………………5分

kykx121212k212k22222xy,,由2得，同理可得：； yx1221222223x4y1234k3k434k3k4所以OE212(1k2)，OF34k2212(1k2) 3k24又OEOF，所以

2SOEF11k222 …………………8分 OEOF362243k44k32令tk1，则t1且kt1，所以SOEF362223k21k44k22t2 36233t14t13611362111149 …………………10分 34tt4t22149114921249， 又01，所以，所以114912t4t24t241141441363122SOEF3， 所以49，所以114974t2所以OEF面积的取值范围为【法二】

依题意得直线l斜率不为0，且直线EF不过椭圆的顶点，则可设直线l：xmyn，且m12,3. …………………12分 72 。3设Ex1,y1,Fx2,y2，又以EF为直径的圆经过点O，则OEOF，所以

x1x2y2y10① …………………5分

xmyn6mn3n212222 由2得3m4y6mny3n120，则y1y2,y1y22223m43m43x4y1222222222且36mn43m43n1248n3m40，所以n3m40②

3m2n212m26m2n2又x1x2my1nmy2nmy1y2mny1y2n2n2 23m43m422212m14n212m2222 ①代入得：，所以， 7n12m120n3m247代入②得：9m2160恒成立所以m20且m48n23m243m4224. 3431m2又EF1myy1m1222n23m243m42；

点O到直线l的距离为dn1m2， …………………7分

所以SOEFn23m24n112 EFd431m2223m241mn2n23m2412 2373m24m219m2163m24212m21 …9分 79m424m216（Ⅰ）当m20时，SOEF12； 712m2121141， 1679m24m21679m2224m4S2（Ⅱ）当m20且m时，OEF321116416022又9m224，当且仅当m时取“”，所以9m224，所以9m2162448，

m3mm2所以

111491712111616，所以，所以9m2224489m2224437mmSOEF3； ……11

分 综合（1），（2）知

12SOEF3. …………………12分 721.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)lnxax，故函数f(x)有两个极值点等价于其导函数f(x)在(0,)有两个零点．

当a = 0时f(x)lnx，显然只有1个零点x01． 当a≠0时，令h(x)lnxax，那么h(x)……………………… 2分

11axa． xx若a < 0，则当x > 0时h(x)0，即h(x)单调递增，所以h(x)无两个零点. … 3分 若a > 0，则当0x11时h(x)0，h(x)单调递增；当x时h(x)0， h(x) 单调递减，所以

aa1111h(x)h()ln1. 又h(1)a0，当x→0时→，故若有两个零点，则h()ln10，得

aaaa0a1． e1综上得，实数a的取值范围是(0,)． ………………………………………… 6分

e（Ⅱ）要证x1x2e2，两边同时取自然对数得lnx1lnx2lne22． ……… 7分 lnx1ax10lnx1lnx2lnx1lnx2. 由f(x)0得，得axxxxlnxax0121222所以原命题等价于证明lnx1lnx2(x1x2)(lnx1lnx2)2． …………… 8分

x1x2x11)2(x1x2)x1x20．…… 9分 因为x1x2，故只需证lnx1lnx2，即lnxx1x2x211x22(令tx12(t1)(0t1)，只需证g(t)0．… 10分 ，则0t1，设g(t)lntx2t114(t1)20，故g(t)在(0,1)单调递增，所以g(t)g(1)0． 而g(t)t(t1)2t(t1)2综上得x1x2e2．………………………………………………………………… 12分 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

2解：（Ⅰ）当a2时，圆C的极坐标方程为2sin，可化为2sin，

化为直角坐标方程为xy2y0，即x(y1)1.

直线l的普通方程为4x3y80，与x轴的交点M的坐标为(2,0)， ∵圆心(0,1)与点M(2,0)的距离为5， ∴|MN|的最大值为51.

2（Ⅱ）由asin，可化为asin，

2222a2a2∴圆C的普通方程为x(y).

242∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的3倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l的距离为圆C半径的一半，

3|a8|1|a|，解得a32或a32． ∴21122224323.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

11



【解析】(Ⅰ)不等式|x－m|<1的解集为{x|m－1{x|m－1

1m－1≤3，14

1，解得－2≤m≤3.5分 m＋1≥2

(Ⅱ)∵|x－3|＋|x－5|≥|(x－3)－(x－5)|＝2， 且|x－3|＋|x－5|2，即a的取值范围是(2，＋∞).10分