专题24 平⾯⼏何的定值问题【阅读与思考】
所谓定值问题，是指按照⼀定条件构成的⼏何图形，当某些⼏何元素按⼀定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或⼏何元素间的某些⼏何性质或位置关系不变）.
⼏何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发⽣变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的⼀般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】
【例1】 如图，已知P 为正⽅形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意⼀点.求证：PA PC PB
为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利⽤圆的基本性质，证明三⾓形全等.P AB CD
【例2】 如图，AB 为⊙O 的⼀固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，⾃上半圆上⼀点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB
⌒ D .随C 点的移动⽽移动 （济南市中考试题）
解题思路：添出圆中相关辅助线，运⽤圆的基本性质，⽤排除法得出结论.
AP
【例3】 如图，定长的弦ST 在⼀个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂⾜.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是⼀定⾓.（加拿⼤数学奥林匹克试题）
解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系⼊⼿.
B
【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆⼼⾓∠AOB =90°.点C 是AB
⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .
（1）求证：四边形OGCH 是平⾏四边形；
（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （⼴州市中考试题）
解题思路：延长OG 交CD 于N ，利⽤题中的三等分点、平⾏四边形和三⾓形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HG
D 【例5】 如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C为弧A
E 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；
（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF
的⽐值是否发 ⽣变化？若不变，求出⽐值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时⼊⼿探求定值.
（图1） （图2）
【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意⼀点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就⼀般情形证明.
【能⼒训练】
A 级
1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=
上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）
AABCDEF
（第3题图） （第4题图）
2.从等边三⾓形内⼀点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三⾓形的⾯积是__________.（全国初中数学联赛试题）
3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，⼜作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐⾓的度数为（ ）A .30°B .40°C .50°D .60°
（武汉市竞赛试题）
5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上⼀动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）
A ．在平分A
B 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动（荆门市中考试题）
AB'B
（第5题图） （第6题图）6.如图，A ，B 是函数xky
图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正⽅形和长⽅形.若正⽅形OCAD 的⾯积为6，则长⽅形OEBF 的⾯积是（ ） A .3 B .6 C .9 D .12（海南省竞赛试题））
7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外⼀点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表⽰的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满⾜的关系式可以⽤同⼀个式⼦表⽰出来.请你⾸先写出这个式⼦，然后只就如图②所⽰的圆内两条弦相交的⼀般情况给出它的证明.
⑥⑤④③②①)P (B )PB
（2）已知⊙O 的半径为⼀定值r ，若点P 是不在⊙O 上的⼀个定点，请你过点P 任作⼀直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这⼀结论⽤⽂字叙述出来.（济南市中考试题）
8.在平⾯直⾓坐标系中，边长为2的正⽅形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正⽅形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第⼀次落在直线x y =上时停⽌旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .
（1）求OA 在旋转过程中所扫过的⾯积；
（2）旋转过程中，当MN 与AC 平⾏时，求正⽅形OABC 旋转度数；
（3）设△MBN 的周长为P ，在正⽅形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.
（济宁市中考试题）
9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取⼀点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .
（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.
（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段⼀定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）
（第9题图） （第10题图） （第11题图）
10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对⾓线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R .求证：（1）2
222DK CK BK AK +++是定值；（2）2
222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A
11.如图，设P 是正⽅形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的⼀点，求证：DPCP BP
AP ++的值为定值.
（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级
1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂⼼.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三⾓形的情况下 改变位置时，⾯积S△ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反⽐例函数xy 16=
（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正⽅形边长为半径作四分之⼀圆周的两条弧，组成如图所⽰的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的⾯积总和是__________（⽤含π的代数式表⽰）.
（福州市中考试题） 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论⼀定正确的是（ ）
A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－2
1α （武汉市竞赛试题）
（第3题图） （第4题图）
4.如图，正△ABO 的⾼等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED C
HBA
A .在0°到30°变化B .在30°到60°变化C .保持30°不变D .保持60°不变
5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A .5B .6C .7D .8
（黄⽯市中考试题）
（第5题图）
6.如图，已知△ABC 为直⾓三⾓形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（⽤m 表⽰） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P ⾄点B 之间的⼀动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC（AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）
7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择⽆关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图） （第8题图）B N
KMB AC HCBA
离变⼩，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变⼩、变⼤，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）
9.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线10941812--=
x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平⾏线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时
出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停⽌运动时，点Q 也同时停⽌运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t（单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平⾏四边形？请写出计算过程； （3）当290<
（第9题图） （第10题图）10.已知抛物线C 1：12121+-=
x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；
（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BF
AF . （3）抛物线C 1上任意⼀点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QF
PF 是否成⽴？请说明理由.
11.已知A ，B 是平⾯上的两个顶点，C 是位于AB ⼀侧的⼀个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正⽅形ACDE 和正⽅形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同⼀侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）
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