什么是特征向量?特征值?
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发布时间：2022-04-23 04:16
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时间：2023-10-14 12:45
特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
特征值是线性代数中的一个重要概念。
线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。
希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。
扩展资料：
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。
参考资料来源：百度百科-特征值
参考资料来源：百度百科-特征向量
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时间：2023-10-14 12:45
设置方程：
将A分别作用在u和v上，也就是计算Au和Av：
画个图就是：
Av=2v，A对v的作用，仅仅是将v延长了，这个系数2就叫特征值；而被矩阵A延长的向量(2,1)，就是特征向量。下面给出数学定义。A为nxn矩阵，x为非零向量。若存在数λ，使Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。
特征值有两个很特别的规律，分别是：
1、特征值的和，等于矩阵对角线的和（迹）。
2、特征值的积，等于矩阵的行列式。
扩展资料：
定理
谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。
求特征值，描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 。
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量，一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。
参考资料：百度百科-特征向量
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时间：2023-10-14 12:46
定义：Aξ=λξ ，λ是特征值ξ是特征向量
意思就是 一个矩阵作用在一个向量上，相当于一个数作用这个向量上，这个数就是特征值，这个向量就是特征向量
如果你指得讲清楚是讲清楚特征值和特征向量的几何意义，可以追问，我也可以给你讲清楚，只不过过程相当复杂，你要不需要我就先不讲了，但是我估计即使说明白，对你的学习没什么有用的帮助，说实话大学就算你要考研，特征值特征向量也就是背公式就解决了。
几何意义比较难解释，接下来的解释着重说明概念，略微牺牲准确性。首先要明白的是矩阵的几何意义，拿3x3的方阵举例，如果这个3x3的方阵三个向量线性无关（行向量列向量都行），则可以张成一个3维空间，以此类推，如果一个nxn的矩阵中n个向量线性无关，则可以张成一个n维空间。这里的n个向量就称为这个空间的基。比如常用的直角坐标系，可以认为是(1,0),(0,1)两个向量张成的，这样垂直且长度为1的向量构成的基叫做标准正交基，是基的特殊形式。
再接着理解矩阵乘法的意义，按照上面对矩阵的描述，矩阵乘法可以理解为，将一个空间过渡到（投影）另一个空间，而过度过程的几何变化，是旋转和拉伸。比如1*5，可以认为是在一维空间里，将1拉伸到5。同时将x轴旋转0度。 那么这里有三个重要的特征：旋转轴、旋转角度、沿旋转轴方向的拉伸程度。只要有这三个量，就能描述一切矩阵运算的几何变化过程。 要注意的是，旋转轴和基不是一个东西。
我们举个现实的例子，把你所处的环境想象成一个三维空间。找一张A4纸，在上面随意画一个带箭头的线段，把这个线段当作一个向量。接下来把这张纸立起来，这样这个向量就是三维空间中的向量了。然后，以A4纸的任意一条边作为旋转轴，转一下这张纸，这样你就实现了旋转操作。由于A4纸没法拉伸，你就只能想象一下了，把你这张A4纸想成有弹力的，你沿着你选的旋转轴拉长了这张纸，你画的这个向量也相应的变长了。我问你，这个时候的向量，和一开始那个向量在空间坐标上变化是怎样的？
我觉得你回答不出来，因为空间旋转对坐标的影响过于复杂，何况还有个拉伸。但是此时想象一种特殊情况，那就是旋转轴和向量重合。也就是你画的这个向量，刚好就在A4纸的边上，和边重合了。你再沿着这条边旋转A4纸，转多少度向量的位置都不会发生变化。只有当你要进行拉伸的时候，这个向量才发生变化。
发现和最上面的公式的描述有什么关系了么：“一个矩阵作用在一个向量上，相当于一个数作用这个向量上”。一个矩阵包含着旋转和拉伸两种变化，而作用在一个变量上，只体现出拉伸，没有旋转。这说明这个向量，和矩阵所代表的旋转操作中的旋转轴是重合的。而矩阵乘法的旋转轴，就是特征向量，而特征值，就是指在这个轴方向上的拉伸程度。
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时间：2023-10-14 12:47
矩阵（以方阵为例）可以看作是一个坐标系；
矩阵乘法可以看作是一个变换，可以把一个向量变成另一个向量；
在这个变换过程中，原向量可能在坐标系发生旋转、伸缩；
如果在这个变换过程中，矩阵对某个向量只发生伸缩，而不发生旋转；则这个向量为这个矩阵的特征向量，而伸缩的比例就是特征值。
矩阵是一个系统的理论，要理解特征向量、特征值，最好先了解矩阵的几何意义。
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时间：2023-10-14 12:47
特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量
