多项式回归和多元式回归区别!

发布网友 发布时间：2022-04-24 13:30

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热心网友 时间：2022-05-01 13:33

方差分析与回归分析是有联系又不完全相同的分析方法。方差分析主要研究各变量对结果的影响程度的定性关系，从而剔除对结果影响较小的变量，提高试验的效率和精度。而回归分析是研究变量与结果的定量关系，得出相应的数学模式。在回归分析中，需要对各变量对结果影响进行方差分析，以剔除影响不大的变量，提高回归分析的有效性。
方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
回归分析是研究各因素对结果影响的一种模拟经验方程的办法，回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析。
回归分析中，会用到方差分析来判断各变量对结果的影响程度，从而确定哪些因素是应该纳入到回归方程中，哪些由于对结果影响的方差小而不应该纳入到回归方程中。

热心网友 时间：2022-05-01 14:51

原文链接：http://tecdat.cn/?p=9706

总览

在这里，我们放宽了流行的线性方法的假设。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题，其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来  解决  。但是，这些技术仍然使用线性模型，到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展

多项式回归    这是对数据提供非线性拟合的简单方法。

阶跃函数  将变量的范围划分为  K个  不同的区域，以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。

回归样条  比多项式和阶跃函数更灵活，并且实际上是两者的扩展。 

局部样条曲线  类似于回归样条曲线，但是允许区域重叠，并且可以平滑地重叠。

平滑样条曲线  也类似于回归样条曲线，但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则 。

广义加性模型  允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加 多项式的项，多项式回归使我们能够生成非线性的曲线，同时仍使用最小二乘法估计系数。

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逐步回归

它经常用于生物统计学和流行病学中。

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回归样条

回归样条是 扩展多项式和逐步回归技术的许多基本函数之一  。事实上。多项式和逐步回归函数只是基  函数的特定情况  。

这是分段三次拟合的示例（左上图）。

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为了解决此问题，更好的解决方案是采用约束，使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结，而在更稳定的地方放置更少的结。但是在实践中，通常以统一的方式放置结。

要清楚的是，在这种情况下，实际上有5个结，包括边界结。

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那么我们应该使用多少个结？一个简单的选择是尝试许多个结，然后看哪个会产生最好的曲线。但是，更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比，样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

我们讨论了回归样条曲线，该样条曲线是通过指定一组结，生成一系列基函数，然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下，我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的函数，即最大限度地减少RSS。但是，如果对我们的函数没有任何*，我们可以通过选择精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样，我们求助于交叉验证。事实证明，我们实际上可以非常有效地计算LOOCV，以平滑样条曲线，回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取，因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点x 0 处的拟合度  。

可以通过各种方式执行局部回归，尤其是在涉及拟合p  线性回归模型的多变量方案中尤为明显  ，因此某些变量可以全局拟合，而某些局部拟合。

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广义加性模型

GAM模型提供了一个通用框架，可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型，同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单，因为不能使用最小二乘。取而代之的 是使用一种称为反向拟合的方法  。

GAM的优缺点

优点

GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量，以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。

非线性拟合可以潜在地对因变量Y做出更准确的预测  。

因为模型是可加的，所以我们仍然可以检查每个预测变量对Y的影响，   同时保持其他变量不变。

缺点

主要局限性在于该模型仅限于累加模型，因此可能会错过重要的交互作用。

范例

多项式回归和阶跃函数

library(ISLR)attach(Wage)


我们可以轻松地使用来拟合多项式函数，然后指定多项式的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵，这意味着每列是变量的变量的线性组合  age，  age^2，  age^3，和  age^4。如果要直接获取变量，可以指定  raw=TRUE，但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。

fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)kable(coef(summary(fit)))


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现在让我们创建一个ages 我们要预测的向量。最后，我们将要绘制数据和拟合的4次多项式。

ageLims <- range(age)age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),se=TRUE)
plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)


在这个简单的示例中，我们可以使用ANOVA检验 。

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## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ age## Model 2: wage ~ poly(age, 2)## Model 3: wage ~ poly(age, 3)## Model 4: wage ~ poly(age, 4)## Model 5: wage ~ poly(age, 5)##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)    ## 1   2998 5022216                               ## 2   2997 4793430  1    228786 143.59 <2e-16 ***## 3   2996 4777674  1     15756   9. 0.0017 ** ## 4   2995 4771604  1      6070   3.81 0.0510 .  ## 5   2994 4770322  1      1283   0.80 0.3697    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1


我们看到，_M_1 与二次模型  相比，p值  _M_2 实质上为零，这表明线性拟合是不够的。 因此，我们可以得出结论，二次方或三次模型可能更适合于此数据，并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

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在这里，我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4次多项式的，但是选择3次或2次模型并不会造成太大损失。接下来，我们考虑预测个人是否每年收入超过25万。

但是，概率的置信区间是不合理的，因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间，更有意义的是转换对  数  预测。

绘制：

plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)


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逐步回归函数

在这里，我们需要拆分数据。 

table(cut(age, 4))
#### (17.9,33.5]   (33.5,49]   (49,.5] (.5,80.1]##         750        1399         779          72
fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)coef(summary(fit))

##                        Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)## (Intercept)              94.158      1.476  63.790 0.000e+00## cut(age, 4)(33.5,49]     24.053      1.829  13.148 1.982e-38## cut(age, 4)(49,.5]     23.665      2.068  11.443 1.041e-29## cut(age, 4)(.5,80.1]    7.1      4.987   1.532 1.256e-01


splines 样条函数

在这里，我们将使用三次样条。

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由于我们使用的是三个结的三次样条，因此生成的样条具有六个基函数。 

## [1] 3000    6dim(bs(age, df=6))## [1] 3000    6##   25%   50%   75% ## 33.75 42.00 51.00


拟合样条曲线。

 

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我们也可以拟合平滑样条。在这里，我们拟合具有16个自由度的样条曲线，然后通过交叉验证选择样条曲线，从而产生6.8个自由度。

fit2$df## [1] 6.795lines(fit, col='red', lwd=2)lines(fit2, col='blue', lwd=1)legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)


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局部回归

执行局部回归。 

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GAMs

现在，我们使用GAM通过年份，年龄和受教育程度的样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型，因此我们仅使用  lm() 函数。

为了拟合更复杂的样条曲线 ，我们需要使用平滑样条曲线。

绘制这两个模型

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year 是线性的。我们可以创建一个新模型，然后使用ANOVA检验 。

## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + ecation## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + ecation## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + ecation##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq    F  Pr(>F)    ## 1   2990 3712881                              ## 2   29 3693842  1     19040 15.4 8.9e-05 ***## 3   2986 36770  3      4071  1.1    0.35    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1


似乎添加线性year 成分要比不添加线性  成分的GAM好得多。 

## ## Deviance Resials:##     Min      1Q  Median      3Q     Max ## -119.43  -19.70   -3.33   14.17  213.48 ## ## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)## ##     Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom## Resial Deviance: 36770 on 2986 degrees of freedom## AIC: 29888 ## ## Number of Local Scoring Iterations: 2 ## ## Anova for Parametric Effects##              Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    ## s(year, 4)    1   27162   27162      22 2.9e-06 ***## s(age, 5)     1  195338  195338     158 < 2e-16 ***## ecation     4 1069726  267432     216 < 2e-16 ***## Resials  2986 36770    1236                    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## Anova for Nonparametric Effects##             Npar Df Npar F  Pr(F)    ## (Intercept)                          ## s(year, 4)        3    1.1   0.35    ## s(age, 5)         4   32.4 <2e-16 ***## ecation                            ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1


在具有非线性关系的模型中，   我们可以再次确认year 对模型没有贡献。

接下来，我们 将局部回归拟合GAM  。

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在调用GAM之前，我们还可以使用局部回归来创建交互项。

我们可以 绘制结果曲面图  。

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参考文献 

1.R语言多元Logistic逻辑回归 应用案例

2.面板平滑转移回归(PSTR)分析案例实现

3.matlab中的偏最小二乘回归（PLSR）和主成分回归（PCR）

4.R语言泊松Poisson回归模型分析案例

5.R语言回归中的Hosmer-Lemeshow拟合优度检验

6.r语言中对LASSO回归，Ridge岭回归和Elastic Net模型实现

7.在R语言中实现Logistic逻辑回归

8.python用线性回归预测股票价格

9.R语言如何在生存分析与Cox回归中计算IDI，NRI指标