高中数学,学习。反证法11
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发布时间：2022-04-24 10:38
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时间：2023-10-10 09:20
证：
三个函数表达式都是抛物线的表达式，则a≠0，b≠0，c≠0
假设三条抛物线均与x轴至多有一个交点。
则对于一元二次方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0，各方程判别式△≤0
(2b)²-4ac≤0，(2c)²-4ab≤0，(2a)²-4bc≤0
2b²-2ac≤0 ①
2c²-2ab≤0 ②
2a²-2bc≤0 ③
①+②+③
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca≤0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)≤0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≤0
平方项恒非负，三非负项之和恒非负，因此只有
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
a-b=0，a=b
b-c=0，b=c
c-a=0，c=a
a=b=c，与已知a、b、c为互不相等的实数矛盾。
因此假设错误，三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点。
