什么叫点到直线的距离?
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发布时间：2022-04-24 09:23
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时间：2023-10-09 08:37
点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。目标在于通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识。
基本信息
中文名
点到直线距离
外文名
Distance from a point to a line
主体
连接直线外一点与直线上各点
特点
垂线段最短
斜率
-A/B
公式整理
一、总公式：
点到直线距离
点到直线距离
设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：
考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)
d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)
二、引申公式：
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
公式①：设直线l1的方程为；直线l2的方程为
点到直线距离
点到直线距离
则 2条平行线之间的间距：
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
公式②：设直线l1的方程为；直线l2的方程为
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
点到直线距离
则 2条直线的夹角
知识与技能目标：
(1)理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离；
点到直线距离
点到直线距离
(2)了解两条平行直线的距离公式，并能推导的平方
过程与方法目标：
点到直线距离
点到直线距离
(1)通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；
(2)把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。
证明方法
定义法
证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，
设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A
则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)
把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
由两点间距离公式得
1.
定义法
证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，
设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A
则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)
把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
由两点间距离公式得
PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。
二、函数法
证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：
当且仅当时取等号所以最小值就是
三、不等式法
证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：
当且仅当时取等号所以最小值就是
四、转化法
证：设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以
易得∠MPQ=（图2）或∠MPQ=（图3）
在两种情况下都有所以
五、三角形法
证：P作PM∥轴交于M，过点P作PN∥轴交于N（图4）
由解法三知；同理得
在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
六、参数方程法
证：过点作直线交直线于点Q。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知，将代入得
整理后得
当时，我们讨论与的倾斜角的关系：
当为锐角时（）有（图2）
当为钝角时（）有（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
七、向量法
证：如图五，设直线的一个法向量，Q直
