已知函数f(x)=e^x-ax-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为
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f'(x)=e^x-a,
若a=0,则f(x)=e^x-b的最小值为f(-∞)=-b>=0得b<=0, 此时ab=0
若a<0,则f'(x)>0,函数单调增，此时f(-∞)=-∞,不可能恒有f(x)>=0.
若a>0,则得极小值点x=lna, 由f(lna)=a-alna-b>=0，得b<=a(1-lna)
ab<=a²(1-lna)=g(a)
现求g(a)的最大值： 由g'(a)=2a(1-lna)-a=a(1-2lna)=0，得极大值点a=e^(1/2)
g(e^(1/2))=e/2
所以ab的最大值为e/2.
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f'(x)=e^x-a,
若a=0,则f(x)=e^x-b的最小值为f(-∞)=-b>=0得b<=0,
此时ab=0
若a<0,则f'(x)>0,函数单调增，此时f(-∞)=-∞,不可能恒有f(x)>=0.
若a>0,则得极小值点x=lna,
由f(lna)=a-alna-b>=0，得b<=a(1-lna)
ab<=a²(1-lna)=g(a)
现求g(a)的最大值：
由g'(a)=2a(1-lna)-a=a(1-2lna)=0，得极大值点a=e^(1/2)
g(e^(1/2))=e/2
所以ab的最大值为e/2.
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