...还有听说证明同阶无穷小可以有两个函数的导数比,真的吗?
发布网友
发布时间：2024-10-23 19:23
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热心网友
时间：2024-10-29 23:53
是这样的，有关的定理是一步步来的，
当x→0的时候，ln(1+x)和x的函数值都是趋近于0，二者比值的极限不能直接去求，必须用洛必达法则求，
lim[ln(1+x)/x]=lim[1/(1+x)]/1=1
中间式子就是分子和分母分别求导得到的结果。
因此，在x→0的时候，二者比值的极限等于1，说明二者是等价无穷小
而x→∞时，二者都是趋近于无穷大的，因此没有所谓同价无穷小的问题。
但是可以转换成1/ln(1+x)和1/x来比较。
洛必达法则的证明要用到柯西中值定理，而证明柯西中值定理需要用到罗尔定理，相关证明你可以在百度上搜索。
总的来说就是用罗尔定理证明柯西中值定理，用柯西中值定理证明洛必达法则，最后用洛必达法则证明x→0时，ln(1+x)~x。
不过一般前两部省略，洛必达法则是可以直接用的，遇到不定型比值极限（如0/0，∞/∞等形式） 可以直接将分母和分子分别求导（此时是一阶导数），然后看能否得到目标点的极限值，如果还是不定型，则继续求导（此时是二阶导数），还是不定型则继续求，但是前提条件是，分子和分母在目标点附近的各阶次导数都是存在的。
