【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2...
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发布时间：2024-10-23 19:20
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时间：2024-11-09 22:53
题目：【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明：要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖（a+1/a）〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t，则不等式转化为t^2-t-√2>0，其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得：f(t)=〖（t-1/2）〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2，所以f(t)在区间（1/2，+∞）为增函数。
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以：f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.（得证）
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时间：2024-11-09 22:48
楼下的都错了，看题- -题上第一个括号是在根号下的
设a+(1/a)为x…………当a>0时x大于等于2
若证*……#*（……%
即证 根号(x^2-2)-x≥(√2)-2 “√”是根号
对“根号(x^2-2)-x”求导，等于[x-根号(x^2-2)]/根号(x^2-2)，根号(x^2-2)恒大于0（因为x大于等于2），根号（x）大于根号（x-2），所以导数大于0，原函数单调递增
所以原函数在x=2处取得最小值，最小值为根号（4-2）-2=（√2）-2
所以根号(x^2-2)-x≥（√2）-2
所以根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2成立。
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时间：2024-11-09 22:50
额
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时间：2024-11-09 22:52
题目：【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明：要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖（a+1/a）〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t，则不等式转化为t^2-t-√2>0，其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得：f(t)=〖（t-1/2）〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2，所以f(t)在区间（1/2，+∞）为增函数。
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以：f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.（得证）
